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第二十六章 反比例函数（压轴题专练）
一、单选题
1．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的
图象上②M、N关于原点对称，则称点对 是函数y的一个“共生点对”（点对 与 看
作同一个“共生点对”），已知函数 ，则函数y的“共生点对”有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设点 函数y的图象上，且坐标为 ，当 时， ，其关于原点对称的点为 ，
不在函数y的图象上，不符合题意，则令 ，点 关于原点对称的点为 ，则 ，由“共
生点对”的定义可得方程 ，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函
数 ， 两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图
象的交点个数即可求解．
【详解】解：函数 ，
设点 函数y的图象上，且坐标为 ，当 时， ，其关于原点对称的点为 ，不在函
数y的图象上，不符合题意，则令 ，
点 关于原点对称的点为 ，则 ，
若 也在函数y的图象上，则点对 是函数y的一个“共生点对”，∵ ， ，在函数y的图象上，
∴ ，则 ，
∵ 也在函数y的图象上，
∴ ，
则 ，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，
即研究函数 ， 两个函数图象的交点个数，
当 时， ， ，即画出函数的草图如图，
由图可知， 与 有两个交点，故方程 有两个解，
∴此函数的“共生点对”有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义
问题，本题难度适中，属于中档题．
2．（2023秋·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）如图， 是平行四边形，对角线 在
轴正半轴上，位于第一象限的点 和第二象限的点 分别在双曲线 和 的一个分支上，分别
过点 做 轴的垂线段，垂足分别为点 和 ，则以下结论：① ；②阴影部分面积是；③当 时， ；④若 是菱形，则 ．其中正确结论的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】作 轴于 ， 轴于 ，根据平行四边形的性质得 ，利用三角形面积公式
得到 ，则有 ，再利用反比例函数 的几何意义和三角形面积公式得到
， ，所以有 ；由 ， ，
得到 ；当 ，得到四边形 是矩形，由于不
能确定 与 相等，则不能判断 ，所以不能判断 ，则不能确定 ；若
是菱形，根据菱形的性质得 ，可判断 ，则 ，所以 ，
即 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，
四边形 是平行四边形，，
，
，
， ，
，故①正确；
， ，
，
，
，故②错误；
当 ，
四边形 是矩形，
不能确定 与 相等，
而 ，
不能判断 ，
不能判断 ，
不能确定 ，故③错误；
若四边形 是菱形，则 ，
而 ，
，
，
，
，
，故④正确，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数 的几何意义、平行
四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．
3．（2023·浙江湖州·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比
例函数 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点 和点 在函数
的图象上( 且 )，点 和点 在函数 的图象上．当 与 的积
为负数时，t的取值范围是( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得 ．令 ，代入两个函数
表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出 与 的表达式，
代入解不等式 并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵ 的图象与反比例函数 的图象的两个交点中，有一个交点的横
坐标为1，
∴ ．
令 ，则 ， ．
将点 和点 代入 ，得 ；
将点 和点 代入 ，得 ．∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
①当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去；
②当 时， ，
∴ 符合要求；
③当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去；
④当 时， ，
∴ 符合要求；
⑤当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
4．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线 第一和第三象限的两支上，连接 ，线段 恰好经过原点O，以 为腰作等腰三角形
， ，点C落在第四象限中，且 轴，过点C作 交x轴于E点，交双曲线第一
象限一支于D点，若 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】设 ， ，则 ，根据已知条件，求出 ，
， ，根据 ，即可求出 ，连接
，设 与 轴交于 点，根据已知条件证明 ，得出 ，根据已知条
件证明 ，过点A作 轴于点M，求出 ，即可求出k的值．
【详解】解：设 ， ， ，
∵ ， 轴，
，
设AB的函数关系式为： ，把 代入得： ，
解得： ，∵ ，
，
设 的关系式为： ，把 代入得： ，
解得： ，
∴ 的关系式为： ，
联立 ，
解得： 或 ，
∵点D在第一象限，
∴ ，
，
连接 ，设 与 轴交于 点，
，
∵ ，
，
为 的中点， ，
，
，
∴ ，
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 轴于点M，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形
的判定和性质，作出辅助线，求出 ，是解题的关键．5．（2023·安徽·校联考二模）如图，A，B两点分别为 与x轴，y轴的切点． ，C为优弧
的中点，反比例函数 的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B．8 C．16 D．32
【答案】A
【分析】连接 ，过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，根据切线的性质，等弧所
对的圆心角相等，易得 为等腰直角三角形，四边形 为正方形，四边形 为矩形，
求出点 的坐标即可．
【详解】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，
则： ，
∵A，B两点分别为 与x轴，y轴的切点，
∴ 轴， 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴四边形 为正方形；∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵C为优弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查求反比例函数的 值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰
三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难
度较大．
二、填空题
6．（2023秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）定义：在平面直角坐标系 中，
函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于 的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如，点
为一次函数 图象的“ 阶积点”．若y关于x的一次函数 图象的“n阶积点”恰好有3个，则n的值为 ．
【答案】1或3/3或1
【分析】设点 是一次函数 图象上的“n阶积点”，得出 ，则 ，推出
，一次函数 经过一、三象限，易得 经过一、三象限，一次函数 经
过一、三象限，则 函数图象与 函数图象有2个交点；根据y关于x的一次函数
图象的“n阶积点”恰好有3个，得出 函数图象与 函数图象有1个交点，
则方程 ，有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ，即一次函数 经过点 ，
∵y关于x的一次函数 图象上存在“n阶积点”，
设点 是一次函数 图象上的“n阶积点”，
∴ ，则 ，
∴ ，一次函数 经过一、三象限，
∴ 或 ，
∵ 经过一、三象限，一次函数 经过一、三象限，
∴ 函数图象与 函数图象有2个交点；
∵y关于x的一次函数 图象的“n阶积点”恰好有3个，∴ 函数图象与 函数图象有1个交点，
联立得： ，
则 ，
整理得： ，
∴ ，
解得： 或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，
解题的关键是正确理解题目所给“n阶积点”的定义，熟练掌握相关知识点并熟练运用．
7．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）定义：平面直角坐标系 中，点 ，点 ，若
， ，其中 为常数，且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”． 例如，点 ， 是点
， 的“ 级变换点”．
(1)若函数 的图象上存在点 ， 的“ 级变换点”，则 的值为 ；
(2)若关于 的二次函数 ( ) 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直
线 上，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】（1）根据“ 级变换点”定义求解即可；
（2）由题意得，二次函数 的图象上的点的“1级变换点”都在函数
的图象上，得到函数 的图象与直线 必有公共点．分
当 时和当 ， 时分类讨论即可．
【详解】解：（1）函数 的图象上存在点 的“ 级变换点”根据“ 级变换点”定义，点 的“ 级变换点”为 ，
把点 代入 中，
得 ，解得 ．
（2）由题意得，二次函数 的图象上的点的
“1级变换点”都在函数 的图象上．
由 ，整理得 ．
，
函数 的图象与直线 必有公共点．
由 得该公共点为 ．
①当 时，由 得 ．
又 得 ，
且 ．
②当 ， 时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，二次函数的性质，根据题意理解新定义是解题的关键．
