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专题1.26 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（知识讲
解）
【学习目标】
1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知
识进行有关的证明和计算.
3. 掌握三角形中位线定理.
【要点梳理】
要点一、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S ＝长宽
矩形
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
对角线对角线
3．面积：S ＝底高＝
菱形 2
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.1
3．面积：S =边长×边长＝ ×对角线×对角线
2
正方形
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、菱形
1．如图，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)证明见分析；(2)四边形 是菱形，理由见分析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用平行四边形的判定和性
质以及全等三角形的判定解答即可．
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明 是等边三角形，得 ，
从而可得结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，
又 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF与△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
(2)解：四边形 是菱形
四边形ABCD为平行四边形，
，AD//BC，
，
AE//CF， ，
四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平
行四边形和菱形的判断方法．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且 ．请判
断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【答案】四边形BEDF是菱形，理由见分析
【分析】根据菱形的性质及 ，得到四边形BEDF是平行四边形，结合
即可确定．
解：四边形BEDF是菱形．
理由如下：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
， ， ，
，
，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【点拨】本题考查菱形的性质与判定，涉及到平行四边形的判定，熟练掌握平行四边
形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．
【变式2】如图所示，在平行四边形 中，邻边 上的高相等，即 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)见分析 (2)120
【分析】
（1）先证△ABE≌△CBF（AAS），即有AB＝CB，则有平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质有AC⊥BD，BO＝ BD＝5，在Rt△ABO
中，由勾股定理得：AO＝ ＝12，则菱形的面积可求．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝ ＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝ AC×BD＝120．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性
质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
类型二、矩形
2．图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，过点D作 于点E．
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线BF，垂足为F点．（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）的条件下，已知 ，求BF的长．【答案】(1)见分析； (2)
【分析】
（1）根据垂线的作法即可过点B作AC的垂线BF，垂足为F点；
（2）先证明 AED≌△CFB，得到AE=CF，再求出OB与OF的长，最后由勾股定理求
得BF的长． △
解：(1)如图，BF即为所求；
(2)如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，
∴OA=OC=OB=OD，∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF，
∵ ，∴AE=2，OE=OF=1，AC=6，
∴OB=OC=3，
∴ ．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定
理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式1】如图所示，在矩形 中， ， 分别是边 ， 上的点， ，
连接 ， ， 与对角线 交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 ，求 的长．
【答案】(1)见分析 (2)2
【分析】
（1）四边形ABCD是矩形，得AB CD，由平行线的性质得∠EAO=∠FCO，
∠OEA=∠OFC，又因为AE=CF，所以由AAS判定定理即可得结论；
（2）过点F作FG⊥AB于G，先由AE=CF，AE：EB=1：2，BE=BF，求得BF=2CF，
在Rt BCF中，由勾股定理，求得CF=1，所以BE=BF=2，再证四边形BCFG是矩形，得
△
FG=BC= ，BG=CF=1，在Rt EGF中，由勾股定理求解即可．
△
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵AE=CF，
∴△OAE≌ OCF（AAS），
∴OE=OF；△
(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于G，∵AE=CF，AE：EB=1：2，
∴CF：EB=1：2，
∵BE=BF，
∴CF：BF=1：2，即BF=2CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF=∠ABC=90°，
在Rt BCF中，由勾股定理，得BF2=BC2+CF2，
△
∴（2CF）2=（ ）2+CF2，
∴CF=1，
∴BF=2CF=2，
∴BE=BF=2，
∵FG⊥AB，
∴∠BGF=90°，
∴四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC= ，BG=CF=1，
∴EG=BE-BG=1，
在Rt EGF中，由勾股定理，得
△
EF= =2
答： 的长为2．
【点拨】本题考查矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌
握矩形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，EH，EF，FG ，GH别为折
痕， 其中点A，B落在点J处，点C，D落在点K处，且点H，J，K，F在同一直线上．
（1）四边形EFGH 的形状为____________．（2）若 ，JK＝ ，则AB＝__________．
【答案】 矩形； .
