特殊的平行四边形(含中考真题解析)_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学9上_复习资料_期末拔高专题

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 特殊的平行四边形 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 矩形 1．矩形的性质 会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演 绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题． 2．矩形的判定 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否 是矩形 菱形 1．菱形性质 能应用这些性质计算线段的长度 2．菱形的判别 能利用定理解决一些简单的问题 正方形 1．正方形的性 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关 质 系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题 2．正方形判定 掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和 判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特 殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己 的猜想进行证明 ☞2年中考 【2015年题组】 1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形． C．对角线相等的菱形是正方形． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形． 【答案】D． 考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． www.youyi100.com 第 1 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2．（2015连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ） A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形 C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确； 故选B． 考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长 为28，则OE的长等于（ ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是 1 1 2 2 △ABD的中位线，∴OE= AB= ×7=3.5．故选A． 考点：菱形的性质． 4．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF， 1 2 AE=EF，现有如下结论：①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． www.youyi100.com 第 2 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合 题． 5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形 ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） 3 2 3 2 6 6 A． B． C． D． 【答案】B． www.youyi100.com 第 3 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质． 3 6．（2015南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为 cm，则对角线AC长和BD长 之比为（ ） 2 3 A．1：2 B．1：3 C．1： D．1： 【答案】D． 【解析】 试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高 3 AB2 AE2 AE 长为 cm，∴BE= =1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm， AB2 OA2 3 2 3 ∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB= = （cm），∴BD=2OB= cm，∴AC：BD=1： 3 ．故选D． 考点：菱形的性质． 7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点 G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） 2 5 3 5 A． B． C．5 D．6 【答案】C． www.youyi100.com 第 4 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质． 3 5 8．（2015十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE= ，且 ∠ECF=45°，则CF的长为（ ） 5 10 10 5 2 10 3 5 3 3 A． B． C． D． 【答案】A． www.youyi100.com 第 5 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、 D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、 E3、E4、C3…在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°， B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ） 1 1 3 3 （ ）2014 （ ）2015 （ ）2015 （ ）2014 2 2 3 3 A． B． C． D． 【答案】D． www.youyi100.com 第 6 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm， ∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2． 9 3 【答案】 ． 【解析】 试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点， 1 1 2 2 ∴EH= BD=FG，EH∥BD∥FG，EF= AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形 ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形 EFGH是矩形，∵四边形 ABCD是菱形， 1 2 ∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO= AB=3，∴AC=6，在 1 1 AB2 OA2 3 3 6 3 2 2 Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= = ，∴BD= ，∵EH= BD，EF= 3 3 9 3 9 3 AC，∴EH= ，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG= cm2．故答案为： ． 考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． www.youyi100.com 第 7 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0）， ∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ． 2 33 2 3 【答案】（ ， ）．  3 y  x  3  x2 33   y (1 3)x1 y 2 3 的交点，∴点P的坐标为方程组 的解，解方程组得： ，所以 2 33 2 3 2 33 2 3 点P的坐标为（ ， ），故答案为：（ ， ）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6． 综合题． 12．（2015潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点 B的坐标为（0， 3），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边 上以每秒 0.5 个单位长度的速度移动，移动到第 2015 秒时，点 P 的坐标为 ． www.youyi100.com 第 8 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3  2 【答案】（0.5， ）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题． 13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在 DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ． 【答案】8． 【解析】 试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°， AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在 Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8． 考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ． 【答案】45°． www.youyi100.com 第 9 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形 AEPQ的面积是 ． 9 2 【答案】 ． 【解析】 试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四 边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′ 1 2 的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′， BP BE' BP 1 3 3 3   3 AA' AE' 6 4 2 2 2 ∴△BE′P∽△AE′A′，∴ ，即 ，BP= ，CP=BC﹣BP= = ，S四边 1 1 1 2 2 2 形 AEPQ=S 正 方 形 ABCD﹣S△ ADQ﹣S△ PCQ﹣SBEP=9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ 1 1 3 1 3 9 9 2 2 2 2 2 2 2 BE•BP=9﹣ ×3×2﹣ ×1× ﹣ ×1× = ，故答案为： ． www.youyi100.com 第 10 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质． y  x1 16．（2015达州）在直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，按如图方式作正方形 y  x1 A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线 上，点C1、C2、C3…在x S S S S S 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为 1、 2、 3、… n，则 n的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】22n3 ． www.youyi100.com 第 11 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 故答案为：22n3 ． 考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交 直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延 长 C2B3 交直线 l 于点 A3，作正方形 A3B3C3D4，…，依此规律，则 A2014A2015= ． 2( 3)2014 【答案】 ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分 线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H． （1）求证：HF=AP； （2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长． 10 10 3 【答案】（1）证明见试题解析；（2） ． 【解析】 www.youyi100.com 第 12 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题． 19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE． （1）求证：AG=CE； （2）求证：AG⊥CE． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析． 