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专题1.26 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（知识讲
解）
【学习目标】
1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知
识进行有关的证明和计算.
3. 掌握三角形中位线定理.
【要点梳理】
要点一、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S ＝长宽
矩形
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
对角线对角线
3．面积：S ＝底高＝
菱形 2
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.1
3．面积：S =边长×边长＝ ×对角线×对角线
2
正方形
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、菱形
1．如图，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)证明见分析；(2)四边形 是菱形，理由见分析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用平行四边形的判定和性
质以及全等三角形的判定解答即可．
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明 是等边三角形，得 ，
从而可得结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，
又 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF与△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
(2)解：四边形 是菱形
四边形ABCD为平行四边形，
，AD//BC，
，
AE//CF， ，
四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平
行四边形和菱形的判断方法．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且 ．请判
断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【答案】四边形BEDF是菱形，理由见分析
【分析】根据菱形的性质及 ，得到四边形BEDF是平行四边形，结合
即可确定．
解：四边形BEDF是菱形．
理由如下：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
， ， ，
，
，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【点拨】本题考查菱形的性质与判定，涉及到平行四边形的判定，熟练掌握平行四边
形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．
【变式2】如图所示，在平行四边形 中，邻边 上的高相等，即 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)见分析 (2)120
【分析】
（1）先证△ABE≌△CBF（AAS），即有AB＝CB，则有平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质有AC⊥BD，BO＝ BD＝5，在Rt△ABO
中，由勾股定理得：AO＝ ＝12，则菱形的面积可求．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝ ＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝ AC×BD＝120．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性
质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
类型二、矩形
2．图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，过点D作 于点E．
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线BF，垂足为F点．（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）的条件下，已知 ，求BF的长．【答案】(1)见分析； (2)
【分析】
（1）根据垂线的作法即可过点B作AC的垂线BF，垂足为F点；
（2）先证明 AED≌△CFB，得到AE=CF，再求出OB与OF的长，最后由勾股定理求
得BF的长． △
解：(1)如图，BF即为所求；
(2)如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，
∴OA=OC=OB=OD，∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF，
∵ ，∴AE=2，OE=OF=1，AC=6，
∴OB=OC=3，
∴ ．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定
理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式1】如图所示，在矩形 中， ， 分别是边 ， 上的点， ，
连接 ， ， 与对角线 交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 ，求 的长．
【答案】(1)见分析 (2)2
【分析】
（1）四边形ABCD是矩形，得AB CD，由平行线的性质得∠EAO=∠FCO，
∠OEA=∠OFC，又因为AE=CF，所以由AAS判定定理即可得结论；
（2）过点F作FG⊥AB于G，先由AE=CF，AE：EB=1：2，BE=BF，求得BF=2CF，
在Rt BCF中，由勾股定理，求得CF=1，所以BE=BF=2，再证四边形BCFG是矩形，得
△
FG=BC= ，BG=CF=1，在Rt EGF中，由勾股定理求解即可．
△
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵AE=CF，
∴△OAE≌ OCF（AAS），
∴OE=OF；△
(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于G，∵AE=CF，AE：EB=1：2，
∴CF：EB=1：2，
∵BE=BF，
∴CF：BF=1：2，即BF=2CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF=∠ABC=90°，
在Rt BCF中，由勾股定理，得BF2=BC2+CF2，
△
∴（2CF）2=（ ）2+CF2，
∴CF=1，
∴BF=2CF=2，
∴BE=BF=2，
∵FG⊥AB，
∴∠BGF=90°，
∴四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC= ，BG=CF=1，
∴EG=BE-BG=1，
在Rt EGF中，由勾股定理，得
△
EF= =2
答： 的长为2．
【点拨】本题考查矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌
握矩形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，EH，EF，FG ，GH别为折
痕， 其中点A，B落在点J处，点C，D落在点K处，且点H，J，K，F在同一直线上．
（1）四边形EFGH 的形状为____________．（2）若 ，JK＝ ，则AB＝__________．
【答案】 矩形； .