【分析】
（1）由题意，由折叠的性质得到 ， ，则得到
，同理可求 ，即可得到结论成立；
（2）设 ， ，则求出 ，得到AH和DH的长度，然后证明
，从而求出HF的长度，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，求出
FI的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．
解：（1）根据题意，由折叠的性质，
， ，
∴ ，
即 ，
同理可求： ， ，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：矩形；
（2）∵ ，
设 ， ，
由折叠的性质，则AH=HJ，HD=HK，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ；由（1）可知，四边形EFGH是矩形，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴∠EFJ=∠GHK，
∵∠EJF=∠GKH=90°，
∴△EFJ≌△GHK，
∴FJ=HK，
∵HD=HK，FB=FJ，
∴HD=HK=FB=FJ= ；
∴ ，
如图，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，
∴ ，
在直角 中，由勾股定理则
；
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾
股定理，解题的的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意．
类型三、正方形
3．如图，正方形 中，M是其内一点， ，将 绕点B顺时针
旋转 至 ，连接 、 、 ，延长 交 与点E，交 与点G．
(1)在图中找到与 相等的线段，并证明．(2)求证：E是线段 的中点．
【答案】(1) ，证明见分析(2)证明见分析
【分析】
（1）根据旋转的性质得出BM=BN，∠MBN= ，再根据同角的余角相等可得
∠ABM=∠CBN，进而得出 ， ．
（2）作辅助线，过A作AP⊥BG，证明 和 ，可得E为
AN中点．
解：(1) ，理由如下：
证明：∵BM绕B顺时针旋转 得BN
∴BM=BN，∠MBN=
∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠ABC= =∠ABM+∠MBC
∵∠MBN= =∠MBC+∠CBN
∴∠ABM=∠CBN
∴在 中
∴ （SAS）
∴AM=CN．
(2)证明：如图，过A作AP⊥BG
∴∠APB= =∠CMB
∵∠CBM+∠ABM= =∠ABM+∠PAB
∴∠CBM=∠PAB
∴在 中∵
∴ （AAS）
∴AP=BM
由（1）知，BM=BN，∠MBN=
∴AP=BN，∠APE=∠EBN=
∵∠PEA=∠BEN
∴ （AAS）
∴AE=EN
∴E为AN中点．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明三
角形全等是解本题的关键．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线
AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
(1)证明：△ADE≌△CBF．
(2)若AB＝ ，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°，再由SAS可证 ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4．再证△明四边形BEDF为
菱形，因为AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt DOE中用勾股定理求得DE的长，进而四
边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案． △
解：(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在 ADE和 CBF中，
△ △
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
(2)∵AB＝AD＝ ，
∴ ，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝
4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴ ，
∴4DE＝ ，
故四边形BEDF的周长为 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性
质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（ ），连接BE，DE．
(1)求证： ；
(2)过点E作 交BC于点F，延长BC至点G，使得 ，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
【答案】(1)见分析(2)①见分析；②
【分析】
（1）根据正方形的性质可得 依据SAS证明 即
可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明 ,得GE=BE,
，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△ 和△ 中，
∴△
∴
(2)①补全图形如下：②连接GE，如图，
∵
∴∠
∴∠
∴ ， ，
又
∴△
∴
∴ ，
由（1）知：△ ，
∴∠
∴∠ 即∠ ，
∴∠
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
证明 是解答本题的关键．
类型四、特殊平行四边形综合
4．如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，
连接 .
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，
设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.
【答案】(1)5(2) (3)① ；② 或【分析】
（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得
直线AC的解析式；
（3）①根据S ABC=S AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB
△ △
上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
解：(1) 点 的坐标为 ，
在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
(2)∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，
得 ，
解得 ，
直线AC的解析式为 ，
(3)由 ，令 ， ，则 ，则 ，
①当0
