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2025 年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共 30 分）
（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D C B A D D C C C
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．x≠2
12．2a(a+2)(a−2)
13．26°
1
14．
2
15．3.6
16．−2<x≤1
17．108
18．3+√2
19．5或7
20．√53
三、解答题（共计60分）
21．（本题7分）
(m−1) 2 m(m+1)
解：原式= ⋅ …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
(m+1)(m−1) −m
…… 1分
=−m+1， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 3分
1
当m=cos60°= 时， … …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 5分
2
1
原式= ． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 7分
2
22．（本题7分）解：（1）如图，△≝¿即为所求作； …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 3分
（2）如图，Rt△BAC即为所求作；…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 6分
CD=√5． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 7分
23．（本题8分）
解：（1）4次的有10人，百分比为20%，
∴10÷20%=50（人）， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 1分
答：本次抽测的男生有50人； …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 2分
（2）由（1）可知，
5次的人数为：50−4−10−14−6=16（人）， …… …… …… …… …… …… …… …… … 4分
∴补全图形如下， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
5分
16+14+6
（3）350× =252（人）， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
50
7分
∴该校350名九年级男生中估计有252人体能达标． …… …… …… …… …… ……… …… … 8分
24．（本题8分）
证明：（1）∵∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 1分
∵CD为边AB上的中线，
1
∴CD=AD=DB= AB …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 2分
2
又∵∠A=60°
∴△ACD是等边三角形； …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 3分（2）由（1）得，
∵△ACD与△CPE是等边三角形
∴∠ACD=∠PCE=60°，∠ADC=60°，AC=DC,PC=EC，CE=PE
∴∠ACD−∠PCD=∠PCE−∠PCD
即∠ACP=∠DCE
在△APC与△DEC中，
¿
∴△APC≌△DEC(SAS) …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 4分
∴∠CDE=∠A=60°
∴∠EDB=180°−∠ADC−∠CDE=60°
∴∠CDE=∠BDE
在△CDE与△BDE中，
¿
∴△CDE≌△BDE(SAS) …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 5分
∴CE=BE
又∵CE=PE
∴PE=BE；…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 6分
（3）t=1s或t=4s． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …8分
25．（本题10分）
解：（1）设打折前每个篮球的售价是x元，则打折后每个篮球的售价是0.6x元，
1800 1800
由题意，得 − =10， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …
0.6x x
2分
解得x=120 …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……3分
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意 …… …… …… …… …… …… …… …… … …… 4分
答：打折前每个篮球的售价是120元； …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 5分
（2）设购买篮球m个，则购买足球(50−m)个
设购买50个篮球和足球的总费用为w元
由题意，得w=120×0.6m+100×0.8(50−m)=−8m+4000 …… …… …… …… …… … 7分
∵−8<0
∴ w随着m的增大而减小
1
又∵ m≤50× =25
2
∴当m=25时，w取得最小值，最小值为−8×25+4000=3800 …… …… …… …… …… … 8分
∵ 3800>1800
∴学校预算的1800元不够用 …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 9分∵ 3800−1800=2000（元）
∴该学校至少还需要再添加2000元． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 10分
26．（本题10分）
证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴B´D=B´C， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
1分
1 1
∴∠ADG+∠DAB=90°，且∠DAB=∠CAB= ∠DAC= ∠E， …… …… …… …… ……
2 2
…… …2分
又∵AF⊥CE，
∴∠ADG+∠ECD=90°，
1
∴∠DAB=∠ECD= ∠E，
2
∴∠E=2∠ECD； …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 3
分
（2）PD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵点D在圆上，
∴OD是⊙O的半径，
∴OD=OA，
∵OA2=OG⋅OP，
OD OG
∴OD2=OG⋅OP，即 = ，且∠DOG=∠DOP，
OP OD
∴△DOG∽△POD，
∴∠OGD=∠ODP，………… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 5分
又∵AB⊥CD，
∴∠OGD=90°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线；…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 6分
（3）如图，连接AE，OC，BC，
设OG=x，则OH=2x，HG=3x，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ECD+∠CHG=∠ECD+∠CDF=90°
∴∠CHG=∠CDF，
∴∠CHG=∠ADC，
又∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CHG=∠ABC，
∴CH=CB，
∴BG=HG=3x，OB=BG+OG=4x，
∴OC=4x，AB=8x，AH=2x， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 7分
又∠CHB=∠AHE，∠CBA=∠CEA且∠CHB=∠CBA，
∴∠AHE=∠CEA，
∴AE=AH=2x，
在Rt△OCG中，CG=√OC2−OG2=√15x，
在Rt△ABE中，BE=√AB2−AE2=2√15x，
在Rt△HGC中，CH=√HG2+CG2=2√6x， …… …… …… …… …… …… …… …… … 8分
由（1）可知∠CED=2∠ECD，
⌢ ⌢
∴CD=2DE ，
∴C´D=2B´C，
∴B´C=D´E=B´D，
∴∠BAD=∠DCE，
HF HG
∴sin∠BAD=sin∠DCE，即 = ，
AH CH
√10 3x
∴ = ，
2x 2√6x
2√15
∴x= ，
316√15
∴BE=2√15x=20，BG=3x=2√15，AB=8x= ， …… …… …… …… …… …… 9分
3
∵∠ABE=∠GBN，∠BGN=∠AEB=90°，
∴△BGN∽△ABE，
BN BG
∴ = ，
AB BE
16√15
2√15×
BG⋅AB 3 ，
∴BN= = =8
BE 20
∴EN=BE−BN=12． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 10分
27．（本题10分）
1
解：（1）将点(0,0)和点A(3,0)代入抛物线y= x2+bx+c，
2
可得，¿，解得¿； …… …… …… …… …… …… …… …… … 2分
（2）∵A(3,0)，点P的横坐标为t，
1 3
∴OA=3,y = t2− t， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 4分
p 2 2
∴S= 1 OA⋅y = 1 ×3× (1 t2− 3 t ) = 3 t2− 9 t； …… …… …… …… …… …… …… …… …
2 P 2 2 2 4 4
5分
（3）如图1，作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于
S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q=∠NSD=∠MWC=∠MWB=∠RBC=90°，
1 3 1 3
把t=−2代入y= x2− x，可得，y= ×(−2) 2− ×(−2)=5，
2 2 2 2
∵AJ=3−(−2)=5，
∴AJ=PJ，
∴∠PAJ=45°，
∵∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠PAJ=45°，
∴∠PAJ=∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …
6分
∴∠ACD=∠DBC=45°，∠FCB=∠BCD=90°，
∵CF=CD=BC，
∴∠CFB=∠CBF=45°，
∵FG//AC，
∴∠CFG=∠ACD=45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD=∠FBC+∠DBC=90°，∠GED=90°，
∴∠FBD+∠DEG=180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD=∠DBC=45°，∠EDG=∠FBC=45°，
∴∠EGD=∠EDG，
∴EG=ED，
∵∠EVG=∠DCE=90°，
∴∠EGV +∠VEG=90°，
∵∠DEG=90°，
∴∠DCE+∠VEG=90°，
∴∠DEC=∠EGV，
∴△EGV ≌△DEG(AAS)，
∴EV =CD，CE=GV，
设CM=√2x，WI=a，
√2
∴∠ACB=45°， CM= RB，
3
∴WM=CW =x，RB=3x，
∵MW//BR，
∴△MWI∽△RBI，
WI MW 1
∴ = = ，
BI BR 3
∴BI=3WI=3a，
∴AB=BC=CW+WI+BI=x+4a，
∵BC//AD，
∴△RBI∽△RAD，BI RB
∴ = ，
AD RA
3a 3x
∴ = ，
x+4a 3x+x+4a
∴x=2a， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……7分
∴BC=AB=x+4a=6a，RB=3x=6a，
∴BF=√2BC=6√2a，DF=2CD=12a，
∵DF//RB，
∴△GFD∽△GBR，
FG DF 12a
∴ = = =2，
BG RB 6a
1
∴BG= BF=2√2a，
3
√2
∴GV =BV = BG=2a，
2
∴CE=GV =2a，
∵BE=BC+CE=6a+2a=8a，
∴ER=√BR2+BE2=√(6a) 2+(8a) 2=10a，
∵RN=RA=12a，
∴EN=RN−ℜ=2a，
∴CE=EN=2a，
作IK⊥RN于K，
由S =S +S 得，
△RBE △RBI △RIE
1 1 1
∴ ×6a⋅8a= ×6a⋅3a+ ×10⋅IK，
2 2 2
∴IK=3a，
∴∠NRD=∠ARD，
∵RD=RD，
∴△ARD≌△NRD(SAS)，
∴∠RND=∠RAD=90°，
∴∠RND=∠ECD=90°，
∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE(HL)，
∴DN=CD=6a，
∵∠Q=∠NSO=90°，
∴∠QEN+∠QNE=90°，
∵∠EDN=90°，∴∠QNE+∠DNS=90°，
∴∠DNS=∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
EQ QN EN 1
∴ = = = ，
NS DS DN 3
1
∴NS=3EQ， QN= DS， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 8分
3
设N(x,y)，
∵E(3−8a,6a)，D(3−6a,0)，
∴EQ=3−8a−x，DS=3−6a−x，
1
∴NS=3(3−8a−x)， NQ= (3−6a−x)，
3
∵NQ+NS=QS=CD=6a，
1
∴3(3−8a−x)+ (3−6a−x)=6a，
3
48
∴x=3− a，
5
24
∴y=NS=3(3−8a−x)= a，
5
1 48a 3 48a 24
(3− ) 2− (3− )= a，
2 5 2 5 5
∴ 5
∴a= ，
12
5
∴6a= ，
2
(1 5)
∴C , ， …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……9
2 2
分
如图2，延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT=90°，∠ATC=135°，
∴∠XHT=90°，∠XTH=45°，
∴∠TXH=45°，
∴∠XDL=90°−∠TXH=45°，
∴∠HZD=90°−∠XDL=45°，
∴DH=HZ，
设HZ=DH=m，则XH=2DH=2m， DZ=√2DH=√2m，
∵∠XDL=45°，∠ADC=90°，
∴∠CDX+∠ADZ=45°，
∵∠CDX+∠DCX=∠DXL=45°，
∴∠ADZ=∠DCX，
∵∠DXC=∠AZD=135°，AD=CD，
∴△ADZ≌△CDX(AAS)，
∴CX=DZ=√2m，
∵DX=DH+XH=m+2m=3m，
√2 3√2
∴DL=XL= DX= m，
2 2
3√2 5√2
∴CL=CX+XL=√2m+ m= m，
2 2
DY DL 3
∴tan∠DCL= = = ，
CD CL 5
3
∴DY = ，
2
∴Y(2,0)，
设直线CT的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴¿，解得¿，
5 10
y=− x+ ． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 10分
3 3
∴