【分析】
（1）由题意，由折叠的性质得到 ， ，则得到
，同理可求 ，即可得到结论成立；
（2）设 ， ，则求出 ，得到AH和DH的长度，然后证明
，从而求出HF的长度，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，求出
FI的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．
解：（1）根据题意，由折叠的性质，
， ，
∴ ，
即 ，
同理可求： ， ，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：矩形；
（2）∵ ，
设 ， ，
由折叠的性质，则AH=HJ，HD=HK，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ；由（1）可知，四边形EFGH是矩形，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴∠EFJ=∠GHK，
∵∠EJF=∠GKH=90°，
∴△EFJ≌△GHK，
∴FJ=HK，
∵HD=HK，FB=FJ，
∴HD=HK=FB=FJ= ；
∴ ，
如图，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，
∴ ，
在直角 中，由勾股定理则
；
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾
股定理，解题的的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意．
类型三、正方形
3．如图，正方形 中，M是其内一点， ，将 绕点B顺时针
旋转 至 ，连接 、 、 ，延长 交 与点E，交 与点G．
(1)在图中找到与 相等的线段，并证明．(2)求证：E是线段 的中点．
【答案】(1) ，证明见分析(2)证明见分析
【分析】
（1）根据旋转的性质得出BM=BN，∠MBN= ，再根据同角的余角相等可得
∠ABM=∠CBN，进而得出 ， ．
（2）作辅助线，过A作AP⊥BG，证明 和 ，可得E为
AN中点．
解：(1) ，理由如下：
证明：∵BM绕B顺时针旋转 得BN
∴BM=BN，∠MBN=
∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠ABC= =∠ABM+∠MBC
∵∠MBN= =∠MBC+∠CBN
∴∠ABM=∠CBN
∴在 中
∴ （SAS）
∴AM=CN．
(2)证明：如图，过A作AP⊥BG
∴∠APB= =∠CMB
∵∠CBM+∠ABM= =∠ABM+∠PAB
∴∠CBM=∠PAB
∴在 中∵
∴ （AAS）
∴AP=BM
由（1）知，BM=BN，∠MBN=
∴AP=BN，∠APE=∠EBN=
∵∠PEA=∠BEN
∴ （AAS）
∴AE=EN
∴E为AN中点．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明三
角形全等是解本题的关键．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线
AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
(1)证明：△ADE≌△CBF．
(2)若AB＝ ，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°，再由SAS可证 ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4．再证△明四边形BEDF为
菱形，因为AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt DOE中用勾股定理求得DE的长，进而四
边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案． △
解：(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在 ADE和 CBF中，
△ △
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
(2)∵AB＝AD＝ ，
∴ ，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝
4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴ ，
∴4DE＝ ，
故四边形BEDF的周长为 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性
质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（ ），连接BE，DE．
(1)求证： ；
(2)过点E作 交BC于点F，延长BC至点G，使得 ，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
【答案】(1)见分析(2)①见分析；②
【分析】
（1）根据正方形的性质可得 依据SAS证明 即
可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明 ,得GE=BE,
，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△ 和△ 中，
∴△
∴
(2)①补全图形如下：②连接GE，如图，
∵
∴∠
∴∠
∴ ， ，
又
∴△
∴
∴ ，
由（1）知：△ ，
∴∠
∴∠ 即∠ ，
∴∠
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
证明 是解答本题的关键．
类型四、特殊平行四边形综合
4．如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，
连接 .
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，
设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.
【答案】(1)5(2) (3)① ；② 或【分析】
（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得
直线AC的解析式；
（3）①根据S ABC=S AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB
△ △
上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
解：(1) 点 的坐标为 ，
在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
(2)∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，
得 ，
解得 ，
直线AC的解析式为 ，
(3)由 ，令 ， ，则 ，则 ，
①当0<t＜ 时，
BP=BA-AP=5-3t，HM=OH-OM= ，
，，
②设M到直线BC的距离为h，
S ABC=S AMB+SBMC
，
△ △
，
解得 ，
