文档内容
2025 年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷 选择题（共 30 分）
（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1
1．实数− 的相反数是（ ）
2025
1 1
A．2025 B．−2025 C．− D．
2025 2025
【答案】D
【解析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关
键．
1 1
解：实数− 的相反数是 ，
2025 2025
故选：D．
2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，我市某中学开展了以“冰雪同梦、超越自
我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅
设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科
技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年5月1日，该片票房已超过15700000000
元．其中15700000000用科学记数法表示为（ ）
A．157×1010 B．15.7×1010 C．1.57×1010 D．1.57×1011【答案】C
【解析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，据此解答即可．
解：15700000000=1.57×1010，
故选：C．
4．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯
视图，可得答案．
解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线．
故选：B．
2 x
5．方程 − =0的解是（ ）
x+1 x2−1
A．x=2 B．x=−2 C．x=1 D．x=−1
【答案】A
【解析】本题考查解分式方程．根据题意方程两边同时乘以最简公分母x2−1，再移项合并同类项计算即
可．
2 x
解： − =0，
x+1 x2−1
去分母：2(x−1)−x=0，
去括号：2x−2−x=0，
即：x=2，
检验：当x=2时，原分式方程有解，
∴x=2时分式方程的根，
故选：A．
6．已知二次函数y=−2(x−1) 2−3，下列说法正确的是（ ）A．对称轴为直线x=−1 B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为(1,−3)
【答案】D
【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
解：y=−2(x−1) 2−3，
对称轴为直线x=1，最大值为−3，顶点坐标为(1,−3)，
∵−2<0，
∴开口向下，
故D正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小
正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第(n−1)个正方形多几个小正方形? （
）
A．n B．2n C．n+1 D．2n+1
【答案】D
【解析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，可推导一般性规律为：拼第n个正方形需(n+1) 2个小正方形，则第(n−1)个正方形需
(n−1+1) 2=n2个小正方形，根据(n+1) 2−n2，计算求解即可．
解：由题意知，拼第1个正方形需4=(1+1) 2个小正方形，
拼第2个正方形需9=(2+1) 2个小正方形，
拼第3个正方形需16=(3+1) 2个小正方形，
……
∴可推导一般性规律为：拼第n个正方形需(n+1) 2个小正方形，
∴第(n−1)个正方形需(n−1+1) 2=n2个小正方形，
∴(n+1) 2−n2=2n+1，
故选：D．
8．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB//CD//EF，AC=50cm，CE=30cm，BD=45cm，
则BF的长为（ ）A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【答案】C
【解析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF=27cm，再运用线段的和差求解即可．
解：∵AB//CD//EF，
AC BD 50 45
∴ = ，即 = ，解得：DF=27cm．
CE DF 30 DF
∴BF=BD+DF=72cm．
故选C．
9．小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E，又在BC边上作出点F，作图痕迹如图所示，若EF=2，则AB，
CD之间的距离为（ ）
A．2 B．2√2 C．4 D．2√3
【答案】C
【解析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关知识并
数形结合．过点E作EM⊥CD于点M，交BA的延长线于点N，由作图可知，BE平分∠ABC，CE平分
∠BCD，EF⊥BC，由平行四边形ABCD得到AB//CD，而EM⊥CD，得到EN⊥BA，推出
EN=EF=2，EF=EM=2，则NM=EN+EM，即可求解．
解：过点E作EM⊥CD于点M，交BA的延长线于点N．
由作图可知，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，EF⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∵ EM⊥CD，
∴ EN⊥BA，
∵ EF⊥BC，
∴ EN=EF=2，EF=EM=2，
∴ NM=EN+EM=2+2=4，∴ AB，CD之间的距离为4．
故选：C．
10．硫酸钠(Na SO )是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠
