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专题 1.1 菱形的性质与判定
菱形的基本性质问题.................................................................................................................1
求线段长度.................................................................................................................................2
求角度.........................................................................................................................................5
与中点有关.................................................................................................................................8
重叠图形...................................................................................................................................10
菱形判定的条件.......................................................................................................................13
求菱形的高...............................................................................................................................16
求菱形的面积...........................................................................................................................19
求阴影面积...............................................................................................................................21
菱形证明综合...........................................................................................................................24
动点问题...................................................................................................................................28
菱形的基本性质问题
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【解答】解： 、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故 选项不符合题意；
、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故 选项不符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故 选项符合题意；
、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故 选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列不属于菱形性质的是A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等
【解答】解： ．菱形的两组对边分别平行，所以 选项不符合题意；
．菱形的两组对边分别线段，所以 选项不符合题意；
．菱形的每一条对角线平分一组内角，所以 选项不符合题意；
．菱形的对角线互相垂直平分，所以 选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列说法中，错误的是
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到 均正确，而 不正确，因为对角线互
相垂直的四边形也可能是梯形，
故选： ．
【变式训练3】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【解答】解： 、不正确，两组对边分别平行；
、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选： ．
求线段长度
【例2】已知菱形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ， ，则 的长
是
A．3 B．4 C．7 D．8
【解答】解：如图， 四边形 是菱形， ，
， ， ，在 中，根据勾股定理，得： ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在菱形 中， ，对角线 ，则菱形的边 的
长为
A．4 B．6 C． D．8
【解答】解： 四边形 为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，菱形 的两条对角线 、 的长分别是 、 ，则此菱
形的周长是A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形，对角线 、 的长分别是 、 ，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
菱形 的周长 ，
故选： ．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ， ，对角线 与 相交于
点 ，经过点 作与边 ， 都垂直的线段 ，分别与边 ， 相交于点 ， ，
则四边形 的周长为
A．8 B． C． D．12
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
四边形 的周长 ，
故选： ．
求角度
【例3】如图，菱形 中对角线相交于点 ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：在菱形 中， ， ，
，
，
是等边三角形，
，
在菱形 中， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在菱形 中， 是 的中点， ，连接 ，则
等于A． B． C． D．
【解答】解：如图， 是 的中点， ，
，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， 的垂直平分线 分别
交 ， 于点 、 ，连接 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，如图所示：
四边形 是菱形，， 垂直平分 ， ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于
，连接 ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，，
，
，
，
故选： ．
与中点有关
【例4】如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，
连接 ，若 ， ，则 的长为
A．12 B．6 C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 的中点，且 ，则菱形 的周长为
A． B． C． D．
【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，可得 ，则菱形 的周长为 ．故选 ．
【变式训练2】如图，在菱形 中， ， ， 分别是边 和 的中点，
于点 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：延长 交 的延长线于 点．
在菱形 中， ， ， 分别是边 和 的中点，
， ．
．
， ．
又 ， ，
．
．
，
．
，则 ．
故选： ．重叠图形
【例5】如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形 （不完全重合），
则四边形 面积的最大值是
A．15 B．16 C．19 D．20
【解答】解：如图1，作 于 ， 于 ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
两个矩形的宽都是3，
，
，
，
平行四边形 是菱形．如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形 的面积最大，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