【解析】 试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得 出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论； （2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角 ∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可． 试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°， BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE， ∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE； （ 2 ） 如 图 所 示 ： ∵ △ ABG≌ △ CBE ， ∴ ∠ BAG=∠ BCE ， ∵ ∠ ABC=90° ， ∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°， ∴AG⊥CE． www.youyi100.com 第 13 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8． （1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交 AD于点K． EF AK ①求 的值； ②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值； （2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另 两边上，直接写出正方形PQMN的边长． 3 3 24 240 S  x(8x) 2 2 5 49 【答案】（1）① ；② ， S的最大值是24；（2） 或 ． AK EF EF BC 12 3 EF 3   AD BC AK AD 8 2 AK 2 试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴ ，∴ = = ，即 的值是 ； www.youyi100.com 第 14 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5． 分类讨论；6．综合题；7．压轴题． 21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线 上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试 探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE． 【解析】 试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE； （2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到 ∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论． www.youyi100.com 第 15 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题； 6．压轴题． 【2014年题组】 1．（2014·宜宾） 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是 正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ） 1 1 4 4 A．n B．n﹣1 C．（ ）n﹣1 D． n 【答案】B． 【解析】 1 1 4 4 试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ×4=1，5个这样的正 方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积 和为：1×（n﹣1）=n﹣1． 故选B． 考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质． 2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直 平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ） www.youyi100.com 第 16 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 3 A．1 B． C． D．2 【答案】C． 考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质． 3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上， 连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ） 9 3 3 3 3 2 A．2 B． 3 C．6 D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形， ∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°， www.youyi100.com 第 17 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 BO 2 3 cos30 2 3 ∴BE= ，∴BF=BE= ，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO 3 3 ∴CF=AE= ，∴BC=BF+CF=3 ，故选B． 考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质． 4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A．等腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D．正方形 【答案】B． 考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于 6 点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2 ，则MF的长是（ ） 15 15 15 10 15 A． B． C．1 D． 【答案】D． www.youyi100.com 第 18 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质． 1 6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=3AB，将矩形沿 直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论： ①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D． 【解析】 1 试题分析：∵AE=3AB，∴BE=2AE． 1 由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF= 2（180°﹣ 1 ∠AEP）= 2（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°． ∴EF=2BE．故①正确． ∵BE=PE，∴EF=2PE． www.youyi100.com 第 19 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 ∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误． 由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE． ∴FQ=3EQ．故③错误． 由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°． ∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°． ∴△PBF是等边三角形．故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选D． 考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定． 7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm． 【答案】5． 考点：1．菱形的性质；2．勾股定理． 8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点． 求证：△EBC≌△FDA． 【答案】证明见解析． www.youyi100.com 第 20 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定． 9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且 DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析． 【解析】 试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所 以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可 证出GE=BE+GD成立． 试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS ）．∴CE=CF． （2）GE=BE+GD成立．理由是： 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质． www.youyi100.com 第 21 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 ☞考点归纳 归纳 1：矩形 基础知识归纳： 1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角 的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时 平行四边形的性质矩形也都具有． 注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这 个四边形的对角线相等． 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小 为（ ） A、30° B、60° C、90° D、120° 【答案】B． 考点：矩形的性质． 归纳 2：菱形 基础知识归纳： 1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 www.youyi100.com 第 22 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2、菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的 平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平 行四边形的判定方法． 【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）． （A）△ABD与△ABC的周长相等； （B）△ABD与△ABC的面积相等； （C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； （D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍． 【答案】B． 考点：菱形的性质． 归纳 3：正方形 基础知识归纳： 1、正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2、正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 www.youyi100.com 第 23 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分 成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等． 注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、 丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣ D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则 他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ） A．甲乙丙 B．甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙 【答案】B． 考点：正方形的性质． ☞1年模拟 1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线 互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D． 考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质． 