文档内容
三、数学方法在物理中的应用
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考物理考查的能
力之一。借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，能快速简捷地解决问题。可以
说任何物理试题的求解过程实际上都是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程。
下面是几种物理解题过程中常用的数学方法。
一、三角函数法
1.辅助角求极值
三角函数：y=acos θ+bsin θ
a
y=acos θ+bsin θ=√a2+b2sin(θ+α)，其中tan α= 。
b
当θ+α=90°时，有极大值y =√a2+b2。
max
√3
例1 质量为m的物体放置在倾角θ=30°的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数μ= ，重力
3
加速度为g，现用拉力F(与斜面的夹角为β)拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是( )
A.拉力最小时，物体受三个力作用
B.β=0°时，即拉力沿斜面向上时，拉力F最小
C.斜面对物体作用力的方向随拉力F的变化而变化
√3
D.拉力F的最小值为 mg
2
2.正弦定理(拉密定理)
a b c
在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即： = = 。
sinA sinB sinC
例2 如图甲所示，一个边长为3d的匀质玻璃立方体内有一个三棱柱真空“气泡”，立方体置于水平
桌面上，其中某一截面图如图乙所示，A、B、C、D为正方形四个顶点，Q、N为底边的三等分点，
MN垂直于底边，PO平行于底边，O为QM的中点，∠QMN=30°，D、P位置有相同的光源。真空中光
速为c，不考虑光的反射。(1)D处光源向O点发出一束光恰好不能进入“气泡”，求该玻璃的折射率；
(2)P处光源向O点发出一束光，求该束光第一次穿过“气泡”的时间。
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
3.余弦定理
在如图所示的三角形中，有：
a2=b2+c2-2bc·cos A
例3 如图所示，ABDO为某玻璃材料的截面，ABO部分为直角三角形棱镜，∠A=30°，OBD部分是半
径为R的四分之一圆柱状玻璃，O点为圆心。一束单色光从P点与AB成30°角斜射入玻璃材料，刚好
√3
垂直OA边射出，射出点离O点 R，已知真空中的光速为c。
4
(1)求该单色光在玻璃材料中发生全反射的临界角的正弦值；
(2)现将该光束绕P点沿逆时针方向在纸面内转动至水平方向，观察到BD面上有光线从Q点射出(Q点
未画出)。求光束在玻璃材料中的传播时间(不考虑圆柱BD弧面部分的发射光线)。
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
二、均值不等式
由均值不等式a+b≥2√ab(a>0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大。例4 某运动员从滑雪跳台以不同的速度v 水平跳向对面倾角为45°的斜坡(如图所示)，已知跳台的高
0
度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则该运动员落到斜坡上的最小速度为( )
A.√(√2-1)gh B.√(√3-1)gh
C.√(√5-1)gh D.√(√6-1)gh
三、利用二次函数求极值
二次函数：y=ax2+bx+c
b 4ac-b2
(1)当x=- 时，有极值y = (若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。
2a m 4a
(2)利用一元二次方程判别式求极值。
用判别式Δ=b2-4ac≥0有解可求某量的极值。
例5 (多选)如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，它们相互垂直且等高，两传送
带由同一电机驱动，它们正常工作时都匀速运动，速度大小分别为v 、v ，并满足v +v =v，式中v
甲 乙 甲 乙
为已知定值，即两传送带的速度可调但代数和始终不变。将一工件A(视为质点)轻放到传送带甲上，工
件离开传送带甲前已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，且不会从传送带乙的右
侧掉落。已知工件的质量为m，工件与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。两传送带正
常工作时，下列说法正确的是( )
A.工件在传送带甲和乙上共速前受到的摩擦力一定相同
B.当v =v 时，工件在传送带乙上留下的滑动痕迹最短
甲 乙
C.当v =0.5v 时，工件与两传送带因摩擦而产生的总热量最小
甲 乙
mv2
D.驱动传送带的电机因传送工件至少需要额外做的功为
2
四、数学归纳法和数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原来完全相同的
重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问
题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。n(a +a ) n(n-1)
等差数列：S = 1 n =na + d(d为公差)。
n 2 1 2
{a (1-qn )
1 ,q≠1
等比数列：S = 1-q (q为公比)。
n
na ,q=1
1
例6 如图甲所示，木板B静止在光滑水平地面上，距木板B右端x处固定一个物块A。现有物块C以
v =8 m/s的速度冲上木板。已知木板B的质量m =4 kg，物块C的质量m =2 kg，物块C从冲上木板到
0 B C
最终静止的v-t图像如图乙所示，物块C始终未从木板上掉下来，已知所有的碰撞均为弹性碰撞，重力
加速度g取10 m/s2。
(1)木板的长度至少是多少？
(2)物块A距木板B右端的最大距离？
16
(3)若m =4 kg，m =2 kg，A距B板右端的距离 m，则木板B运动的总路程是多少？
C B 9
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________答案精析
F F 1
N N
例1 D [斜面对物体的作用力，指的是摩擦力F 和支持力F 的合力，则有tan α= = = ，μ不变，
f N F μF μ
f N
则tan α不变，即斜面对物体作用力的方向不随拉力F变化，故C错误；对物体受力分析如图所示Fcos
mgsinθ+μmgcosθ
β=F+mgsin θ①，F=μF ②，F =mgcos θ-Fsin β③，联立①②③解得F=
f f N N cosβ+μsinβ
√3
当β=30°时，拉力F最小，最小值为 mg，此时物体受4个力作用，故D正确，A、B错误。]
2
2√3 3√2-√3
例2 (1) (2) d
3 5c
解析 (1)作出光路图如图所示
由几何关系可知θ=60°，OQ=DQ
则可知α=β，易知θ=α+β，
C+β=90°
可得C=60°
1
由全反射sin C=
n
2√3
解得n=
3
(2)作出光路图如图所示
可知i=30°，
OM=d
sinr
而 =n
sini√3
可得sin r= =cos φ
3
√6
则由数学知识可得sin φ=
3
√3+3√2
再由数学知识sin∠OEM=sin(30°+φ)=
6
OM OE
由正弦定理可得 =
sin∠OEM sin30°
OE
在气泡中有t=
c
3√2-√3 3d
可得t= d(或 )。
5c (3√2+√3)c
√3 (3√3+√39)R
例3 (1) (2)
3 4c
解析 (1)根据题意可知，光线从AB界面的P点进入玻璃棱镜，由折射定律画出光路图，如图所示
根据几何关系，可得入射角θ =90°-30°=60°
1
sin θ
1
折射角θ =30°，且PO恰好为法线，根据n= 可得折射率n=√3
2 sin θ
2
1
又有sin C=
n
√3
解得sin C=
3
(2)根据题意，当光线转至水平方向入射，入射角大小仍为θ =60°，画出光路图，如图所示
3
由折射定律可知，折射角θ =30°，折射光线交OD边于F点，由题已知∠A=30°，PC⊥AO，得在OD边界
4
上的入射角为θ =60°，由于发生全反射的临界角为C。
5
√3 √3
则有sin C=