8．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，与函数
的图象交于 两点，以 为邻边作平行四边形 ．下列结论中：
① ；②若 ，则当 时， ；③若 ，则平行四边形 的面积为3；④若
，则 ．其中正确的有 ．【答案】①②③
【分析】联立求得 两点的坐标，利用勾股定理即可判断①；根据 两点的坐标即可判断②；求得
的坐标，利用菱形的面积公式进行计算即可判断③；假设 ，则 ，而 ，即可判断
④．
【详解】解：① 函数 的图象与函数 的图象交于 两点，
联立 ，
解得： 或 ，
， ，
由勾股定理可得： ，
，
，故①正确，符合题意；
②若 ，
联立 ，解得： 或 ，
， ，
根据图象可得：当 时， ，故②正确，符合题意；
③如图，连接 ，
，
平行四边形 中， ，
四边形 是菱形，
若 ，则 ， ，
，
根据勾股定理可得： ， ，
，故③正确，符合题意；
④若 ，根据菱形的性质 ，
，
平分 ，
必须有 ，
由③可知，若 ，则 ，
那么 ，
， ，若 ，则 不成立，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的为：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的判定与性质、坐标与图象、勾股定理等知
识，熟练掌握以上知识点，求得交点坐标是解此题的关键．
9．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，在第一象限，反比例函数 和
的图象分别与直线 交于点 ， ，过点A，B分别作 轴，
轴，垂足分别为C，D．
（1）① 的值为 ．
②图中阴影部分的面积为 ．
（2）已知反比例函数 的图象与直线 交于点 ，与抛物线 交于
点 ， ，将点M，N之间的抛物线（不含端点）记为图象G，则图象G上的整点
（横、纵坐标都是整数的点）有 个．
【答案】 10 15 23
【分析】（1）①将 代入 ，求得 ，即 ，再将 代入 ，即可
求出 得值；②由①知 ，即反比例函数解析式为 ，同理将 代入 ，求得
，即 ，再将 代入 ，即可求出 得值，即反比例函数解析式为
，根据 轴， 轴，垂足分别为C，D，得 ， ，根据阴影部分面积为 即可求解；
（2）将点 代入 ，求得 ，即反比例函数 的图象与直线
交于点 ，将点 代入 ，求得 ，即反比例函数解析式为
，再将 代入 ，得到 ，即 ，然后联立 与
，利用因式分解法求解方程，求出 点坐标，即 ，最后根据
在自变量 范围内，利用规律找出横、纵坐标都是整数的点即可．
【详解】解（1）①将 代入 ，
得 ，即 ，
再将 代入 ，即 ，
解得： ；
②由①知 ，即反比例函数解析式为 ，
同理将 代入 ，
得 ，即 ，
再将 代入 ，即 ，
解得： ，即反比例函数解析式为 ，
轴， 轴，
， ， ， ，
， ， ， ，阴影部分的面积： ，
故答案为：10，15；
（2）将点 代入 ，
得 ，
即反比例函数 的图象与直线 交于点 ，
将点 代入 ，即 ，
解得： ，即反比例函数解析式为 ，
再将 代入 ，即 ，
解得： ，即 ，
联立 ，
将②代入①得： ，
整理得： ，即 ，
因式分解得： ，
或 ，
解得： ， ， ，
，
（舍去），，
，
可以取到的整数为 ，
当 为奇数时， 不是整数，当 为偶数时， 是整数，
在 中共有23个偶数，
图象G上的整点（横、纵坐标都是整数的点）有23个，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数的
解析式，三角形的面积，函数的图象的应用，因式分解法解方程，能综合运用知识点进行计算，数形结合
与方程的思想是解题的关键．
10．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，点 在函数 的图象上，点 为 轴正半
轴上一点， ， 轴于点 ，将 沿 翻折得到 ，点 正好落在
的图象上，已知 ， ， ， ，则 ， ．
【答案】
【分析】根据 ，构造一个圆心为 的圆，使 ，则点 在圆 上，借助垂径定理可
求出点 坐标．过点 作 轴垂线，借助于全等和勾股定理可求出点 的坐标．
【详解】解：在直线 上取点 ，以 为圆心作 ，则经过 ， 两点，连接 ， ，∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴点 在 上．
连接 ，过点 作 于 ，
则 ．
又∵ ，
在 中， ， ，
∴ ，则 ，
故 ．
∴ ．
过点 作 轴垂线，垂足为 ，记 与 轴交点为 ．
则 ，
又 ，且
∴ ，则 ．
在 中，
，得 ．
则 ， ．
过点 作 轴垂线，垂足为 ．则由面积法可知： ，
解得 ．
在 中，
：．
．
所以 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，反比例函数的性质，折叠的性质，勾股定理，得出点 在圆 上，借助
垂径定理可求出点 坐标是解题的关键．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点 ， ， …在反比例函数 的图象上，点 ，
， ，… 在y轴上，且 ，直线 与双曲线 交于点 ，
， ， …，则 （n为正整数）的坐标是 ．
【答案】
【分析】如图，过 作 轴于 ，求解 ，结合题意， ， ， ，…，都是
等腰直角三角形，想办法求出 ， ， ， ，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【详解】解：如图，过 作 轴于 ，
∵ ，其中 ，
解得： ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
同理可得： ， ，…，都是等腰直角三角形，
同理设 ，
∴ ，
解得 ， （负根舍去）
∴ ，
同理可得： ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是
学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
12．（2022·福建三明·统考模拟预测）反比例函数 （ ， 为常数）和 在第一象限内的图
象如图所示，点 在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点 ； 轴于点 ，交
的图象于点 ，当点 在 的图象上运动时，以下结论：
；
四边形 的面积为 ；
当 时，点 是 的中点；
若 ，则四边形 为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】
【分析】 由反比例函数的几何意义可得答案； ，进行计算即可得
到答案； 连接 ，根据已知条件得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论； 由 知，，解得： ，得到 不一定等于 ，从而得出结论．
【详解】解： 轴于点 ，交 的图象于点 ； 轴于点 ，交 的图象于点 ，
轴， 轴，
点 在反比例函数 上，
，故 正确，符合题意；
点 在 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，
，
，故 正确，符合题意；
连接 ，
，
，
，
在函数 的图象上，点 在 的图象上，
， ，
， ，
，
点 是 的中点，故 正确，符合题意；，
由 知， ，
解得： ，
点 在 的图象上运动，
不一定等于 ，
四边形 不一定为正方形，与 的取值无关，故 错误；
综上所述，正确的是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂
线，所得矩形面积为 ，所得三角形的面积为 ，熟练掌握此知识点是解题的关键．
三、解答题
13．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 图象过第二象限内的点 ，若
直线 经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点 ．
(1)求反比例函数 的解析式和直线 解析式．
(2)若点C的坐标是 ，求 的面积．
(3)直接写出不等式 的解集：_________．
(4)在第（1）问的基础上，点P在y轴上，点Q在反比例函数 的图象上，且使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的Q点坐标：_________．
【答案】(1) ； ；
(2) 的面积为9；
(3) 或
(4) 或 或
【分析】（1）将 代入 得 ，进而可得反比例函数解析式；将 代入 ，
得 ，可得 点坐标，然后将 坐标代入 中求出 的值，进而可得 的解析
式；
（2）如图，将 代入 中求解，可得 点坐标，根据 ，计算求解即可；
（3）根据函数图象即可得解；
（4）分情况讨论，当 是平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式求解即可；当 是平行四边形的
边时，利用平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数 过点 ，
∴将 代入得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
将 代入 ，得
∴
将 ， 代入 得 ，
解得 ，∴直线的解析式为 ；
（2）解：如图，
将 代入 得 ，
∴ ，
∴
，
∴ 的面积为9；
（3）解：∵ ， ，
∴不等式 的解集为： 或 ；
故答案为： 或 ；
（4）解：∵ ， ，
当 是平行四边形的对角线时， 的中点坐标为 即 ，
∵点P在y轴上，∴点P的横坐标为0，
∵点Q与点P关于 对称，
∴点Q的横坐标为2，
∵点Q在反比例函数 的图象上，∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
当 是平行四边形的边时，
①点 向左平移4个单位得到点P，则点 也向左平移4个单位得到点Q，
∴点Q的横坐标为 ，则点Q的纵坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ；
②点 向右平移2个单位得到点P，则点 也向右平移2个单位得到点Q，
∴点Q的横坐标为 ，则点Q的纵坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ；
综上，所有满足条件的Q点坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，平行四边形的性质，
反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）已知，矩形 在平面直角坐标系中的位置如
图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为 ，反比例函数 的
图象经过 的中点D，且与 交于点E，连接 ， ．(1)反比例函数 的表达式是______，点E的坐标为______；
(2)点M为y轴正半轴上一点，若 的面积等于 的面积，求点M的坐标；