2 4
在100g水中的溶解度y(g)与温度t(°C)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为0°C时，硫酸钠在水中不溶解
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．0°C~20°C时，温度每升高1°C，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度不低于43.7g，温度应控制在40°C~80°C
【答案】C
【解析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所
需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
解：A．从图中可以看到，当温度为0°C时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在 0°C时在水中
是溶解的，故该选项不符合题意；
B．观察溶解度曲线，在0°C~40°C时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在40°C~80°C时，溶解
度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意；
C．在0°C~20°C时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高1°C，硫酸钠溶解度的增加量不相同，
故该选项符合题意；
D．从图中可知，当温度接近40°C时，硫酸钠的溶解度就达到了43.7g，并且在 40°C~80°C之间溶解度
都不低于43.7g，而不是只控制在40°C~80°C，故该选项不符合题意；
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
5
11．在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
2x−4
【答案】x≠2【解析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：由题意得，2x−4≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2．
12．因式分解：2a3−8a= ．
【答案】2a(a+2)(a−2)
【解析】本题主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．熟练掌握提取公因式
法和公式法是解题的关键，注意分解一定要彻底．
解：2a3−8a=2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2)，
故答案为：2a(a+2)(a−2)．
13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P
的度数为 ．
【答案】26°
【解析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角
形的性质求解．
解：连接OA．
PAO=90°，
O=2 B=64°，
∴∠
P=90°-64°=26°．
∵∠ ∠
故答案为：26°．
∴∠
14．如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若
甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是 ．1
【答案】
2
【解析】直接由概率公式进行计算即可得到答案．
解：∵甲从乙手中随机抽取一张共有4种等可能的结果，其中恰好与手中牌组成一对的有2种结果，
2 1
∴甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是： = ，
4 2
1
故答案为： ．
2
15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v(m/s)是载重后总质量
m(kg)的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s；
当其载重后总质量m=100kg时，它的最快移动速度v= m/s．
【答案】3.6
【解析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m=100代入计
算即可．
k
解：设反比例函数解析式为v= ，
m
∵机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=60×6=360，
360
∴反比例函数解析式为v= ，
m
360
当m=100时，v= =3.6(m/s)，
100
故答案为：3.6．
16．不等式组¿的解集是 ．
【答案】−2−2，
不等式组的解集为：−21800∴学校预算的1800元不够用
∵ 3800−1800=2000（元）
∴该学校至少还需要再添加2000元．
26．（本题10分）已知AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，点P在⊙O外，已知
CD⊥AB，垂足为G，过点C做CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点H，连接DE．
(1)如图1，求证：∠E=2∠ECD；
(2)如图1，若OA2=OG⋅OP，判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，连接BE，分别交AD，CD于点M，N，若OH=2OG，HF=√10，求线段EN的长．
【答案】(1)见解析
(2)PD是⊙O的切线，理由见解析
(3)12
【解析】（1）连接AC，由AB为⊙O的直径，且CD⊥AB得B´D=B´C，所以∠ADG+∠DAB=90°，
1 1
且∠DAB=∠CAB= ∠DAC= ∠E，由AF⊥CE得∠ADG+∠ECD=90°，所以
