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专题 1.1 菱形的性质与判定
菱形的基本性质问题.................................................................................................................1
求线段长度.................................................................................................................................2
求角度.........................................................................................................................................3
与中点有关.................................................................................................................................4
重叠图形.....................................................................................................................................5
菱形判定的条件.........................................................................................................................6
求菱形的高.................................................................................................................................7
求菱形的面积.............................................................................................................................8
求阴影面积.................................................................................................................................9
菱形证明综合...........................................................................................................................10
动点问题...................................................................................................................................13
菱形的基本性质问题
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【变式训练1】下列不属于菱形性质的是
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等
【变式训练2】下列说法中，错误的是
A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【变式训练3】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
求线段长度
【例2】已知菱形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ， ，则 的长
是
A．3 B．4 C．7 D．8
【变式训练1】如图，在菱形 中， ，对角线 ，则菱形的边 的
长为
A．4 B．6 C． D．8
【变式训练2】如图，菱形 的两条对角线 、 的长分别是 、 ，则此菱
形的周长是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ， ，对角线 与 相交于点 ，经过点 作与边 ， 都垂直的线段 ，分别与边 ， 相交于点 ， ，
则四边形 的周长为
A．8 B． C． D．12
求角度
【例3】如图，菱形 中对角线相交于点 ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在菱形 中， 是 的中点， ，连接 ，则
等于
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， 的垂直平分线 分别
交 ， 于点 、 ，连接 ，若 ，则 的度数是A． B． C． D．
【变式训练3】如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于
，连接 ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
与中点有关
【例4】如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，
连接 ，若 ， ，则 的长为
A．12 B．6 C． D．
【变式训练1】如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 的中点，
且 ，则菱形 的周长为A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在菱形 中， ， ， 分别是边 和 的中点，
于点 ，则
A． B． C． D．
重叠图形
【例5】如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形 （不完全重合），
则四边形 面积的最大值是
A．15 B．16 C．19 D．20
【变式训练1】如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形 ，
若 ，则四边形 的面积是A．4 B．12 C．8 D．6
【变式训练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若
测得 ， 之间的距离为 ，点 ， 之间的距离为 ，则线段 的长为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，将两条宽度都为 3的纸条重叠在一起，使 ，则四边形
的面积为 ．
菱形判定的条件
菱形的判别方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【例6】不能判定一个四边形是菱形的条件是
A．四边相等
B．对角线互相平分且有一组邻边相等
C．两组对边互相平行，且一组邻边相等
D．对角线互相垂直
【变式训练1】如图，四边形 中， 于点 ，则下列条件能判定该四边形是菱形的是
A． B．
C． D． 、 互相平分
【变式训练2】如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，添加下列条件不能
判定 是菱形的只有
A． B． C． D．
【变式训练3】如图， 中， ， ，要判定四边形 是菱形，还需
要添加的条件是
A． B． C． D． 平分
求菱形的高
【例7】如图，四边形 是菱形， ， ， 于 ，则A． B． C．12 D．24
【变式训练1】如图，已知菱形的两条对角线分别为 和 ，则这个菱形的高 为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，已知菱形 对角线 、 的长分别为 、 ，
于点 ，则 的长是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ，对角线 ．若过点 作 ，
垂足为 ，则 的长为
A．4 B． C． D．5求菱形的面积
菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= （a、b是两条对角线的长度）
【例8】菱形的面积为 ，一条对角线是 ，那么菱形的另一条对角线长为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，菱形 的两条对角线 ， 相交于点 ，若 ，菱形
的面积为96，则 长为
A．6 B．5 C．8 D．10
【变式训练2】如图，在菱形 中， ， ，则菱形 的面积是
A．18 B． C．36 D．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ，点 为边 上一点（点 不与端点
重合），连接 ，点 、 分别为 、 的中点，连接 ，若 ，则菱形
的面积为A．8 B． C．9 D．
求阴影面积
【例9】将矩形纸片 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 ．若 ，则
菱形 的面积为
A．1 B． C． D．4
【变式训练1】如图，菱形 的对角线的长分别为2和5， 是对角线 上任一点
（点 不与点 、 重合），且 交 于 ， 交 于 ，则阴影部分
的面积是
A．2 B． C．3 D．
【变式训练2】如图，在边长为2的菱形 中， ， 为 边上的高，将
沿 所在直线翻折得△ ，则△ 与四边形 重叠部分的面积是
．【变式训练3】如图，在菱形 中， ， ，点 是直线 、 之间任意
一点，连接 、 、 、 ，则 和 的面积和等于 ．
菱形证明综合
【例10】如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ，
平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．【变式训练1】如图，在 中， ， 为 的中线，过点 作 于
点 ，过点 作 的平行线，交 的延长线于点 ，在 的延长线上截取 ，
连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 为菱形；
（3）若 ， ，求四边形 的周长．
【变式训练2】如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 ， 为四边形
外一点，且 ，
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．【变式训练3】如图，在四边形 中， 与 交于点 ， ， ，
平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2） 为 上一点，连接 ，若 ，求菱形 的面积．
动点问题
【例11】如图1，在 和 中， ； ，
与 交于 ， 与 ， ，分别交于 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 不动，将 绕点 旋转到 时，试判断四边形
是什么四边形？并证明你的结论．【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点 从点 出
发沿 方向以 秒的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以
秒的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、
运动的时间是 秒 ．过点 作 于点 ，连接 ， ．
（1）四边形 能构成菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；
（2）当 为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
1. 如图，在菱形 中， ， 分别在 ， 上，且 ， 与 交于点
，连接 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．2. 已知四边形 对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形
A．一组对边相等 B．对角线相等
C．对角线垂直 D．一个内角为
3. 如图，在平面直角坐标系中、四边形 为菱形， 为原点， 点坐标为 ，
，则对角线交点 的坐标为
A． ， B． ， C． ， D． ，
4. 如图，菱形 中，对角线 、 交于点 ， 为 边中点，菱形 的周
长为24，则 的长等于
A．12 B．6 C．4 D．3
5. 如图，在 中， ，平行四边形 的顶点 在边 上，联结 、
．添加一个条件，可以使四边形 成为菱形的是A． B． C． D．
6. 在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件
可以是
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
7. 如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合（不完全重合）而得到四边形 ，则
四边形 面积的最大值是
A．15 B．16 C．19 D．20
8. 如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线分别与 ， ， 相交于
点 ， ， ．下列结论正确的个数有
①四边形 为菱形；
② ；
③当 为 中点时， ．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9. 在菱形 中， ，点 、 分别在边 、 上，满足 ，若
，则 的面积为 ．
10. 如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，点
是 上一点，连接 ，若 ，则 的长为 ．
11. 如图，在 中，点 、 分别在边 ， 上，且 ，则再添加一个条
件：
可判定四边形 是菱形．（只添加一个条件）
12. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构
成的四边形周长为 ．
13. 如图， 是菱形 的对角线， ，
（1）请用尺规作图法，在 上找点 ；使 （不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．14. 已知：如图，在菱形 中， 、 分别在边 、 上，且 ，求证：
．
15. 如图， ， 平分 ，且交 于点 ， 平分 ，且交 于点
，连接 ，求证：
（1） ；
（2）四边形 是菱形．