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数 图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)存在， ， ；
【分析】（1）根据四边形 是矩形得到 轴， 轴，结合点B的坐标为 得到 ，
，从而得到 ，代入解析式求解即可得到答案；
（2）设点 ，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案；
（3）设点 ，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可
得到答案；
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ 轴， 轴，
∵点B的坐标为 ，
∴ ， ，
∵D是 的中点，∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点D，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，
，
解得： ，
∴ ；
（3）解：设点 ，
∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
当以 为对角线时，
， ，
即 ，
∵点Q在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ；当以 为对角线时，
， ，
即 ，
∵点Q在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ；
当以 为对角线时，
， ，
即 ，
∵点Q在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ，与点E重合，不符合题意舍去；
综上所述：存在， ， ；
【点睛】本题考查反比例函数动点问题，解题的关键是设出动点分类讨论．
15．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知直线 与反比例函数
的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)如图1，当点A坐标为 时，
①求直线 的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线 上方一点，当 面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线 向上平移2个单位得到直线 ，将双曲线位于 下方部分沿直线 翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】(1)① ；② 或
(2)
【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得 的值，代入一次函数即可求得直
线 的解析式；
②作 ，过C作 于Q；联立 与反比例函数解析式，求得 的坐标，进而求得 的
长，根据三角形面积求得 的距离，进而求得 的解析式，联立 与反比例函数解析式即可求
得 点的坐标；
（2）过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，由题意可知直线 的解析式为 ，
则 ，同（1）可得 ，证明I为 的中点，得到
，则直线 的解析式为 ，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线 有且只有一个
公共点，则 点对应的点为 ，则 ，即I是 的中点，求出 ，根据两点中点坐标公式
得到 ，由此求解即可；
【详解】（1）解：①∵ 在 上，
∴ ，
把 代入 中得： ，则直线 解析式为： ，反比例函数解析式为： ；
②由直线 与反比例函数 的图象分别交于点A和点B，
则 ，
解得 或 ，
∴ ，
，
如图，过P作 分别交x轴、y轴于点M、N，过C作 于Q，
设 的距离为d，则 ，
解得 ，
∴ 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，令 ，则 ，令 ，则 ，即
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
在 中， ，
∴直线 是直线 向右平移2个单位后得到的直线，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
或 ；
（2）解：过点 作 于J，交 于点 ，交 于点 ，如图，
∴ ，
由题意可知直线 的解析式为 ，
∴ ，
同（1）可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴I为 的中点，∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，则 点对应的点为 ，
，即I是 的中点，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （负值舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，
解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解题的
关键．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图 ，一次函数 的图像与 轴交于点 ，与反比
例函数 的图像交于点 ，点 是线段 上一点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的
平行线与该反比例函数的图像交于点 ，与 轴交于点 ，连接 、 ．(1)一次函数表
达式为___________；反比例函数表达式为___________；
(2)在线段 上是否存在点 ，使点 到 的距离等于它到 轴的距离？若存在，求点 的坐标，若不
存在，请说明理由；
(3)将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ．
①若点 的对应点 恰好落在该反比例函数图像上（如图 ），求出点 、 的坐标；
②如图 ，在平移过程中，射线 与 轴交于点 ，点 是平面内任意一点，若以 、 、 ﹑ 为
顶点的四边形是菱形时，直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)存在，点 坐标为 ；
(3)①点 ,点 ；②点 的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设点 ，根据 的面积列方程，求解即可；
（3）①连接 ，根据平行线的性质，可得直线 的解析式，联立直线 解析式与反比例函数解析
式，求出点 坐标，根据平移的性质进一步即可求出点 坐标；
②根据平移的性质，先求出直线 的解析式，表示出 的坐标，可得
，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当 为边时，当 、 为边时，当 、 为边时，分别列方程，
求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数的表达式： ，
将点 代入反比例函数 ，
得 ，
反比例函数表达式： ，
故答案为： ；
（2）解： 点 的横坐标为 ，过点 作 轴的平行线与该反比例函数的图像交于点 ，
点 ，点 ，
，
设点 ，
点 到 的距离等于它到 轴的距离，
，
解得 ，
点 坐标为 ；
（3）解：①连接 ，如图所示：根据平移的性质可得 ，
直线 的解析式： ，
联立 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
点 ，
根据平移的性质，可得点 ；
② 点 ，
设直线 的解析式： ，
代入点 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式： ，
根据平移，可得 ，
设直线 的表达式为 ，
直线 的解析式为 ，
设平移后的点 为 ，则点 ，将点 坐标代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的表达式为： ，
当 时， ，
点 ，
，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：
当 为边时， ，
解得 或 （舍去），
点 ，
当 、 为边时， ，
解得 ，
点 ；
当 、 为边时， ，
解得 （舍 或 ，
点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判
定等，本题综合性较强，计算量较大．
17．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我们知道，一次函数 的图像可以由正比例函数的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小明认为：函数 也可以由反比例函数 通过平
移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指出了平移规律，即只要把 （双曲线）的图像向左
平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数 的图像上下都无限逼近直线 ！如图2，已知反
比例数C： 与正比例函数L： 的图像相交于点 和点B．
(1)写出点B的坐标，并求 和 的值；
(2)将函数 的图像C与直线L同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ，已知
图像 经过点 ；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像 对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式 的解集为 ；
【答案】(1) ， ，
(2)① ；② ；③ 或
【分析】（1）将 分别代入 、 及可求解；
（2）①将 代入 即可求解；②直接写出平移后 表达式即可；③当 时，解得： ，再结合图象即可求解；
【详解】（1）解：将 代入 得 ，解得： ；
∴ ．
将 代入 得 ；
∴ ．
由题意得 ，解得： 或 ，
∴ ．
（2）①将 代入 得 ，解得： ；
故答案为： ．
②平移后的图像 对应的函数关系式为 ，
故答案为： ．
③如图，当 时，解得： ，
结合图像， 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
18．（2023春·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数
（ ，常数 ）图象上一点 作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且
．
(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， （ ）
(2)见解析
(3) 时，矩形 的周长取得最小值为4