四边形 面积的最大值是：15
．
故选： ．
【变式训练1】如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形 ，
若 ，则四边形 的面积是
A．4 B．12 C．8 D．6
【解答】解：依题意得： ， ，则四边形 是平行四边形．
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ，
，
．
又 ，
， ，
四边形 的面积
故选： ．【变式训练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若
测得 ， 之间的距离为 ，点 ， 之间的距离为 ，则线段 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：作 于 ， 于 ，连接 、 交于点 ．
由题意知： ， ，
四边形 是平行四边形，
两个矩形等宽，
，
，
，
平行四边形 是菱形，
，
在 中， ， ，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，将两条宽度都为 3的纸条重叠在一起，使 ，则四边形的面积为 ．
【解答】解： 纸条的对边平行，即 ， ，
四边形 是平行四边形，
两张纸条的宽度都是3，
，
，
平行四边形 是菱形，即四边形 是菱形．
如图，过 作 ，垂足为 ，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
．
故答案是： ．菱形判定的条件
菱形的判别方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【例6】不能判定一个四边形是菱形的条件是
A．四边相等
B．对角线互相平分且有一组邻边相等
C．两组对边互相平行，且一组邻边相等
D．对角线互相垂直
【解答】解： 、 四边相等的四边形是菱形，
选项 不符合题意；
、 对角线互相平分的四边形是平行四边形，
有一组邻边相等，
这个平行四边形是菱形， 选项 不符合题意；
、 两组对边互相平行的四边形是平行四边形，
一组邻边相等，
这个平行四边形是菱形，
选项 不符合题意；
、 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
选项 符合题意；
故选： ．
【变式训练1】如图，四边形 中， 于点 ，则下列条件能判定该四边形是
菱形的是A． B．
C． D． 、 互相平分
【解答】解：能判定该四边形是菱形的是 、 互相平分，理由如下：
、 互相平分，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，添加下列条件不能
判定 是菱形的只有
A． B． C． D．
【解答】解： 、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
、正确．可以证明平行四边形 的邻边相等，即可判定是菱形．
故选： ．
【变式训练3】如图， 中， ， ，要判定四边形 是菱形，还需要添加的条件是
A． B． C． D． 平分
【解答】解：当 平分 时，四边形 是菱形，
理由： ，
，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
其余选项均无法判断四边形 是菱形，
故选： ．
求菱形的高
【例7】如图，四边形 是菱形， ， ， 于 ，则
A． B． C．12 D．24
【解答】解：如图，设对角线相交于点 ，
， ，，
，
由勾股定理得到， ，
，
，
即 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知菱形的两条对角线分别为 和 ，则这个菱形的高 为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
菱形 的面积 ，；
故选： ．
【变式训练2】如图，已知菱形 对角线 、 的长分别为 、 ，
于点 ，则 的长是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
，
故 ，
解得： ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ，对角线 ．若过点 作 ，
垂足为 ，则 的长为A．4 B． C． D．5
【解答】解：连接 ，交 于 点，
四边形 是菱形，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
菱形 的面积是 ，
，
，
故选： ．
求菱形的面积
菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= （a、b是两条对角线的长度）
【例8】菱形的面积为 ，一条对角线是 ，那么菱形的另一条对角线长为
A． B． C． D．
【解答】解：设另一条对角线长为 ，则 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，菱形 的两条对角线 ， 相交于点 ，若 ，菱形
的面积为96，则 长为
A．6 B．5 C．8 D．10
【解答】解： 四边形 是菱形， ，菱形 的面积为96，
， ， ， ，
，
解得： ，
，
在 中， ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在菱形 中， ， ，则菱形 的面积是
A．18 B． C．36 D．
【解答】解：如图，过点 于点 ，在菱形 中， ， ，
，
，
，
菱形 的面积 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ，点 为边 上一点（点 不与端点
重合），连接 ，点 、 分别为 、 的中点，连接 ，若 ，则菱形
的面积为
A．8 B． C．9 D．
【解答】解：如图，连接 ， 交于点 ，
点 、 分别为 、 的中点， ，
，
在菱形 中， ， ， ，
，
，
是等边三角形，，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
则菱形 的面积 ．
故选： ．
求阴影面积
【例9】将矩形纸片 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 ．若 ，则
菱形 的面积为
A．1 B． C． D．4
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
假设 ，则 ， ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，利用勾股定理得出：
，，
又 ，
则菱形的面积是： ．
故选： ．
【变式训练1】如图，菱形 的对角线的长分别为2和5， 是对角线 上任一点
（点 不与点 、 重合），且 交 于 ， 交 于 ，则阴影部分
的面积是
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：设 ， 交于 点，
交 于 ， 交 于 ，
四边形 为平行四边形， 的面积 的面积，
阴影部分的面积等于 的面积．
的面积等于菱形 的面积的一半，
菱形 的面积 ，
图中阴影部分的面积为 ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在边长为2的菱形 中， ， 为 边上的高，将
沿 所在直线翻折得△ ，则△ 与四边形 重叠部分的面积是．
【解答】解：如图，设 与 交于点 ，
在边长为2的菱形 中， ， 为 边上的高，
，
由折叠易得 为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
又由折叠的性质知， ，
．
，
重叠部分的面积为： ．
【变式训练3】如图，在菱形 中， ， ，点 是直线 、 之间任意
一点，连接 、 、 、 ，则 和 的面积和等于 ．【解答】解：连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
由勾股定理得： ，
，
，
和 的高的和等于点 到直线 的距离，
和 的面积和 菱形 的面积 ．
故答案为：12
菱形证明综合
【例10】如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ，
平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
．
【变式训练1】如图，在 中， ， 为 的中线，过点 作 于
点 ，过点 作 的平行线，交 的延长线于点 ，在 的延长线上截取 ，
连接 、 ．（1）求证： ；
（2）求证：四边形 为菱形；
（3）若 ， ，求四边形 的周长．
【解答】（1）证明： ， 为 的中线，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 点 是 中点，
，
；
（2）证明： ，
四边形 是菱形，
（3）解：设 ，则 ， ，
在 中， ，
，即 ，
解得： ，
四边形 的周长 ．
【变式训练2】如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 ， 为四边形
外一点，且 ，
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．【解答】（1）证明： ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 平分 ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
