文档内容
24.4 弧长和扇形面积
【考点归纳】
考点一：弧长公式的计算
考点二：扇形面积公式
考点三：圆锥的计算
考点四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
考点五：求图像旋转后扫过的面积问题
考点六：求弓形面积
考点七：阴影面积的计算
考点八：弧长和 扇形面积综合
【知识梳理】
知识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 .
知识点二．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 .
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 ；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 .
知识点三．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个底面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥
的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长.
知识点四．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长
（底面圆的周长）为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 .【题型探究】
题型一：弧长公式的计算
1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形 中，C为 的中点， ，若 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，判定 是等边三角形，推出 ，由圆心角、弧、弦的关系得到
，由弧长公式即可求出；本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，弧长的计算，关键
是判定 是等边三角形，掌握弧长公式．
【详解】解：连接
∵ ，
∴ 是等边三角形
∴
∵C为 的中点，
∴∴
∴ 的长
故选：B．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为 ，圆心角为 ，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计
算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式．
【详解】解：设扇形的半径为 ，
由题意： ，
解得 ，
∴扇形的弧长 ，
故选：C．
3．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为 的等边三角形铁丝框 ，按图2方式变形成以 为圆心， 长为半
径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形 的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C【分析】根据题意 的长就是边 的长，由弧长公式 求得扇形 的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式
即可求解．
【详解】解：设 ，
，
，
解得： ，
圆心角的度数为：
扇形 的面积是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
题型二：扇形面积公式
4．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点 为圆心的扇形，已知雨刮器 的总长为
，其中橡胶部分 的长为 ．若其中一个雨刮器在车窗上从 位置摆动 至 位置，则橡胶部分扫过的
图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据 、 求出 ，结合扇形的面积公式，根据橡胶部分扫过的图形面积 计算即可．
【详解】解： ， ，
，
，
橡胶部分扫过的图形面积
．
故选：D．
5．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织
开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ， ，纸扇完全
打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸
面的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计
算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，，
，
所以山水画所在纸面的面积为： ．
故选：C．
6．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2
的扇形环面（由扇形 挖去扇形 ）， ， 的长度是 ， 的长度是 ，则该环形荷花
装饰挂画的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是：
，
故选：B
题型三：圆锥的计算
7．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为 厘
米，底面圆的半径为 厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． 平方厘米 B． 平方厘米
C． 平方厘米 D． 平方厘米
【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌
握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为 厘米，
∴圆锥的侧面积为 平方厘米，
故选： ．
8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形 的半径为 ，圆心角的度数为 ，若将此扇形围
成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
即围成的圆锥的底面圆的半径为 ．
故选：B．9．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径 是5，则该圆
锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等
是解题关键，设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出 ，
再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，且扇形的半径 是5，
扇形的弧长为 ，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为 ，
圆锥的体积为 ，
故选：D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
10．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为 ，侧面积为 的圆锥，则该扇形的圆心角为 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式 ，得出 ，进而根
据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为 ，
∵
∴
∴
解得：
故选：C．
11．（21-22九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆
锥的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．
【详解】∵圆锥的底面周长为2
π
∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为 ，如图
∴∠BAD=90゜
∵D为AC的中点
∴
在Rt△BAD中，由勾股定理得
即最短路线长为
故选：A
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要
的数学思想方法．
12．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知底面半径是 ，母线长为 ， 为母线 中点，现在有一只
