文档内容
24.4 弧长和扇形面积
【考点归纳】
考点一：弧长公式的计算
考点二：扇形面积公式
考点三：圆锥的计算
考点四：求圆周侧面展开后的圆心角
考点五：最短路径问题
考点六：求图形旋转后扫过的面积问题
考点七：求弓形面积
考点八：求弧形运动路径长度
考点九：阴影面积的计算
考点十：弧长和 扇形面积综合
【知识梳理】
知识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 .
知识点二．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 .
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 ；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 .
知识点三．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个底面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥
的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长.
知识点四．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长
（底面圆的周长）为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 .【题型探究】
题型一：弧长公式的计算
【例1】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知圆弧所在的圆的半径为 ，所对的圆心角为 ．则该圆弧的
长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， 为直径，点C，D分别在 两侧，连接
．若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ，以 为直径的
交 于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
题型二：扇形面积公式
【例2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形 为菱形，点 在以点 为圆心的 上，若
， ，则扇形 的面积为（ ）A． B． C． D．
【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点 、 、 、 都在边长为1的网格格点上，以 为
圆心， 为半径画弧，弧 经过格点 ，则扇形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称号．如图1，这是一块
“创建国家卫生城市”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示．若 ，AB的长为45cm，
AD的长为15cm，则扇面（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：圆锥的计算
【例3】．（2024·广东·模拟预测）将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其
中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（ ）
A．2 B．4 C． D．【变式2】．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形
围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角
【例4】．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图， 是圆锥的轴截面图形， 是圆锥的高．若 ，
则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人
也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 ，侧面积为 的圆锥形草帽，则制作工
艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该
圆锥的底面圆周长为 ，侧面积为 ，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）A． B． C． D．
题型五：最短路径问题
【例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长 ，现有一只小虫从圆锥底面
圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线 的中点B，则它所走的最短路程是 ．
【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径 长是 ，母线 长是 ，一
只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到 的中点D，最短路径长是 ．
【变式2】．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长 ， 为母线 的中点，
为圆锥底面圆的直径，两条母线 、 形成的平面夹角 ．在圆锥的曲面上，从点 到点 的最短
路径长是 ．题型六：求图形旋转后扫过的面积问题
【例6】．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形 中， ， ，将矩形 按如图所示
的方式在直线 上进行旋转，则线段 在旋转过程中扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形 的 边与 边分别绕点A、点B逆时针
旋转，得到矩形 ， 若此时 、D、B 恰好共线， ， ，那么边 扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【变式2】．（2023·山东聊城·二模）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知 ，则线段
扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：求弓形面积
【例7】．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形 中，先以点A为圆心， 长为半径画弧，此弧恰好经
过点C，再以点C为圆心， 长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【变式1】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在 上，直径 ，弦 、 相交于
点E．若 ，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图， 是 的直径，弦 与 垂直，垂足为点 ，连接
并延长交 于点 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：求弧形运动路径长度
【例8】．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、 、 都在方格纸的格点上， 绕点A顺时针
方向旋转 后得到 ，则点 运动的路径 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为 ，图②是其底面示
意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点 在地面顺时针旋转，当旋转 时，点 在地面划出的痕迹长为
（ ）A． B． C． D．
【变式2】．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为 的正六边形螺帽，中心为点 ， 垂直平分边 ，垂
足为B， ，用扳手拧动螺帽旋转 ，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
题型九：阴影面积的计算
【例9】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在 中， ，以点 为圆心、
为半径画弧交 ． 于点 ，连接 ，若 ，则图中弧 的长为 ，阴影部分的面积是 ．
【变式1】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知 的内接 为等边三角形， ，点 为 的
中点，则阴影部分的面积为 ．【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形 中， ，
， ，以点A为圆心， 的长为半径画弧交 于点E，连接 ，则阴影部分的面积为
．（结果保留π）
题型十：弧长和 扇形面积综合
【例10】．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图， 内接于 ， ，点 在线段 的延长
线上，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ， 时，求图中阴影部分的面积．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ，O是 上一点，以 为半径的
与 相切，切点为D，连接 ， 与 相交于点E．
(1)求证： 是 的角平分线；
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②设 与 边的另一个交点为E，求线段 、 与劣弧 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号
和π）
【变式2】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图， 是 的直径，C是 上的一点，直线 经过点C，过点A作直线 的垂线，垂足为点D，且 平分 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，
①求 的直径；
②求阴影部分的面积．
【高分达标】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径 的长为 ，母线 的长为 ，则圆锥侧面展
开图的扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为 的 中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，
斗笠的底面半径是 ，母线长 ，则圆锥的侧面积为（ ）A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为 ，圆心角为 的扇形纸
板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（ ）
．
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面
积是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，等边三角形 的边长为8，以 边为直径作半圆，分别与 ， 相
交于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径 ，圆心角
，则此圆锥的高 （ ）A． B． C． D．
8．（2024·浙江杭州·一模）如图，在 中， ， ， ，点A，B在直线l上．将
沿直线l向右作无滑动翻滚，则 翻滚一周时点A经过的路线长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·辽宁沈阳·二模）如图， 是 的外接圆， ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点A逆时
针旋转 后得到 ，则线段 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．A． B． C． D．
二、填空题
11．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为 ，经过 ，分针在钟面上扫过的面积是
．
12．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约 ）的自行车，现要
在自行车两轮的阴影部分（分别以 ， 为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形 中
， ，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 ．
13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图， 是半圆 的直径，切线 与弦 的延长线交于点 ，
，当 时， 的长为 ．
14．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角 ；若
， ，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用 表示）
15．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼
墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为 时，折扇的外观看上去是比较美观的，
若此扇形的半径 ，则折扇所在扇形的 长为 （结果保留 ）三、解答题
16．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图， 与 相切于点 ， ， 分别交 于点 ， ，
．
(1)当 时，求 的长；
(2)在（1）的条件下， ，求阴影部分的面积 ．
17．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ，
．将 绕原点O顺时针旋转 得到 ，点A，B，C对应点分别为 ， ， ．
(1)画出旋转后的 ；
(2)记线段 与线段BC的交点为G，则 ______°；
(3)点C经过的路径长为______．
18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在 中，已知弦 ， 相交于点E，连接 ， ．(1)求证： ．
(2)若 ， 的半径为4，求 的长．
19．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图， 为 的直径，点C在 上，延长 到D，连接 并延长，
与 交于点E，连接 ，恰好使得 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，弧 的长为 ，求弧 与 所围成部分的面积．
20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以 为直径的半圆上的两点， ，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求阴影部分的面积．21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， 且交 的
延长线于点 ， 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
22．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中， ， 与 切于点 ，与 、 分别交于点
、 ，与 的延长线交于点 ，连接 、 ，延长 交 于点 ，已知 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)23．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在 中， ，点 在圆 上， 交圆 于点 ，
与圆 交于点 ， ， 交 于点 ， 为 的直径， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求 的度数；
(3)若 ，求图中阴影部分的面积．