2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ） www.youyi100.com 第 24 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B． 考点：矩形的性质． 3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC 边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的 面积为（ ） 2 2 2 A．0.7 B．0.9 C．2 −2 D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得： 2 BE2+AE2=22，解得：BE= ，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°， 2 2 2 BE=B1E= ，∴BB1=2 ，B1C=2 -2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°， ∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴ CF BC 1  1  2 2 1 AB BB 2 2 1 ，解得：CF=2- ，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为： ， 1 (2 2)2 32 2 2 ， ∴ △ AB1E 与 四 边 形 AECD 重 叠 部 分 的 面 积 = 1(32 2)2 22 ．故选C． www.youyi100.com 第 25 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点 A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置， 则点B′的坐标为（ ） 2 2 2 2 3 3 A．（- ， ） B．（ ，- ） C．（2，-2） D．（ ，- ） 【答案】B． www.youyi100.com 第 26 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转． 5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC 1 3 上，且AE= AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于 点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确 的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D． 综上所述，结论正确的是①④．故选D． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质． 6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下 列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） www.youyi100.com 第 27 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B． 考点：正方形的判定． 3 7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=1，把该矩 形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面 积是 ． 3   2 4 【答案】 ． www.youyi100.com 第 28 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算． 8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有 一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为 ． 3 【答案】6-3 ． 【解析】 试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH， 3 ∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH= ， 3 3 3 BH=2 ，设OG=OE=x，则EH=2 -3，OH= -x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（2 3 3 3 3 3 -3）2+x2=（ -x）2，解得x=6-3 ，∴⊙O的半径为6-3 ．故答案为：6-3 ． www.youyi100.com 第 29 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．切线的性质；2．矩形的性质． 9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则 △ABC的面积为 ． 1 4 【答案】 ． 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在 CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ． 5 【答案】 ． www.youyi100.com 第 30 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理． 11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中， ∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至 △FEG，DE、FG相交于点H． （1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； （2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形． 【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析． 【解析】 考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中 点，且∠BAC=90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； www.youyi100.com 第 31 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 25 3 2 【答案】（1）见解析（2） ． 【解析】 试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形； （2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的 面积公式即可求得菱形AECF的面积． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC． 1 2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE= BC． 1 2 同理，AF=CF= AD． ∴AF=CE． ∴四边形AECF是平行四边形． ∴平行四边形AECF是菱形． 考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形． 13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、 OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． www.youyi100.com 第 32 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）求sin∠ABC的值； 16 3 （2）若E为x轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？ （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的 四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 4 75 22 42   5 14 7 25 【答案】（1） ．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（ ， ），F4（- ， 44 25 ）． 【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin∠ABC的值； （2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把 A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是 相似三角形； （3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以 及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中， OA 4  OA2 OB2 5 AB 5 由勾股定理有AB= ，∴sin∠ABC= ； （3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时， AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）； ②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3， 8）； www.youyi100.com 第 33 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 4 3 3 2 ③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=- x+4，直线L过（ ，2），且k值 3 3 7 4 4 8 为 （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y= x+ ，联立直线L与直 线AB求交点， 75 22   14 7 ∴F（ ， ）； 24 5 ④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN= ，勾股定理得出， 7 14 14 3 42 5 5 5 5 25 AN= ，做A关于N的对称点即为F，AF= ，过F做y轴垂线，垂足为G，FG= × = 42 44 25 25 ，∴F（- ， ）． 75 22 42 44   14 7 25 25 综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（ ， ），F4（- ， ）． 考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析 式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC 延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作 EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG． www.youyi100.com 第 34 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）求证：BE=2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析． （2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下： www.youyi100.com 第 35 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差 倍分． 15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形 CC ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为 ，则图中阴影 部分的面积为 ．  3   3 4 2 【答案】 ． 【解析】 试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、 30( 3)2   3 360 4 C及A、B、C′分别共线∴AC= ，∴扇形ACC′的面积为： ．∵AC=AC′， CD BC  ACOACD  CODCOB  AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中， ，∴△OCD′≌△OC′B（AAS）， 3 ∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′= -1， www.youyi100.com 第 36 页 共 37 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3 1  3 2 2 OB+C′O=1，∴在 Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（ -1）2，解得 BO= ， 3 3 CO  2 2 ， ∴ 考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质． www.youyi100.com 第 37 页 共 37 页