【分析】（1）由题意可得 ， ，求出点 ，即可得出 ，根据得到 ，求出 ，从而得到点 的坐标，将点 的坐标代入函数解析式计算
即可；
（2）设 （ ），则 ，计算出 和 ，进行比较即可得到答案；
（3）设 （ ），则 ， ，从而得到 ， ，再表示出
矩形的周长进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得： ， ，
在 中，当 时， ，
，
，
，
，
，
∴点 ，
将点 代入函数 （ ）得： ，
，
∴ （ ）；
（2）解：设 （ ），则 ，∴ ，
，
∴ ；
（3）解：存在满足题设条件的点 ，
设 （ ），则 ， ，
， ，
∴矩形 的周长
∴当 ，即 ， 时，矩形 的周长取得最小值为4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握
以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
19．（2023春·山西晋城·八年级校考期中）综合与实践
问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线 轴，直线 分别与反比例函数 的图象交
于点A，与反比例函数 的图象交于点B，连接 ， ．
(1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断 的形状，并说明理由．
(2)问题探究：如图②，将直线 向右平移若干个单位后得到直线 ，它与两个函数图象的交点分别为， ，连接 ， ，则在直线 向右平移到直线 的过程中， 的面积是否发生变化？若变
化，说明理由；若不变，求出 的面积．
(3)问题拓展：如图③，将直线 向右平移若干个单位后与反比例函数 的图象交于点C，与x
轴交于点P，与反比例函数 的图象交于点Q，连接 ， ，当P恰好是 的中点时，请直接写
出 的面积．
【答案】(1) 为等腰三角形，理由见解析
(2) 的面积不发生变化，为 ．
(3)
【分析】（1）先求解 ， ，再求解 ， ， 的长度，从而可得结论；
（2）利用反比例函数的比例系数k的几何意义可得面积不变，从而可得答案；
（3）先求解直线 为 ，设 为 ，设 ，而P恰好是 的中点，可得
，设 为 ，可得 ，可得 ，可得 ， ，由中
点坐标公式可得： ，再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵直线 分别与反比例函数 的图象交于点A，与反比例函数
的图象交于点B，点A，B的横坐标为3，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理可得： ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
（2）如图，记 与x轴的交点为M，记 与x轴的交点为N，
∵直线 轴，
∴ 轴，同理： 轴，
∴ ，
，
∴ 的面积不发生变化，为 ．
（3）∵ ，设直线 为 ，
∴ ，解得 ，即直线 为 ，
由平移的性质可得： ，
设 为 ，
设 ，而P恰好是 的中点，
∴ ，∴ ，解得： ，即 ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，解得： （负根舍去），
∴ ， ，
由中点坐标公式可得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，求解一次函数的
解析式，中点坐标的含义，二次根式的混合运算，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关
键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 与双曲线 交于A， 两点，点A的坐
标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连结 并延长交 轴于点 ，且 ．
(1)求 的值，并直接写出点 的坐标；
(2)点 是 轴上的动点，连结 ， ，求 的最小值和点 坐标；
(3) 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；
(2)如图1，作 轴于点E， 轴于点F，则 ， ，利用相似三角形性质
即可求得 ，作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点G，则 即为 的最小值，
运用勾股定理即可求得答案；
(3) 分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标为 代入直线 中，
得 ，
解得： ，
，
，
∴反比例函数解析式为 ，
由 ，
解得 或 ，
∴点B的坐标为 ；（2）解：如图，作 轴于点E， 轴于点F，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点G，则 即为 的最小值，
，
，
，
设 的解析式为 ，
，
，解得： ，
解析式为 ，
当 时， ，
；
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，
设点 的坐标为 ，过点B作 轴于点M，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
， ，，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为 ；
当点P在y轴上时，过点B作 轴于点N，如图2，
设点 的坐标为 ，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
即 ，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值
问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用
分类讨论的思想解决问题．21．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）定义：在平面直角坐标系中，直线
与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线 的轴对称图形，与原函
数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线 的“对
称函数"．例如：图1是函数 的图象，则它关于直线 的“对称函数”的图象如图2所示，可以
得出它的“对称函数”的解析式为 ，
(1)写出函数 关于直线 的“对称函数”的解析式为______；
(2)若函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，则 ______；
(3)已知正方形 的顶点分别为： ， ， ， ，其中
①若函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则 ______；
②若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，求n的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
(3)①4；② 或 ．
【分析】（1）根据“对称函数”的定义可知 “对称函数”的图象是关于 的对称，故求出 图
象上任意两点坐标，再根据函数 关于直线 的“对称函数”是关于 对称，求出对称点坐标，
再由待定系数法求出“对称函数”的解析式即可；
（2）先求出点 关于直线 的对称点，将对称点代入 求解即可；（3）①先画出函数 关于直线 的“对称函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况
求解即可；
②根据正方形和“对称函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象
限两个，分别结合图象进行求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴则点 、 关于直线 的对称点为 ， ，
设直线 关于直线 的对称直线为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线为 ，
∴函数 关于直线 的”对称函数”的解析式为 ；
故答案为：
（2）点 关于直线 的对称点为 ，
∵函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，
∴ 经过为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．（3）①函数 关于直线 的“对称函数”的图象如图所示：
∴函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则有：
第一象限有两个公共点，第三个交点在第三象限，当 图象上的点， ，此时 ，
故答案为：4；
②如图：若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，则第一象限一点
一定有两个交点它们是 、 ；
根据正方形和“对称函数”的图象对称性，
I．当 时，“对称函数”的图象与正方形 有2个公共点，
II．当 时“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，III当 时，“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，如图所示，
IV．当 时，如图所示，显然有“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，
V．当 时，如图所示，此时当 时有 ，
∴“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，
VI．当 时，显然有“对称函数”的图象与正方形 有5个公共点，VII．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，
第二象限也有两个交点，共有6个交点；
VIII．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，
第二象限也有1个交点，共有5个交点；
IX．当 时，“对称函数”的图象与正方形 在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第
二象限有0个交点，共有4个交点；综上所述：若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，n的
取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”对称函数”，能够将图象的对称转化为点的
对称，借助图象解题是关键．
22．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）已知抛物线 的顶点为点P，抛物线与
x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C.