蚂蚁从底边一点 出发．在侧面爬行到 点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的 的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵底面半径是 ，母线长为 ，
∴ ，
∴侧面扇形圆心角为： ，
∴ ，
∵ 为母线 中点，
∴ ，
由两点间线段距离最短得，
，
故选：B．
题型五：求图像旋转后扫过的面积问题
13．（23-24九年级上·河北廊坊）如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到
，点 在边 上，则边 在旋转过程中扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出 ，进而得出 ，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，∴ ，
∴边 在旋转过程中扫过的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是
解题的关键．
14．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在 中，已知 ．如图所示，将
绕点A按逆时针方向旋转 后得到 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解直角三角形得到 ， ，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解： ， ， ，
， ，
图中阴影部分面积
，
故选：B．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的
关键．
15．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 是等腰直角三角形， ， ，把
绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到 ，则线段 在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面
积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到 ， ，再根据旋转的性质得
，则点 、C、A共线，利用线段 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
进行计算即可．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点A按顺时针方向旋转45°后得到 ，
∴ ，
∴点B′、C、A共线，∴线段 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查
了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
题型六：求弓形面积
16．（2023·山西临汾·二模）如图， 是 的直径， 是弦， ，在直径 上截取 ，延长
交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，过点O作 于点F，求出 ，由圆周角定理得
，得 ，由三角形外角的性质得 ，由垂径定理得 ，根据勾
股定理得 ，根据 求解即可．【详解】解：如图，连接 ，过点O作 于点F，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ ，∴∠ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径
和圆心角是解答本题的关键．
17．（2023·四川广安·二模）如图，已知 内接于 ， 为直径， 的平分线交 于点D，连接 ，
若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，求得 ，得到 ，因为 ，根据
，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方
法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图， 是 的直径，弦 与 垂直，垂足为点 ，连接 并延长交
于点 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，首先证明 是等边三角形，证明 ，求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊
三角形解决问题．
题型七：阴影面积的计算
19．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心、 为半径作弧，交 于点 ，连接 、 若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得
和扇形 的面积是解题的关键．
如图：连接 ，根据菱形的性质求出 和 ，求出 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解
即可．
【详解】解：如图：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，E为 的中点，
∴ ， 是等边三角形， ，
∵ ，
∴ ，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ．
故选：A．
20．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形 ，以点A为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，再以点
B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E．已知 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三
角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
利用割补法将阴影部分分成三部分，即 ，然后分别求每部分的面积即
可．
【详解】解：由题意可知， 与扇形 只有一个交点，则 与扇形 相切，设这个切点为G，
连接 ， ，则 ．
过点E作 ，交 于点H．四边形 是矩形，
， ．
由题意可得， ，
在 中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
即扇形 的圆心角为 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
即扇形 的圆心角为 ．，
，
，
故选：A．
21．（2024·山西晋中·三模）如图， 是 的对角线， ，以点 为圆心， 的长为半径作 ，
交 边于点 ，交 边于点 ，连接 ．若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法是解题
的关键．连接 ，根据平行四边形的性质得到 是等边三角形，求得 ，根据已知条
件得到四边形 是平行四边形，求得 ，根据三角形和扇形的面积公式即可求解．
【详解】如图，连接 ．， ．
是等边三角形．
，
，
，
．
．
．
四边形 是平行四边形，故选：C
题型八：弧长和 扇形面积综合
22．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，点P是 外一点，连接 、
， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，且 ， 的半径为4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)阴影部分的面积为
【分析】对于（1），先连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得 ，可得 ，再根
据“等边对等角”得 ，然后结合已知条件得 ，即可得出结论；
对于（2），先求出 ，可得 ，再根据平行线的性质得 ，即可说明 是正三
角形，然后结合 可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径， 是 的弦，∴ ，
即 .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的切线，点B为切点，
∴ .