当 时， ， ，
，
当 时，代入 ，
解得 ，
代入 ，
解得 ，
综上所述 或 ．
【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、勾股定理、三角形的面积、一元一
次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思
想思考问题，学会构建方程解决问题．
【变式1】如图，在等腰 ABC中 ，点D为直线BC上一动点（点D不
B、C重合），以AD为边向右△侧作正方形ADEF，连接CF．【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关
系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数
量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，
AE．DF交点为点O连接CO，若 ， ，则 ．
【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见分析；【探究】CF= BC+ CD，理由见分析；
【应用】
【分析】
【猜想】 利用SAS证明 BAD≌ CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得
结论； △ △
【探究】利用SAS证明 BAD≌ CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得
出结论； △ △
【应用】 利用SAS证明 BAD≌ CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出
∠DCF= 90°，在Rt DCF中利△用勾股△定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可
得结论． △
解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在 BAD和 CAF中，
△ △，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴ ，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合
运用运用有关的知识解决问题．
【变式2】已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE， ，交AE于点G，
交CD于点F．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，AC、BD交于点O，AE交BD于点M，AC交BF于点N， ，交
CD于点P，PQ⊥BD于点Q，连接PN， ，在不添加辅助线的情况下，请你直接
写出与线段BM相等的所有线段（除线段BM外）．
【答案】(1)见分析； (2)CN，PN，OQ
【分析】
（1）由“ASA”可证△BAE≌△CBF，可得AE=BF；（2）利用全等三角形的性质，平行
四边形的性质，矩形的性质可得BM=CN=PN=OQ．
解：(1)证明：∵BF⊥AE，四边形ABCD是正方形，
∴∠AGB=∠ABE=∠BCD=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠EBF，
∴∠BAE=∠EBF，
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF；
(2)与BM相等的线段有CN，PN，OQ，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ACB=∠ACD=45°，
在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN，
如图，连接MC，
由正方形的对称性可得：AM=MC，∠DAM=∠DCM，
∵∠ADC=∠AMP=90°，
∴∠DAM+∠DPM=180°，
∵∠DPM+∠MPC=180°，
∴∠MPC=∠DAM=∠MCP，
∴PM=MC=AM=BN，
∵PM⊥AE，BF⊥AE，
∴PM∥BF，
∴四边形MBNP是平行四边形，
∴BM=PN，
∴∠PCN=∠CPN=45°，
∴∠PNO=90°，
又∵PQ⊥DO，DO⊥OC，
∴四边形OQPN是矩形，
∴OQ=PN．
故与BM相等的线段有CN，PN，OQ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性
质，矩形的判定和性质等知识，灵活运用正方形的性质，全等三角形的判定性质，平行四
边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识解决问题是解题的关键．类型五、特殊平行四边形相关拓展
5．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形ABCD中，
AB=8，AD=6，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形BEFG，点A、D、C的
对应点分别为E、F、G．
(1)如图1，当点E落在CD边上时，求DE的长；
(2)如图2，当点E落在线段DF上时，BE与CD交于点H．
①求证： ABD≌△EBD；②求DH的长．
(3)如图3，△若矩形ABCD对角线ACBD相交于点P，连接PE、PF，记 PEF面积为
S，请直接写出S的最值． △
【答案】(1)DE的长为8-2 ；(2)①见分析；②DH= ；(3)9≤S≤39．
【分析】
（1）由旋转性质知BA=BE=8，由矩形性质知BC=AD=6，再在Rt BCE中根据勾股定
理可得； △
（2）①利用旋转的性质可得：∠A=∠BEF=90°，AB=BE，由“HL”可证
ADB≌△EDB；
△ ②由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠BDC=∠EBD，可得BH=DH，由勾股定
理可求DH的值；
（3）由勾股定理可求BD的值，可得BP=5，当点E在线段BD上时， PEF面积有最
小值，当点E在线段DB延长线上时， PEF面积有最大值． △
解：(1)由旋转的性质知BA=BE=8，△
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠C=90°，∴CE= =2 ；
∴DE=CD-CE=8-2 ；
(2)①证明：由旋转知：∠A=∠BEF=90°，AB=BE，
∵∠BEF=90°，
∴∠BED=90°，
又∵BD=BD，
∴Rt ABD≌Rt EBD（HL）；
②设△DH=x，△
由①知 ABD≌△EBD，
∴∠ABD△=∠EBD，
又∵在矩形ABCD中，有 AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∴∠BDC=∠EBD，
∴BH=DH，
∴在Rt BCH中，由勾股定理得：（8-x）2+62=x2，
△
∴x= ，即DH= ；
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=8，AD=BC=6，BP=DP=AP=CP，
∴BD= =10，
∴BP=5，
∵EF=AD=6，
如图，EF始终在以B为圆心，BE为半径的圆上， PEF的底EF是定值为6，当