2 2
1
∠DAB=∠ECD= ∠E，即可得证；
2
OD OG
（2）连接OD，由题意得OD=OA，所以OA2=OG⋅OP可变形为 = ，再结合∠DOG=∠DOP，
OP OD
得△DOG∽△POD，所以∠OGD=∠ODP，由∠OGD=90°得∠ODP=90°，即可求解；
（3）连接AE，OC，BC，设OG=x，则OH=2x，HG=3x，由AB⊥CD，CE⊥AD，再结合
∠ADC=∠ABC，求得CH=CB，所以BG=HG=3x，OB=BG+OG=4x，OC=4x，AB=8x，
AH=2x，又∠CHB=∠AHE，∠CBA=∠CEA且∠CHB=∠CBA，所以∠AHE=∠CEA，
AE=AH=2x，由勾股定理得CG=√15x，BE=2√15x，CH=2√6x，求出∠BAD=∠DCE，由
HF HG √10 3x BN BG
sin∠BAD=sin∠DCE得 = ，即 = ，解出x，证明△BGN∽△ABE得 = ，代
AH CH 2x 2√6x AB BE
入数据求出BN，最后根据EN=BE−BN，即可得解．
证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴B´D=B´C，1 1
∴∠ADG+∠DAB=90°，且∠DAB=∠CAB= ∠DAC= ∠E，
2 2
又∵AF⊥CE，
∴∠ADG+∠ECD=90°，
1
∴∠DAB=∠ECD= ∠E，
2
∴∠E=2∠ECD；
（2）PD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵点D在圆上，
∴OD是⊙O的半径，
∴OD=OA，
∵OA2=OG⋅OP，
OD OG
∴OD2=OG⋅OP，即 = ，且∠DOG=∠DOP，
OP OD
∴△DOG∽△POD，
∴∠OGD=∠ODP，
又∵AB⊥CD，
∴∠OGD=90°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）如图，连接AE，OC，BC，
设OG=x，则OH=2x，HG=3x，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ECD+∠CHG=∠ECD+∠CDF=90°
∴∠CHG=∠CDF，
∴∠CHG=∠ADC，
又∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CHG=∠ABC，
∴CH=CB，
∴BG=HG=3x，OB=BG+OG=4x，
∴OC=4x，AB=8x，AH=2x，
又∠CHB=∠AHE，∠CBA=∠CEA且∠CHB=∠CBA，
∴∠AHE=∠CEA，
∴AE=AH=2x，
在Rt△OCG中，CG=√OC2−OG2=√15x，
在Rt△ABE中，BE=√AB2−AE2=2√15x，
在Rt△HGC中，CH=√HG2+CG2=2√6x，
由（1）可知∠CED=2∠ECD，
⌢ ⌢
∴CD=2DE ，
∴C´D=2B´C，
∴B´C=D´E=B´D，
∴∠BAD=∠DCE，
HF HG
∴sin∠BAD=sin∠DCE，即 = ，
AH CH
√10 3x
∴ = ，
2x 2√6x
2√15
∴x= ，
3
16√15
∴BE=2√15x=20，BG=3x=2√15，AB=8x= ，
3
∵∠ABE=∠GBN，∠BGN=∠AEB=90°，
∴△BGN∽△ABE，
BN BG
∴ = ，
AB BE
16√15
2√15×
BG⋅AB 3 ，
∴BN= = =8
BE 20
∴EN=BE−BN=12．1
27．（本题10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y= x2+bx+c经过点O(0,0)，与x轴
2
正半轴交于点A，点A坐标(3,0)．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA,PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求
S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，t=−2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF=CD，点E在第二
象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接
√2
DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM= RB，
3
连接RE并延长交抛物线于点N，RA=RN，点T在△ADM内，连接AT,CT，∠ATC=135°，
DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT=2DH，求直线CT的解析式．
【答案】(1)¿
3 9
(2)S= t2− t
4 4
5 10
(3)y=− x+
3 3
【解析】（1）利用待定系数法求解即可；
1 3
（2）根据题意易得OA=3,y = t2− t，然后结合三角形面积公式，即可获得答案；
p 2 2
（3）作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长
BE，交SN于Q，易得AJ=PJ，证明△ACD是等腰直角三角形，可知四边形ABCD是正方形；再证明点
F、G、B共线，进而可得点G、E、D、B共圆；证明 △EGV≌△DEG，由全等三角形的性质可得
EV =CD，CE=GV；设CM=√2x，WI=a，证明△MWI∽△RBI以及△RBI∽△RAD，结合相似三
角形的性质可解得x=2a；证明△GFD∽△GBR，进一步可得BG=2√2a，GV =BV =2a，
CE=GV =2a，然后求得CE=EN=2a；作IK⊥RN于K，结合三角形面积公式可得IK=3a；证明
△ARD≌△NRD，Rt△DCE≌Rt△DNE，由全等三角形的性质解得DN=CD=6a，进一步证明1 48
△EQN∽△NEO，可得NS=3EQ， QN= DS；设N(x,y)，结合NQ+NS=6a，可解得x=3− a，