(1)小明说此抛物线一定过定点 ，小明的说法正确吗？说明理由；
(2)如图，若A、B两点在原点的两侧，且 ，四边形 为正方形，其中顶点E、F在x轴上，
M，N位于抛物线上，求此抛物线解析式及点E的坐标；
(3)若线段 ，点Q为反比例函数 与抛物线 在第一象限内的交点，设Q的横
坐标为m，当 时，直接写出k的取值范围.
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)
(3)【分析】（1）将抛物线解析式变形为 即可判断；
（2）先根据对称轴求出A，B坐标，进而求出抛物线解析式，设 ，根据点E和点F关于抛物线的
对称轴对称，可得 ，再用含m的代数式表示出 ，根据 列方程，即可求解；
（3）先根据线段 求出 ， ，进而求出抛物线解析式，进而判断 时抛物线和双
曲线的增减性，可知 时，双曲线在抛物线上方， 当 时，双曲线在抛物线下方，由此列不等式即
可求解．
【详解】（1）解：正确，理由如下：
，
当 时，无论a取何值，y一定等于 ，
∴此抛物线一定过点 ；
（2）解：设 ， ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 代入 ，
解得 ，
∴ ；设 ，则 ，
，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ；
（3）解：设 ， ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
又∵线段 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 代入 ，
得 ，解得 ，
∴ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为
当 时，对于抛物线 ，y随x的增大而增大，对于反比例函数 ，y随x的增大而减
小，
∴ 时，双曲线在抛物线上方，即 ，
解得 ，当 时，双曲线在抛物线下方，即 ，
解得 ，
∴k的取值范围是 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正方形的性质，抛物线与双曲线的交点问题等，解题的关键是
熟练运用二次函数图象的对称性质，注意数形结合思想的运用．
23．（2022·湖南长沙·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交
于点 ，与双曲线 交于点 ，点 是双曲线上的动点，横坐标为 ，作
轴交直线 于点 ，连接 、 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的面积 与 的函数关系式，并求 的最大值；
(3)当四边形 为平行四边形时，连接 ，并将直线 向上平移 个单位后与反比例函数
的图象交于 、 两点，与直线 交于点 ，设 、 、 三点的横坐标分别为 、 、
，是否存在正实数 使得等式 成立，如果存在，求出 的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ， 有最大值 ；
(3)存在， ．【分析】（1）将 代入 ，求出 的值，将 代入 ，求 的值即可；
（2）由题意可得 ， ，可求 ，则当 时， 有最大值 ；
（3）由四边形 为平行四边形，求出 ，再由待定系数法求直线 的解析式，则平移后的直线
解析式为 ，联立方程组 ，根据根与系数的关系可得 ，再联立方程
组 ，可求 ，则 ，由题意可得方程 ，求 的值即可．
【详解】（1）解： 在直线 上，
，
，
将 点代入 ，
；
（2）解： 点横坐标为 ，
，
轴，
，
，
，
当 时， 有最大值 ；
（3）解：存在正实数 使得等式 成立，理由如下：四边形 为平行四边形，
，
令 ，则 ，
，
，
，
解得 或 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
平移后的直线解析式为 ，
联立方程组 ，
整理得， ，
， ，
，
联立方程组 ，
解得 ，，
，
，
，
解得 或 ，
是正实数，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边
形的性质，一元二次方程根与系数的关系．
24．（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）图形的平移变换、对称变换等是
研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线 和曲线 进行
了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当 时，x的取值范围是 ；直线
与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则 与 的比值是多少？
探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线 ，直线 与两条曲线分别交于E，F两点，若
，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
【答案】探究一： ；探究二： ；探究三：【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次
方程有两个相等的实数根，据此求解即可；
探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出
的长即可得到答案；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线 交于H，G，T，求出 ，进而
证明 ，再证明 ，得到 ，即 ，则E、F关于直线l对称，进
而得到 ，设 ，推出 ， ，则
，即可求出 ， ，再根据 ，得到
，解方程即可得到答案．
【详解】解：探究一：联立 得： ，
∵直线l与曲线c有且只有一个交点，
∴关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
当 时，原方程为 ，解得 ，不符合题意；
当 时，原方程为 ，解得 ，符合题意；
∴ ；
探究二：设 ，
由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为 ，
∵当 时，x的取值范围是 ，∴ ，
联立 得： ，
∵直线l与曲线c交于A，B两点，
∴方程 的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∴直线l的解析式为 ，
∴ ，
∴ ；
联立 ，解得 ，
∴ ；
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线 交于H，G，T，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
又∵直线 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴E、F关于直线l对称，
∴ ，
设 ，
联立 得： ，联立 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或 ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的
解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．
25．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长
的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图像的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为 ，相邻的两边长为 、 ，则 ， ，即 ， ，
那么满足要求的 应该是函数 与 的图像在第___________象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图像①画函数 的图像；
②在同一直角坐标系中直接画出 的图象，则 的图像可以看成是 的图像向上平移
___________个单位长度得到．
（3）研究函数图像
平移直线 ，观察两函数的图像；
①当直线平移到与函数 的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长 的
值为_____________；
②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长
的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为9的矩形的周长 的取值范围为___________
【答案】（1）一；（2）①画图见详解，②画图见详解， ；（3）① ，8；②0个交点时， ；
1个交点时， ；2个交点时， ；（4） ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象，根据图象回答即可；
（3）①把点 代入 即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情
况，结合函数的图象，即可求解；
（4）方法同前面的思路联立两个函数的解析式得一元二次方程，满足方程有根，求出m取值即可．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点 在第一象限，
故答案为：一；
（2）如图，的图像可以看成是由 的图像向上平移 个单位长度得到．
故答案为： ；
（3）①当直线平移到与函数 的图像有唯一公共点的位置时，如图，
从图象可以看出，公共点的坐标为
把点 代入 得：
，解得： ，
故答案为： ；
②由①并结合图象知：0个交点时， ；2个交点时， ；
（4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有
，
∴ ，即
两个函数有交点时，
解得， 或 （不符合题意，舍去）
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数图象平移等知识点，此类
探究题，通常按照题设条件逐次求解，是解题的关键所在．
26．（2023·江苏泰州·校考三模）定义：对于关于x的函数y，我们称函数 ，为函数y的n
分函数（其中n为常数）．例如：一次函数 的3分函数为 ．
(1)已知点 在一次函数 的2分函数图象上，则n的值为______．
(2)如图，结合反比例函数 的3分函数，直接写出：当 时， 的取值范围______．
