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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长C与半径r
B．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x
C．正三角形的面积S与边长a
D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t
2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0，y随x的增大而减小
B．当x＝1时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点（﹣1，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
3．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
4．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
1
A．a=
2
B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0
5．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
6．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价
为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游
客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y ），B（m，y ），C（n，y ），且|m﹣3|＜|n﹣3|
1 2 3
＜2，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
8．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S
与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线
的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）
❑√3 1
A． B．❑√2 C． D．1
3 2
10．函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象为（ ）
A． B．C． D．
11．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或− D．﹣5或−
8 8 8
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其
中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：
①a﹣c＞0；
②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；
8
③− ＜b＜﹣2；
3
a+b+c
④ ＞0．
b−a
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为 ．
14．若 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
y=(m−4)xm2−6m+10+2x+5
15．已知二次函数 y＝x2﹣2x+c的图象上 A，B，C三点的坐标分别为（m﹣1，y ），（m，﹣4），
A
（m+1，y ）．若y ＝y ，则c的值为 ．
C A c
a 4
16．若二次函数y＝x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点，且关于y的分式方程 + =3的解为非负
y−2 2−y
整数，则所有满足条件的整数a值之和是 ．
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，5），（4，5），将线
段MN向下平移k（k＞0）个单位长度后与抛物线有两个交点，则k的取值范围是 ．18．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）
x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m（m为常数）．
（1）求证：函数与x轴有两个交点；
（2）若当x≥3时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x﹣a的图象经过点N（3，2）．
（1）求a的值和该二次函数的顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求函数y的取值范围．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
22．（8分）某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为 40元，当该商品每件的售价为50元时，
每天可以售出100件．市场调研表明，每件的售价每上涨 5元，每天的销售量就会减少10件．设该商
品每件的售价为x元，每天销售量为y件，每天的总利润为W元．
（1）求销售量y与售价x之间的函数关系式；
（2）求当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？
3
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），C(1，− )，点A在x轴正半轴上，且OA
2
＝2OB，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n
的关系．24．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴正半轴，y轴负半轴分别相交于点A，B，且OA＝OB，点
G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个
单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（不含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y 的取值范围．
Q
25．（10分）【探究】某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点 O为原点，以水平直线OA
为x轴，以过点O且垂直OA的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，从点O向右上方发射飞行器，
15
飞行器的飞行路线是抛物线y＝ax2+bx（a＜0），在离点O水平距离为 时，飞行器达到最大高度，最
2
15
大高度为 ，在飞行到B点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线 y＝
4
kx+8.1，直至落在x轴上的点A处．
（1）求a、b、k的值；
（2）在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离．
【拓展】在上述情境中，从O点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线y＝axx+bx（a＜0）中
b的值保持不变，当飞行器的水平距离为9时，飞行器的飞行路线变轨为直线y＝kx+m，此时k的值不
变，若OA＞15，求a的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不
存在，说明理由（4个坐标）．