在 中，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴
，
答：阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，含 直角三角形的性质，
求扇形的面积，等边三角形的判定，将弓形的面积转化为求扇形和三角形的面积差是解题的关键．
23．（2024·河北邢台·模拟预测）如图1， 为 直径，点C为直径 上方圆上一点，连接 、 ，已知
， ，点D是 上的动点，且点C、D分别位于 的两侧．
(1)求 的半径；
(2)当 时，求 的长度；
(3)如图2，当 经过圆心O时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)4；
(2) ；(3) ．
【分析】本题考查30°的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，不规则图形的面积；
（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到 ，然后利用30°的直角三角形的性质解题即可；
（2）连接 ， ，则 是等边三角形，然后得到 ， ，进而利用勾股定理解题即可；
（3）先根据勾股定理求出 长，然后利用 解题即可．
【详解】（1）∵AB是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的半径为4．
（2）连接 ， ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
24．（2024·广东惠州·三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，弦
于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．
(1)填空： °；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)30
(2) 与 相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ，
根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理得到 ，连接 ，根据三角形中位
线定理得到 ， ，求得 ，得到 ，根据三角形和扇形的面积
公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 弦 于 ， 是 的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解： 与 相切，
理由如下：
连接 ，如图所示：
弦 于 ， 是 的直径，
， ，，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（3）解： 是 的直径，
，
， ，
，
，
连接 ，如图所示：
点 是 的中点，
，
，是 的中位线，
， ，
，
，
，
图中阴影部分的面积 的面积 扇形 的面积 的面积
．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全
等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建）如图，圆锥的底面半径 为 ，高 为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合
圆锥的底面周长 等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，
即可．【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为 ，
∵圆锥的底面周长为 ，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为 ，
∴圆锥的侧面积为： ．
故选：C．
26．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形 中， ，半径 ， 是 上一点，连接
， 是 上一点，且 ，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接 ，根据垂直平分线的性质得 ，可得 是等边三角形，求出 ，再根据弧长公式计算
即可．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
的长为 ，
故选：B．
27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，连接 ， 是 的直径， ，若
，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式的计算．连接 ，先求得 ，再利用弧长公式计算即可求
解．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴劣弧 的长为 ，
故选：A．
28．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，扇形 中， ，以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于
点C，若 ，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到 是等边三角形，因此 ， ，由 ，得到
，由弧长公式求出 的长， 的长，即可求出阴影的周长．本题考查弧长的计算，等
边三角形的判定和性质，关键是由题意得到 是等边三角形；掌握弧长公式．
【详解】解：由题意得到： ，
，
∴ 是等边三角形，， ，
，
，
的长 ， 的长 ，
阴影的周长 的长 的长 ．
故选：B
29．（2024·浙江·模拟预测）如图， 是 的直径， ，将弦 绕点A顺时针旋转 得到 ，此时点D
的对应点E落在 上，延长 ，交 于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径 ，过点
F作 于H，连接 ， ，推出 ， ，由圆周角定理证得 ，即可求得 ，则 ，进而求得 ，解直角三角形求得 ，
根据扇形面积减去三角形面积计算即可．
【详解】解：如图，过点D作直径 ，过点F作 于H，连接 ， ，
由旋转知： ， ，
， ，
是 的直径，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
．
故选：D．
30．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 ， 交于点O，以点A为圆心，长为半径作弧，交 于点E；以点C为圆心， 长为半径作弧，交 于点F．若 ，则图中阴影部分
的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱
形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键．
证明 、 是等边三角形， ，可得 ， ，结合结合作图
可得：点E是 的中点，点F是 的中点，可得 ， ，再利
用面积差求解阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ 、 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴结合作图可得：点E是 的中点，点F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
故选D
31．（2024·安徽滁州·模拟预测）图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕 ，垂足
为点 ；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点 ， 重合，折痕 与 相交于点 ，连接 ，
， ， ．下列四个结论中错误的是（ ）
A．四边形 是菱形 B． 为等边三角形
C． D．
【答案】D