(3)已知 是二次函数 的1分函数图象上的点，当 时，满足 ，求k的最
大值．(4)若点M、N的坐标分别为 ， ，连接 ．当二次函数 的m分函数图象与线
段 有两个公共点时，直接写出m的取值范围______．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4)
【分析】（1）找到一次函数 的2分函数的解析式即可求解；
（2）将图象分成 和 两段，结合数形结合思想即可求解；
（3）确定二次函数 的1分函数的解析式，画出对应的图象，分类讨论 、 即可求
解；
（4）确定二次函数 的m分函数解析式，抓住线段 与图形交点的临界位置进行讨论．
【详解】（1）解：一次函数 的2分函数为：
∵点 在一次函数 的2分函数图象上，且
∴
故答案为：
（2）解：由图得： 的图象由两段构成： 和
当 时， ；
当 时， ；
故 的取值范围是： 或
故答案为： 或（3）解：二次函数 的1分函数为：
如图所示：
当 时，
最低点坐标为：
∴ 的取值范围是
当 时，满足方程 的 的值，就是 的最大值
解方程得： （舍去）
∴ 的最大值为
（4）解：由定义可知：
当 时，解得： 或
当 时， ；当 时， ；
当两个交点都在 时，则有：此时无解，舍去；
当两个交点都在 时，则有：
此时无解，舍去；
一个交点在 ，另一个交点在 时，则有：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．熟练掌握二次函数的图象与性质、数形结合思想是解题关键．
27．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，已知线段 ， ， ，现将线段 沿
y轴方向向下平移得到线段 ．直线 过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线 的一
条分支上，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)① 直接写出不等式 的解集；
② 若点P是y轴上一点，且 的面积为8.5，请直接写出点P的坐标；
(3)若点 ， 在双曲线 上，试比较 和 的大小．【答案】(1)y ， ；
(2)① 或 ；② 或 ；
(3)当 或 时， ；当 时， ．
【分析】（1）设线段 沿y轴方向向下平移t个单位得到线段 ，则点M、N的坐标分别为 、
，将点M、N的坐标代入 ，得： ，解得 ，再将点M、N的坐标代入
一次函数表达式，利用待定系数法即可求解；
（2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解；
②设直线MN与y轴的交点为C，先求出 ，再根据 ，求出 的长，即可得到
点P的坐标；
（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得： ， ，则 ，根
据a的取值分情况讨论即可求解．
【详解】（1）设线段 沿y轴方向向下平移t个单位得到线段 ，
点M、N的坐标分别为 、 ，
将点M、N的坐标代入 得： ，
解得： ，
点M、N的坐标分别为 、 ，
，
反比例函数的解析式为：y ，
将点M、N的坐标代入一次函数解析式 ，得 ，解得： ，
一次函数解析式为： ；
（2）①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方部分即为不等式解集，
不等式 的解集为 或 ；
②设直线 与y轴的交点为C，
令 ，则 ，
∴
如图，当点P在点C上方时， ,
的面积为8.5，
∴
解得 ，
；
如图，当点 在点C下方时，同理可得， ，
，
综上可知，点P的坐标为 或 ；（3）将点 ， 分别代入反比例函数 ，
得： ， ，
则 ，
当 时，即 或 时， ；
当 时，即 时， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识
点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
28．（2023春·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过点A，点A的横坐
标是 ，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线 ．(1)判断点B是否在反比例函数 的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数 的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连
接 ， ， 和 ．求证：四边形 是矩形；
(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，
请直接写出此时点P的坐标．
【答案】(1)点B在反比例函数 的图象上，理由见解析
(2)证明见解析
(3)点P的坐标为 或 或
【分析】（1）求出点 的坐标，判断即可；
（2）证明 ， ，推出四边形 是平行四边形，再证明 ，可得结论；
（3）分三种情况：当四边形 是菱形时， ；当四边形 是菱形时， ；当四边
形 是菱形时， ．
【详解】（1）解：结论：点B在反比例函数 的图象上．
理由：∵反比例函数的图象 经过点A，点A的横坐标是 ，∴ ，
∵A，B关于原点对称，
∴ ，
∵ 时， ，
∴点B在反比例函数 的图象上；
（2）证明：由题意， ， ，
∵C，D关于原点对称，
∴ ，
∵A，B关于原点对称，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：如图，
当四边形 是菱形时， ．当四边形 是菱形时， ．
当四边形 是菱形时， ，
综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，
菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
29．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）（1）如图，已知点 、 在双曲线 上， 轴
与 ， 轴于点 ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为2． 与 的坐标分别为
、 （用 表示），由此可以得 与 的数量关系是 ．
（2）四边形 的四个顶点分别在反比例函数 与 的图象上，对角线
轴，且 于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为6．
①当 ， 时，判断四边形 的形状并说明理由．
②若四边形 为正方形，直接写出此时 ， 之间的数量关系．
【答案】（1） ， ， ；（2）①菱形，理由见解析；②
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①先确定出点 ， 坐标，再利用待定系数法即可得出结论，确定出点 ， ， 坐标，进而求出
， ，即可得出结论；
②先确定出 ， ，进而求出点 的坐标，再求出 ， 坐标，最后用 ，即可得出结论．
【详解】解：（1） 轴于 ， 轴于点 ，
，
由题意得 ， ，
， ，
，
，
故答案为： ， ， ．
（2）①当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
，
点 为线段 的中点，设 ，
则 ，
，
，
，
， ， ， ，
点 的坐标为 ，
，
四边形 为平行四边形．
又 ，
四边形 为菱形．
②四边形 能成为正方形．当四边形 为正方形时，设 ． ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
点 在反比例函数 的图象上，
，
解得： 或 （舍去），
点 的纵坐标为 ，
点 的坐标为 ，
，
整理得： ．
即四边形 能成为正方形，此时 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握菱形的判定以及正方形的性质是解题的关键．
30．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数
的图象相交于点 和点 ，点 ， 分别是 轴和 轴的正半轴上的动点，且满足
．
(1)求 ， 的值及反比例函数的解析式；
(2)若 ，求点 的坐标，判断四边形 的形状并说明理由；(3)若点 是反比例函数 图象上的一个动点，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，
求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)矩形，理由见解析
(3) ， ，
【分析】（1）把 和 分别代入 得： ；进而把 代入 得 ，
即可求解；
（2）根据 ，设 的解析式为 ，依题意得出 的坐标为 ，进而可得 解析式为
，进而得出 ，过点 作 轴于点 ，则 ，故 和 都等腰直角
三角形，得出 ，即可得出结论；
（3）①当 时，根据图形可得 ，②当 时，由图得 ，代入反比
例数解析式 ，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：把 和 分别代入 得： ；
把 代入 得 ，
所求反比例函数解析式为 ，
（2） ，
设 的解析式为 ，
又 ， 在 轴的正半轴上，
的坐标为 ，
以点 、 、 、 构成的四边形是矩形，理由如下：解析式为 ，
，
， ， ，
，
又
四边形 是平行四边形
过点 作 轴于点 ，则 ，故 和 都等腰直角三角形，
，
，
是矩形
（3）①当 时，由图得： ，
，则 ，
，
②当 时，由图得
，解得： 舍去，
综上所述： 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，分类
讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
31．（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）已知直线 上点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交
双曲线 于点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交双曲线 于点 ，若 是 的中点，且
四边形 的面积为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， 是双曲线 第一象限上的任一点，求证： 为常数 .
