文档内容
专题1.1 菱形的性质与判定
【学习目标】
1、理解菱形的概念，掌握菱形的性质及探究菱形面积的多种求法；
2、经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理；
3、能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题；
4、综合利用菱形的性质与判定解决问题；
5、经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，
体会几何说理的基本方法。
【知识梳理】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形：
1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD
2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，
即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S ＝
菱形ABCD
×AC×BD，
菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如
下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等
2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分
4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角
【高频考点精讲】
【高频考点1】菱形的性质（求长度、角度）
例1.（2022·陕西·九年级期末）如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A
作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）A．4 B．4.5 C．8 D．9
例2.（2022•海淀区校级期中）如图，在菱形 ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，
AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为 °．
变式1（2022·黑龙江·九年级期末）如图，菱形 的边长为10，对角线 的长为
16，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长与 的延长线相交于点 ，
则 的长为________．
变式2.（2022•汉阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交
AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是 ．
【高频考点2】菱形的性质（等积问题）
例2.（2021•天津二模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，
且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为 ．
变式1.（2022•雁塔区九年级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作
OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（ ）12 24 48
A．5 B． C． D．
5 5 5
变式2.（2022•南山区九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且
BE
AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则 的值为（ ）
CE
5 7 7 5
A． B． C． D．
12 25 18 24
【高频考点3】菱形的判定
例3.（2021·江苏南通田家炳中学初三期中）下列说法中错误的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的矩形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
变式1.（2022·重庆市·九年级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分
构成一个四边形，这个四边形一定是______．
变式2.（2022•上城区九年级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、
CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形
AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有 ．（只
填写序号）【高频考点4】菱形的判定（证明类）
例4.（2021·广东佛山市·九年级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE BC交
AB于点E，DF AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝
60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
变式1.（2021•南京二模）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是
▱
菱形．
变式1.（2021•浦东新区二模）已知：如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，对角线AC、
BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
1
（1）求证：OE= AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
2【高频考点5】菱形中的翻折、旋转问题
例5.（2021·广东宝安·一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，
连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，
∠A'DE的度数为 ______．
变式1.（2022·广东·松岗九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，
使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝
6，则BE的长为（ ）
A． B． C．3 D．3.5
变式2.（2022•滕州市九年级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为
2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针
旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（ ）【能力提升】
一．选择题
1．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A．中心对称图形 B．对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．（2021·贵州贵阳市·九年级期末）如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱
形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形 的边长为4， ，则 的值是（
）
A． B．2 C． D．4
3．（2022·浙江初三期末）如图，在菱形 中， 于点 ， 点恰好为
的中点，则菱形 的较大内角度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
4．（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，
连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱
形，这个条件是（ ）
A． B． C． D．DE平分
4．（2022·河南初三三模）如图，菱形 的对角线 相交于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2021•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形纸片 ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形
纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、O分别在边A，AD上，则EG
的长为（ ）
28 14
A． B． C．4 D．4√3
5 5
6．（2022·山东宁津初三一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，把菱形
ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1+ B．2+ C．3 D．3–
7.（2022·江苏无锡九年级期中）如图，在菱形 中， ，
，点 是线段 上一动点，点 是线段 上一动点，则
的最小值（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
于点E，若 ， ，则在下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．
9．（2022·山东济南·八年级期末）如图，菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，AH⊥BC，则
AH等于（ ）
A． B． C．5 D．4
10．（2022·广东初三期末）在菱形ABCD中， ，点E为AB边的中点，DE
是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②
；③ ；④ ，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题
11．（2022·江苏·八年级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，
BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．
12．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，在菱形 中， 是 上一点，连接交对角线 于点 ，连接 ，若 ，则 ______°．
13．（2021·山东济南市·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，
BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于
F，连结EF，则EF的最小值等于__________．
14．（2021·北京中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E,F 分别在BC,AD上，
AF EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是
______________（写出一个即可）．
15．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）如图，菱形 的边长为10，对角线 的
长为16，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长与 的延长线相交于点
，则 的长为________．
16．（2021八下·江津期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝
16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B
的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则 B'F 的长等于 .三．解答题
17．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且
AE⊥AB，连结CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．
18．（2021·浙江九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，（1）若
∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长．（2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：
EF∥BD．（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和 AGD
的面积分别是S 和S，求S﹣S 的值．
1 2 1 2
19．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上
的中线，过点A作AE BC，过点D作DE AB，D△E与AC，AE分别交于点O，E，连接
EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长
为 ．20．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
21.（2021•玄武区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE
＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：
四边形AFCE是菱形．
22．（2021·湖北江岸·八年级期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD
的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证： ；（2）如图2，将
菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理
由．23．（2021·辽宁大东·九年级期末）如图，在菱形 中， ， 是对角线
上一点， 是线段 延长线上一点且 ，连接 ．（1）如图，若 是线段
的中点，连接 ，其他条件不变，直接写出线段 与 的数量关系；（2）如图，若
是线段 上任意一点，连接 ，其他条件不变，猜想线段 与 的数量关系是什么？
并证明你的猜想；（3）如图，若 是线段 延长线上一点，其他条件不变，且
，菱形 的周长为 ，直接写出 的长度．