高最小或最大时， PEF的面积就存在最小值或最大值， △
△∴当点E在线段BD上时，此时PE最短，则 PEF面积有最小值；
当点E在DB延长线上时，此时PE最长，则△PEF面积有最大值；
分情况讨论： △
当点E在线段BD上时， PEF面积有最小值，
△
∴S PEF= ×6×（8-5）=9；
△
当点E在线段DB延长线上时， PEF面积有最大值．
△
∴S PEF= ×6×（8+5）=39．
△
∴9≤S≤39．
【点拨】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判
定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会
利用参数构建方程解决问题．
【变式1】如图①，在正方形 中，点P为对角线 上一点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图②，过P点作 ，交射线 于点E．求证： ；
(3)在图③中，过P点作 ，交射线 于点E，猜想线段 之间的
数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见分析；(2)见分析；(3)线段 之间的数量关系是CD2=DE2+CD· PD,证明见分析；
【分析】
(1)根据正方形的基本性质，可以得出AD=DC,∠ADB=∠CDB，再根据DP是 ADP和
CDP的公共边，可以根据边角边的关系，得出两个三角形全等，再根据全等三△角形的性
△质得出结论．
(2)过点P作AD的垂线，交AD于点M，作CD的垂线，交CD于点N．根据ABCD是
正方形，BD是对角线，可以证明四边形PMDN是正方形，∠MPE+∠NPE=90°，
∠NPE+∠NPC=90°．可以得到PM=PN, ∠MPE=∠NPC，∠PME=∠PNC=90°，然后得到
MPE与 PCN全等，最后得出结论．
△ (3)连△接CE，根据前面的结论和题目所给，发现 PCE是等腰直角三角形，可以得到
△
PC²+PE²=CE²，得到PC²= CE²，根据 DPN是等腰直角三角形可以发现，
△
PN²+DN²=PD²，得到PD²=2DN²，DN= PD，根据DN=PN,可以得到PC²-CN²=DN²，根
据图示，CN+DN=CD，可以将PC²-CN²=DN²作出改变，得到 CE²-CD²+ CD·PD=0，最
后再将CE²=CD²+DE²代入得出猜想．
解：(1)证明：∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
DP是 ADP和 CDP的共同边，根据边角边定理，
∴△ADP△与 CDP△是全等三角形，
∴AP=CP．△
(2)证明：过点P作AD的垂线，交于点M，作CD的垂线，交于点N．
ABCD是正方形，BD是对角线，
∴四边形PMDN是正方形，
∴PM=PN，
∠MPN=90°，PE⊥PC，
∴∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPC=90°，
∴∠MPE=∠NPC，
PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PME=∠PNC=90°，
根据角边角定理，
∴△MPE≌△PCN，
∴PE=PC．
(3)
解：连接CE．
△PCE是等腰直角三角形，
∴PC²+PE²=CE²，
∴PC²= CE²，
△DPN是等腰直角三角形，
∴ PN²+DN²=PD²∴PD²=2DN²，DN= PD ，
DN=PN，
代入前面的数量关系得PC²-CN²=DN²，
如图，CN+DN=CD代入上式得： CE²-CD²+ CD·PD=0，
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²，
∴DE²+ CD·PD=CD² ，
∴CD、DE、PD之间的数量关系是DE²+ CD·PD=CD²．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质及判定．熟练运用正方形的性质
及全等三角形的性质及判定并能准确画出辅助线是正确解题的关键．
【变式2】(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量
关系．已知正方形 的对角线 长为 ，则正方形 的周长为______，面积为
______（都用含 的代数式表示）．
(2)【拓展·综合】如图1，若点 、 是某个正方形的两个对角顶点，则称 、 互
为“正方形关联点”，这个正方形被称为 、 的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 中，点 是原点 的“正方形关联点”．若 ，则 、
的“关联正方形”的周长是______；若点 在直线 上，则 、 的“关联正方
形”面积的最小值是______．16．②如图2，已知点 ，点 在直线 上，正方形 是 、
的“关联正方形”，顶点 、 到直线 的距离分别记为 和 ，求 的最小值．
【答案】(1) a； ；(2) ； ；(3) ．
【分析】
（１）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得边与对角线之间的关系，
从而求解．
（２）
①先根据两点间的距离公式求出OP的长度即为对角线的长度，再利用上题的结论进
行正确计算即可．
②分别过点P、Q作l的垂线，构造出两个全等的三角形，把两点到直线的距离转移到
同一个直角三角形中，再根据“垂线段最短”得出当AB⊥l时，AB最短，当AB最短时，
BP最短，BP2= ，再根据同一直角坐标系中互相垂直的两条直线斜率乘积得-1求出直
线AB的解析式，再求出直线AB与直线 的交点坐标，然后求出两点距离，再
除以2即可．
解：(1)【答题空1-1】
如图所示，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=CD=AD= = ，
∴正方形ABCD的周长为： ，
故答案为： ；【答题空1-2】
∵AB=BC=CD=AD= = ，
∴面积为： ，
故答案为： ；
(2)【答题空2-1】
∵ ，
∴OP= ，
∴由上题可知，此时的周长为 ，
故答案为： ；
【答题空2-2】
若点 在直线 上，
由“垂线段最短可知，
当OP垂直于直线 时，OP最短，
此时 、 的“关联正方形”的面积最小，
此时P( ， )，OP= ，
∴ 、 的“关联正方形”的面积最小值为 ，故答案为： ；
(3)如图，过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N，
∴∠PMB=∠QNB=90°，
∵∠MPB+∠PBM=90°，∠PBM+∠QBN=90°，
∴∠MPB=∠QBN，
∵PB=QB，
∴△BPM≌△QBN(AAS)，
∴BM=QN，
即PM=a，BM=b，
在Rt△BPM中，BP2=BP2+BM2= ，
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2=2BP2，
∴当AB最小时，BP最小， 最小，
设直线AB为 ，
∵AB⊥l，
∴k= ，将点 代入，可得 ，
联立，得： ，解得， ，
此时两直线交点B为 ， ，AB2= ，
∴BP2= ，
即 = ．【点拨】本题主要考查正方形的性质及一次函数的性质、勾股定理．熟练运用这些知
识点构建相对应的数学模型是正确解题的关键．