(3)现在双曲线 上选一处 建一座码头，向 ， ， ， 两地转运货物，经测算，从 到 ，
从 到 修建公路的费用都是每单位长度 万元，则码头 应建在何处，才能使修建两条公路的总费用
最低？ 提示：利用 的结论转化)
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点 在 连线与双曲线的交点上
【分析】（1）设 ，则 ，根据 ，即可求解；（2）由（1）得 ，设 ， ，根据两点距离公式，整理得出
，即可求解．
（3）由 知 ，从而得 ，当点 在 连线与双曲线的交点
上时， 取得最小值，据此可得．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
∴ ，
；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
设 ，
则
，
即 为常数
（3）由（ ）知 ，，
，
则当点 在 连线与双曲线的交点上时， 取得最小值，
，
，
最低总费用为 万元．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，因式分解的应用，熟练掌握待定系数法求解析
式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键．
32．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．
(1)若点 ．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②在y轴上取一点P，当 的面积为5时，求点P的坐标；
(2)过点B作 轴于点D，点E为 中点，线段 交y轴于点F，连接 ．若 的面积为
11，求k的值．
【答案】(1)① ② 或
(2)【分析】（1）①根据点 ，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式即可；②设 ，根据
求解即可；
（2）设 ，进而表示出 点的坐标，设直线 的解析式为 ，待定系数法求得
的解析式，进而令 求得 的坐标，根据 ，即可求得 的值．
【详解】（1）解：① 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，
将 分别代入 ， ，
解得
②设 ，则： ，
，令 ，则 ，即
即
解得 或
点P的坐标为 或
（2）设 ，
轴，则 ，
点在一次函数 上，则 ，
，
是 的中点，则 ，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
点在 轴上，
令 ，则 ，
，
，
即
解得 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，掌握
以上知识是解题的关键．
33．（2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ，与y轴交于点B．(1)求a，k的值；
(2)直线 过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D， ，连接 ．
①求C点的纵坐标
②求 的面积；
③点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上．若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直
接写出所有符合条件的点P坐标．
【答案】(1) ， ；
(2)① ；② ；③ 或 ．
【分析】（1）将点 的坐标代入一次函数表达式 得：可得 ， 将点A的坐标代入反比
例函数表达式 得： ，可得 ；
（2）①根据中点坐标公式先求出C的纵坐标，再把纵坐标的代入反比例函数解析式求解C的横坐标即可；
②如图1，作 轴于D，交 于E，再求解E的坐标，再利用割补法进行计算即可；③当 是对角
线时，即：四边形 是平行四边形，进而求解；当 为边时，即：四边形 是平行四边形（图
中的平行四边形 ），进而求解．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入一次函数表达式 得：
， 解得： ，
则点 ，
将点A的坐标代入反比例函数表达式 得： ，
解得： ；（2）①∵点 ，D点的纵坐标是0， ，
∴点C的纵坐标是 ， 把 代入 得 ，
∴ ，
②如图1，作 轴于D，交 于E，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③∵ ，
当 时， ，
∴ ，
如图2， 当 是对角线时，∵ ， ， 又点Q的纵坐标为0，
∴ ，
当 时， 则 ，
∴ ， 故 ；
当 为边时， 则四边形 是平行四边形（ ），
由 得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的
性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，清晰分类．
34．（2023·湖南长沙·校考三模）我们定义：对于一个函数，如果自变量 与函数值 ，满足：若
，则 （ 为实数），我们称这个函数在 上是同步函数．比如：函数 在
上是同步函数．理由： ， ， ，得 ， 是同步函数．
(1)若函数 在 上是同步函数，求 的值；
(2)已知反比例函数 在 上是同步函数，求 的值；
(3)若抛物线 在 上是同步函数，且在 上的最小值为 ，设抛物
线与直线 交于 ， 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的长．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；
（2）根据反比例函数的增减性可知， 时， ，从而得出答案；
（3）由 ， ，得 ，则抛物线 在 上是递增的，可知
时， ，且最小值为 ，得出抛物线的解析式，从而得出点 、 、 的坐标，设 ，根据
，可得 的坐标，再利用面积法求出点 的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：函数 在 上是同步函数，且函数 是递减函数，
∴ ， ，当 时， ；当 时， ；
，
．
（2）解：∵反比例函数 在 上是同步函数，
∴ ， ，
反比例函数 在 或 上是递减的，
当 时， 取最大值，当 ， 取最小值，
，
．
（3）解：抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ，
， ，
，
抛物线 在 上是递增的，当 时，取最小值，
，解得， ，
抛物线的函数表达式为 ，
抛物线与直线 相交于 、 两点，设 ， ，
假设 点在 点的左侧，即 ，
，解得， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ，
，解得， ，
，在 中，根据内心的性质，设内心 到各边距离为 ，得 ，
，
∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线，
内心 在 轴上，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内
心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出 的顶点坐标是解题的关键．
35．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，
与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，
所形成的新图象称为“ 的l镜像”．
(1)当 时；
①点 ________“ 的l镜像”；（填“在”或“不在”）②“ 的l镜像”与x轴交点坐标是_________；
(2)过y轴上的点 作y轴垂线，与“ 的l镜像”交于点B、C，若 ，求 的长．
【答案】(1)①在；②
(2) 的长为 或
【分析】（1）①根据函数“ 的 镜像”定义知：反比函数图象沿着直线 翻折前后部分关于直线
对称，当 时，反比例函数值 ，则点 关于直线 对称点为 ，得出点 在“
的 镜像”；②“ 的 镜像”与 轴交点纵坐标是0，根据直线 对称点在反比例函数
图象上纵坐标应为 时 ，“ 的 镜像”与 轴交点坐标是 ．
（2）由过 轴上的点 作 轴垂线，与“ 的 镜像”交于点 、 知：点 ， 纵坐标
，点 ， ，故 ，点 坐标为 ，点 关于直线 对称点坐标为 ，
．当点 ， 位置交换时， ．
【详解】（1）解：①由反比例函数 知：当 时， ．
且过点 作 轴的垂线 ．
关于直线 对称点坐标为 ．由“ 的 镜像”定义得：点 在“ 的 镜像”上．
故答案为：在．
② “ 的 镜像”与 轴相交点纵坐标为0．
关于直线 对称点在反比例函数 上点纵坐标为6．
时， ．
“ 的 镜像”与 轴交点坐标是 ．
故答案为： ．
（2）解：如图，① 过 轴上的点 作 轴垂线，与“ 的 镜像”交于点 、 ．
点 ， 纵坐标为 ．
点 在反比例函数 图象上．
点 坐标 ．
．
．
．
点 坐标为 ．当 时，反比例函数 的值 ．
点 与点 关于直线 对称．
由“ 的 镜像”定义得： ．
的长为 ．
②当点 ， 位置交换时，同理得 的长为 ．
的长为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
36．（2023·广东揭阳·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系 中，若几何图形 与 有公共点，则
称几何图形 为 的关联图形，特别地，若 的关联图形 为直线，则称该直线为 的关联直线．
如图， 为 的关联图形，直线 为 的关联直线．
(1)已知 是以原点为圆心， 为半径的圆，下列图形：直线 ； 直线 ； 双曲线 ，是 的关联图形的是______（请直接写出正确
的序号）．
(2)如图 ， 的圆心为 ，半径为 ，直线 ： 与 轴交于点 ，若直线 是 的关联直线，
求点 的横坐标的取值范围．
(3)如图 ，已知点 ， ， ， 经过点 ， 的关联直线 经过点 ，与 的一
个交点为 ； 的关联直线 经过点 ，与 的一个交点为 ；直线 ， 交于点 ，若线段
在直线 上且恰为 的直径，请直接写出点 横坐标 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 点 的横坐标
(3) 或
【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可；
（2）直线 的临界状态是和 相切的两条直线 和 ，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问题；
（3）过点H作 ，垂足为 ，交 于点 ，根据 可得 ，由 的
取值此即可确定点 横坐标 的取值范围．
分别讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：假设双曲线 上点 到原点的距离为2，
则 ，即 ，
整理，得 ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的根，因此双曲线 上点 和 到原点的距离为2，
故双曲线 与 有公共点；
如图所示，