3 5
24
y= a，即可确定点C坐标；延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
5
易得DH=HZ，设HZ=DH=m，则XH=2DH=2m， DZ=√2DH=√2m，证明△ADZ≌△CDX，
易得CX=DZ=√2m，确定一不确定点Y坐标，然后利用待定系数法求解即可．
1
解：（1）将点(0,0)和点A(3,0)代入抛物线y= x2+bx+c，
2
可得，¿，解得¿；
（2）∵A(3,0)，点P的横坐标为t，
1 3
∴OA=3,y = t2− t，
p 2 2
∴S= 1 OA⋅y = 1 ×3× (1 t2− 3 t ) = 3 t2− 9 t；
2 P 2 2 2 4 4
（3）如图1，作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于
S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q=∠NSD=∠MWC=∠MWB=∠RBC=90°，
1 3 1 3
把t=−2代入y= x2− x，可得，y= ×(−2) 2− ×(−2)=5，
2 2 2 2
∵AJ=3−(−2)=5，
∴AJ=PJ，
∴∠PAJ=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°−∠PAJ=45°，
∴∠PAJ=∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠DBC=45°，∠FCB=∠BCD=90°，
∵CF=CD=BC，∴∠CFB=∠CBF=45°，
∵FG//AC，
∴∠CFG=∠ACD=45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD=∠FBC+∠DBC=90°，∠GED=90°，
∴∠FBD+∠DEG=180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD=∠DBC=45°，∠EDG=∠FBC=45°，
∴∠EGD=∠EDG，
∴EG=ED，
∵∠EVG=∠DCE=90°，
∴∠EGV +∠VEG=90°，
∵∠DEG=90°，
∴∠DCE+∠VEG=90°，
∴∠DEC=∠EGV，
∴△EGV ≌△DEG(AAS)，
∴EV =CD，CE=GV，
设CM=√2x，WI=a，
√2
∴∠ACB=45°， CM= RB，
3
∴WM=CW =x，RB=3x，
∵MW//BR，
∴△MWI∽△RBI，
WI MW 1
∴ = = ，
BI BR 3
∴BI=3WI=3a，
∴AB=BC=CW+WI+BI=x+4a，
∵BC//AD，
∴△RBI∽△RAD，
BI RB
∴ = ，
AD RA
3a 3x
∴ = ，
x+4a 3x+x+4a
∴x=2a，
∴BC=AB=x+4a=6a，RB=3x=6a，
∴BF=√2BC=6√2a，DF=2CD=12a，
∵DF//RB，∴△GFD∽△GBR，
FG DF 12a
∴ = = =2，
BG RB 6a
1
∴BG= BF=2√2a，
3
√2
∴GV =BV = BG=2a，
2
∴CE=GV =2a，
∵BE=BC+CE=6a+2a=8a，
∴ER=√BR2+BE2=√(6a) 2+(8a) 2=10a，
∵RN=RA=12a，
∴EN=RN−ℜ=2a，
∴CE=EN=2a，
作IK⊥RN于K，
由S =S +S 得，
△RBE △RBI △RIE
1 1 1
∴ ×6a⋅8a= ×6a⋅3a+ ×10⋅IK，
2 2 2
∴IK=3a，
∴∠NRD=∠ARD，
∵RD=RD，
∴△ARD≌△NRD(SAS)，
∴∠RND=∠RAD=90°，
∴∠RND=∠ECD=90°，
∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE(HL)，
∴DN=CD=6a，
∵∠Q=∠NSO=90°，
∴∠QEN+∠QNE=90°，
∵∠EDN=90°，
∴∠QNE+∠DNS=90°，
∴∠DNS=∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
EQ QN EN 1
∴ = = = ，
NS DS DN 3
1
∴NS=3EQ， QN= DS，
3
设N(x,y)，∵E(3−8a,6a)，D(3−6a,0)，
∴EQ=3−8a−x，DS=3−6a−x，
1
∴NS=3(3−8a−x)， NQ= (3−6a−x)，
3
∵NQ+NS=QS=CD=6a，
1
∴3(3−8a−x)+ (3−6a−x)=6a，
3
48
∴x=3− a，
5
24
∴y=NS=3(3−8a−x)= a，
5
1 48a 3 48a 24
(3− ) 2− (3− )= a，
2 5 2 5 5
∴ 5
∴a= ，
12
5
∴6a= ，
2
(1 5)
∴C , ，
2 2
如图2，
延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT=90°，∠ATC=135°，
∴∠XHT=90°，∠XTH=45°，
∴∠TXH=45°，
∴∠XDL=90°−∠TXH=45°，
∴∠HZD=90°−∠XDL=45°，
∴DH=HZ，
设HZ=DH=m，则XH=2DH=2m， DZ=√2DH=√2m，∵∠XDL=45°，∠ADC=90°，
∴∠CDX+∠ADZ=45°，
∵∠CDX+∠DCX=∠DXL=45°，
∴∠ADZ=∠DCX，
∵∠DXC=∠AZD=135°，AD=CD，
∴△ADZ≌△CDX(AAS)，
∴CX=DZ=√2m，
∵DX=DH+XH=m+2m=3m，
√2 3√2
∴DL=XL= DX= m，
2 2
3√2 5√2
∴CL=CX+XL=√2m+ m= m，
2 2
DY DL 3
∴tan∠DCL= = = ，
CD CL 5
3
∴DY = ，
2
∴Y(2,0)，
设直线CT的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴¿，解得¿，
5 10
y=− x+ ．
3 3
∴
