文档内容
24.4 弧长和扇形面积
【考点归纳】
考点一：弧长公式的计算
考点二：扇形面积公式
考点三：圆锥的计算
考点四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
考点五：求图像旋转后扫过的面积问题
考点六：求弓形面积
考点七：阴影面积的计算
考点八：弧长和 扇形面积综合
【知识梳理】
知识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 .
知识点二．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 .
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 ；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 .
知识点三．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个底面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥
的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长.
知识点四．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长
（底面圆的周长）为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 .【题型探究】
题型一：弧长公式的计算
1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形 中，C为 的中点， ，若 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为 ，圆心角为 ，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为 的等边三角形铁丝框 ，按图2方式变形成以 为圆心， 长为半
径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形 的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型二：扇形面积公式
4．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点 为圆心的扇形，已知雨刮器 的总长为
，其中橡胶部分 的长为 ．若其中一个雨刮器在车窗上从 位置摆动 至 位置，则橡胶部分扫过的
图形面积为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织
开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ， ，纸扇完全
打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸
面的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
6．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2
的扇形环面（由扇形 挖去扇形 ）， ， 的长度是 ， 的长度是 ，则该环形荷花
装饰挂画的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型三：圆锥的计算
7．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为 厘米，底面圆的半径为 厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． 平方厘米 B． 平方厘米
C． 平方厘米 D． 平方厘米
8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形 的半径为 ，圆心角的度数为 ，若将此扇形围
成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径 是5，则该圆
锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
10．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为 ，侧面积为 的圆锥，则
该扇形的圆心角为 为（ ）A． B． C． D．
11．（21-22九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆
锥的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·河北廊坊）已知底面半径是 ，母线长为 ， 为母线 中点，现在有一只蚂蚁从底
边一点 出发．在侧面爬行到 点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
题型五：求图像旋转后扫过的面积问题
13．（23-24九年级上·河北廊坊）如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到
，点 在边 上，则边 在旋转过程中扫过的面积为（ ）A． B． C． D．
14．（22-23九年级上·山东泰安）在 中，已知 ．如图所示，将 绕点
A按逆时针方向旋转 后得到 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（22-23九年级上·湖北恩施）如图， 是等腰直角三角形， ， ，把 绕点A
沿顺时针方向旋转45°后得到 ，则线段 在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型六：求弓形面积
16．（2023·山西临汾·二模）如图， 是 的直径， 是弦， ，在直径 上截取 ，延长
交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
17．（2023·四川广安·二模）如图，已知 内接于 ， 为直径， 的平分线交 于点D，连接 ，
若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图， 是 的直径，弦 与 垂直，垂足为点 ，连接 并延长交
于点 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：阴影面积的计算
19．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心、 为半径作弧，交 于点 ，
连接 、 若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
20．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形 ，以点A为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，再以点
B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E．已知 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·山西晋中·三模）如图， 是 的对角线， ，以点 为圆心， 的长为半径作 ，
交 边于点 ，交 边于点 ，连接 ．若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：弧长和 扇形面积综合22．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，点P是 外一点，连接 、
， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，且 ， 的半径为4，求阴影部分的面积．
23．（2024·河北邢台·模拟预测）如图1， 为 直径，点C为直径 上方圆上一点，连接 、 ，已知
， ，点D是 上的动点，且点C、D分别位于 的两侧．
(1)求 的半径；
(2)当 时，求 的长度；
(3)如图2，当 经过圆心O时，求阴影部分的面积．24．（2024·广东惠州·三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，弦
于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．
(1)填空： °；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建）如图，圆锥的底面半径 为 ，高 为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形 中， ，半径 ， 是 上一点，连接
， 是 上一点，且 ，连接 ．若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，连接 ， 是 的直径， ，若
，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，扇形 中， ，以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于
点C，若 ，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·浙江·模拟预测）如图， 是 的直径， ，将弦 绕点A顺时针旋转 得到 ，此时点D
的对应点E落在 上，延长 ，交 于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
30．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 ， 交于点O，以点A为圆心，
长为半径作弧，交 于点E；以点C为圆心， 长为半径作弧，交 于点F．若 ，则图中阴影部分
的面积是（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·安徽滁州·模拟预测）图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕 ，垂足
为点 ；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点 ， 重合，折痕 与 相交于点 ，连接 ，
， ， ．下列四个结论中错误的是（ ）A．四边形 是菱形 B． 为等边三角形
C． D．
二、填空题
32．（24-25九年级上·浙江）如果一个扇形的圆心角为 ，面积是 ，那么这个扇形的弧长是 ．
33．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧 和 的夹角为 ，
OC长为 ，贴纸部分的 长为 ，则贴纸部分的面积为 （结果保留 ）．
34．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆
心， 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
35．（24-25九年级上·江苏扬州）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段 上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作 交直线 于点M，当点P从
点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是 ．
三、解答题
36．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是 ，半径是 ．
(1)求这个扇形的弧长；
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？
37．（23-24九年级上·安徽·期末）如图． 是以 的边 为直径的外接圆，且 ， 是 上一点，
且在 的下方．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ．求劣弧 的长．
38．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的弦， 是 外一点， ， 交 于点 ，
交 于点 ，且 ．(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
39．（24-25九年级上·全国）如图，在 中， 是 边上一点，以 为圆心， 为半径的圆
与 相交于点 ，点 在 上，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
40．（24-25九年级上·江苏扬州）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 直径，过点
作 交 的延长线于点 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；(2)若 的半径为 ， ，求直径 、弦 与劣弧 所围图形的面积．
41．（24-25九年级上·江苏盐城）
（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ．则图中的 与 ， 与 有什么
关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，延长 交
于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；
②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