．
【变式训练3】如图，在四边形 中， 与 交于点 ， ， ，
平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2） 为 上一点，连接 ，若 ，求菱形 的面积．【解答】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
平行四边形 是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形 是菱形，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
菱形 的面积 ．
动点问题
【例11】如图1，在 和 中， ； ，
与 交于 ， 与 ， ，分别交于 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 不动，将 绕点 旋转到 时，试判断四边形
是什么四边形？并证明你的结论．【解答】（1）证明： ， ，
．
在 和 中， ，
，
（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形 是菱形．
证明： ， ，
．
，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
，
四边形 是菱形．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点 从点 出
发沿 方向以 秒的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以
秒的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、
运动的时间是 秒 ．过点 作 于点 ，连接 ， ．
（1）四边形 能构成菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；（2）当 为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在 中， ， ， ，
，
又 ，
，
， ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形，
即 ，解得 ．
当 秒时，四边形 为菱形．
（2）①当 时，由（1）知四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
又 ，即 ，解得 ；
②当 时，四边形 为矩形，在 中 ，则 ，
，即 ，解得 ．
③若 ，则 与 重合， 与 重合，此种情况不存在．
综上所述，当 或5秒时， 为直角三角形．1. 如图，在菱形 中， ， 分别在 ， 上，且 ， 与 交于点
，连接 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 为菱形，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．2. 已知四边形 对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形
A．一组对边相等 B．对角线相等
C．对角线垂直 D．一个内角为
【解答】解： 四边形 对角线互相平分，
四边形 是平行四边形，
、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故 不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故 符合题意；
、一个内角为 的平行四边形是矩形，故 不符合题意；
故选： ．
3. 如图，在平面直角坐标系中、四边形 为菱形， 为原点， 点坐标为 ，
，则对角线交点 的坐标为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：过点 作 轴于点 ，
四边形 为菱形， ，， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
故选： ．
4. 如图，菱形 中，对角线 、 交于点 ， 为 边中点，菱形 的周
长为24，则 的长等于
A．12 B．6 C．4 D．3
【解答】解： 菱形 的周长为24，
， ，
为 边中点，
．
故选： ．
5. 如图，在 中， ，平行四边形 的顶点 在边 上，联结 、
．添加一个条件，可以使四边形 成为菱形的是A． B． C． D．
【解答】解：添加 ，可以使四边形 成为菱形，理由如下：
如图，设 于 交于点 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
四边形 是菱形．
因为添加其他条件，都不可以使四边形 成为菱形．
故选： ．
6. 在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件
可以是
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【解答】解： 、另一组对边相等，对角线相等，这个四边形可能是等腰梯形，故此选项
不符合题意；
、另一组对边相等，对角线互相垂直，这个四边形可能是等腰梯形，故此选项不符合题
意；
、另一组对边平行，对角线相等，这个四边形是矩形，故此选项不符合题意；
：另一组对边平行，对角线互相垂直，这个四边形是菱形，故此选项符合题意．
故选： ．
7. 如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合（不完全重合）而得到四边形 ，则
四边形 面积的最大值是
A．15 B．16 C．19 D．20
【解答】解：如图1，作 于 ， 于 ，，
， ，
四边形 是平行四边形，
两个矩形的宽都是4，
，
，
，
平行四边形 是菱形．
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形 的面积最大，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
四边形 面积的最大值是：
，
故选： ．
8. 如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线分别与 ， ， 相交于
点 ， ， ．下列结论正确的个数有
①四边形 为菱形；② ；
③当 为 中点时， ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解： 四边形 为平行四边形，
， ， ， ， ，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
垂直平分 ，
平行四边形 是菱形，①正确；
，
，
在 和 中，
，
，②正确；
四边形 是菱形，，
为 的中点，
，
，
，
，
，③正确；
正确的个数有3个，
故选： ．
9. 在菱形 中， ，点 、 分别在边 、 上，满足 ，若
，则 的面积为 ．
【解答】解：如图，过 作 于 ，
在菱形 中， ， ，
是等边三角形，
是菱形的对角线，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
10. 如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，点
是 上一点，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【解答】解： 在菱形 中， ， ，
， ， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．11. 如图，在 中，点 、 分别在边 ， 上，且 ，则再添加一个条
件： 可判定四边形 是菱形．（只添加一个条件）
【解答】解：添加 ，
理由： 四边形 是平行四边形，
，且 ，
又 ，
．
四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是菱形．
故答案为： ．
12. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构
成的四边形周长为 ．
【解答】解：如图所示：
由题意得：矩形 矩形 ，
， ， ， ， ，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 的面积 ，
，
四边形 是菱形，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ，
，
四边形 的周长 ；
故答案为：
13. 如图， 是菱形 的对角线， ，
（1）请用尺规作图法，在 上找点 ；使 （不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．
【解答】解：（1）如图所示，点 即为所求；
（2） 四边形 是菱形，
， ， ．
， ，
，
垂直平分线段 ，
，，
．
14. 已知：如图，在菱形 中， 、 分别在边 、 上，且 ，求证：
．
【解答】证明： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
15. 如图， ， 平分 ，且交 于点 ， 平分 ，且交 于点
，连接 ，求证：
（1） ；
（2）四边形 是菱形．
【解答】证明：（1） ，
，
平分 ，
，，
是等腰三角形，
平分 ，
；
（2） 是等腰三角形，
，
，
也是等腰三角形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