直线 和 双曲线 与 有公共点， 直线 与 没有公共点，
因此 是 的关联图形，
故答案为： ；
（2）解：如图所示：
直线 是 的关联直线，
直线 的临界状态是和 相切的两条直线 和 ，
当临界状态是 时，连接 ， 则 ，
中，当 ， ，当 ， ，，
为等腰直角三角形，
，
，
点 ；
同理可得当临界状态是 时，点 ，
点 的横坐标 ；
（3）解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接 ， ，交于点H，过点H作 ，垂足
为 ，交 于点 ，
， ，
，
，
轴，
，
，
设点 ，则 ， ，，
解得 ，
当 最小时， ， 取最大值为2， 越大， 越小， ，
此时h取值范围为 ；
②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接 ， ，交于点H，过点H作 ，垂足为 ，交
于点 ，
同理可得： ，
设点 ，则 ， ，
，
解得 ，
当 最小时， ， 取最小值为 ， 越大， 越大，
此时h取值范围为 ；
综上可得 或 ．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识点，解题的关键是理解
题意，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题，难度较大，属于中轴压轴题．
37．（2023·安徽·模拟预测）小明同学利用寒假 天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为 元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
销售量m（千克） 销售单价n（元/千克）
当 时， 当 时，
设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为 元/千克；
(2)这 天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润 （售价 成本） 销售量】
(3)在实际销售的前 天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给
元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
试求a的取值范围．
【答案】(1)第 天或第 天该品种草莓的销售单价为 元/千克
(2)第 天或第 天获得的利润最大，最大利润均为 元
(3)
【分析】(1)分别在当 时，把 代入 和当 时，把 代入
可得到所求；
(2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当 时和当 时的最值即可；
(3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而
增大，据此求得a的取值范围．
【详解】（1）解：当 时，把 代入 ，
得 ，
解得 ，
当 时，把 代入 ，
得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
答：第 天或第 天该品种草莓的销售单价为 元/千克；（2）解：当 时， ，
，
当 时， 有最大值为 元；
当 时， ，
，当 时， 随x的增大而减小，
当 时， 有最大值为 元，
答：第 天或第 天获得的利润最大，最大利润均为 元；
（3）解：
，
前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大， ，
该抛物线的对称轴为直线 ，
解得 ，
又 ，
的取值范围为 ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运
用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．
38．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据
其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系：
t 1 2 3 4 5 6 …
P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 …
而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：(1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式
（不必写出自变量取值范围）；
(2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
(3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销
售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S）
(4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？
【答案】(1)反比例函数； ；
(2) ，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克
(3)该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元
(4)6元
【分析】（1）根据 可得销售单价P与t满足反比例函数，再变形即可得出解析式．
（2）设 ，代入 ， 计算即可求出解析式，再配方后求出最大值即可；
（3）根据销售收入＝销售单价P×销售量S列出函数解析式，再根据每天的销售收入低于600元列出不等
式即可解题．
（4）根据“每天的销售量不低于200千克”求出 的范围，再根据 求出 的最小值即可．
【详解】（1）P与t满足反比例函数关系．关系式为
（2）设 ，
根据题意得 ，解得 ，
∴ ．∴当 时， ．
∴S与t的函数关系式为 ，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克．
（3）根据题意得 ，
即 ，∴ ．
∵P随t的增大而减小，∴ （元）．
∴该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元．
（4）当 时，即 ．
解方程得 ， ，
∴当 时， ．
∵P随t的增大而减小，
∴当 ， （元）．
∴水果的最低售价是6元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，根据题
意列出对应的函数或不等式是解题关键．
39．（2022春·江苏·九年级专题练习）为了探索函数 的图象与性质，我们参照学习函数的
过程与方法，列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若 ，则 _______ ；若 ，则 _____ ；（填“＞”，“＝”，“＜”）．
(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为
1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设
水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
【答案】(1)作图见详解
(2)>；<
(3)①y与x的函数关系式为：
②水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
(2)利用图象法解决问题即可；
(3)①总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可；
②转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可．
【详解】（1）如图，作出函数的图像；（2）因为点(x，y)，(x，y)在函数图象上，根
1 1 2 2
据函数图象和表格容易得到：
若0 y
1 2 1 2
若1，<
（3）①底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为 米，
∴水池侧面面积的和为： 平方米；
∵下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米；
∴y=1+1.5+
即：y与x的函数关系式为：
②∵该农户预算不超过5千元，即y≤5
∴
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，
≤x≤2，
因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用函数图像解决问题，学
会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．40．（2022·河北邢台·校考三模）如图是某山坡的截面示意图，坡顶 距 轴（水平） ，与 轴交于
点 ，与坡 交于点 ，且 ，坡 可以近似看作双曲线 的一部分，坡 可以近似看作抛
物线 的一部分，且抛物线 与抛物线 的形状相同，两坡的连接点 为抛物线 的顶点，且点
到 轴的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)求抛物线 的解析式及点 的坐标；
(3)若小明站在坡顶 的点 处，朝正前方抛出一个小球 （看成点），小球 刚出手时位于点 处，小
球 在运行过程中的横坐标 、纵坐标 与小球出手后的时间 满足的关系式为 ， ，
是小球 出手后水平向前的速度．
①若 ，求 与 之间的函数关系式；
②要使小球最终落在坡 上（包括 ， 两点），直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，点 的坐标为
(3)① ；② 的取值范围是
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得抛物线 的解析式为 ，令 ，解方程即可求得点 的坐标；（3）①当 时， ，变形得 ，将 代入 ，即可得出答案；②由
，可得 ，将 代入 ，得 ，再分别把点 、 的坐标代入
求出对应的 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得： ，
双曲线 经过点 ，
；
（2）解：由（1）得双曲线的解析式为 ，
点 在双曲线 上，
，
，
抛物线 与抛物线 的形状相同，且顶点为 ，
抛物线 的解析式为 ，即 ，
令 ，得 ，
解得： ， （舍去），
；
（3）解：①当 时， ，
，
将 代入 ，得 ，
整理得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
② ，，
将 代入 ，得 ，
把 代入 ，得： ，
解得： ，
是小球 出手后水平向前的速度，
，
，
把 代入 ，得： ，
解得： ，
是小球 出手后水平向前的速度，
，
，
的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标
的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是
解题的关键．