【分析】由翻折性质以及垂径定理证明菱形即可判断A；由等边对等角作出判断即可；先判断 为等边三角
形，再根据勾股定理即可得出结论；利用扇形面积公式求出结果即可．
【详解】解：由折叠的性质可知 ， ，
．
由垂径定理知 垂直平分 ，
， 互相垂直平分，
四边形 是菱形，故选项A正确，不符合题意；
，，
．
，
，
， ．
同理可得 ，
，
是等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
，
， ，
．
， ，
是等边三角形，
，
，
，故选项C正确，不符合题意；
设圆的半径为 ，则 ，
，，故选项D错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四
边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
二、填空题
32．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个扇形的圆心角为 ，面积是 ，那么这个扇形的弧长是
．
【答案】
【分析】设扇形所在圆的半径为 ，根据题意，得 ，解得 （舍去），根据弧长公式，得
．
本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键．
【详解】解：设扇形所在圆的半径为 ，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
根据弧长公式，得 ．
故答案为： ．
33．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧 和 的夹角为 ，OC长为 ，贴纸部分的 长为 ，则贴纸部分的面积为 （结果保留 ）．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积计算，分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．
【详解】解：依题意，贴纸的面积为
故答案为： ．
34．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆
心， 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面
积，属于中考常考题型．
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，找出 即可求出答案．
【详解】解：连接 ，过点 作 ，垂足为 ，如图所示，， ， ，
， ， ，
以点 为圆心， 的长为半径作弧，
，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
， ，
，故答案为： ．
35．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上从点B
出发向点C运动，同时点Q在线段 上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作 交直线 于点
M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意确定点A、点G、点I和点H四点共圆，利用矩形的性质和三角形面积公式求得 ，则
， ， ，即有 、 、 和 为等边三角形，进一步求得
，点M的轨迹是以 得内心O为圆心 为半径的圆弧，进一步求得 ， ，且
，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，
当点P在起点B处时，点M位于初始位置时为点I，当点P与点Q运动至中点时，点M即为点H是 的中点，当
点P运动到点C时，点M和点A重合，过点M作 交 于点G，连接 ，取其中点O，连接 和 ，则 ，
∴点A、点G、点I和点H四点共圆，
∵四边形 矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∵
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，同理可证， 为等边三角形，
则 ，
∴ 为等边三角形，
∵点H和点G为中点，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查四点共圆、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质
以及弧长公式，解题的关键是找到点的轨迹和求得其圆心以及半径长．
三、解答题
36．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是 ，半径是 ．
(1)求这个扇形的弧长；
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键．
（1）根据弧长公式计算即可；
（2）设这个圆锥的半径是 ，根据题意列方程，求出 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： 扇形的圆心角是 ，半径是 ，这个扇形的弧长为 ；
（2）解：设这个圆锥的半径是 ，
则 ，
解得： ，
这个圆锥的高是 ．
37．（23-24九年级上·安徽·期末）如图． 是以 的边 为直径的外接圆，且 ， 是 上一点，
且在 的下方．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ．求劣弧 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据 是 的直径可知 ，根据 可求出 ，进而得出 是等腰直
角三角形，于是得到 ，最后根据同弧所对圆周角相等即可求解 ；
（2）连接 ， ，根据 是等腰直角三角形得到 是等腰直角三角形，进而得到 ，
根据 ， 得到 的度数，进而根据圆周角定理得到 的度数，最后根据弧长计算公
式即可求解．【详解】（1）解： 是 的直径，
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）解：如图，连接 ， ．
由（1）知， ，
是等腰直角三角形（底边上三线合一），
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，同弧所对圆周角相等，掌握相关定义
以及定理是解题的关键．
38．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的弦， 是 外一点， ， 交 于点 ，
交 于点 ，且 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得 ，根据垂直的定义得 ，即 ，则 与 相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，求得
，根据勾股定理得到 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 与 相切，
理由：连接 ，
，，
，
，
，
，
在 中， ，
，
即： ，
，
又 是半径，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
图中阴影部分的面积 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的
计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
39．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 是 边上一点，以 为圆心， 为
半径的圆与 相交于点 ，点 在 上，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由等边对等角得到 ， ，再由三角形内角和定理得到 ，
，则由平角的定义可得 ，据此可证明 是 的切线；
（2）先证明 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，得到 ，则
，证明四边形 为矩形，得到 ，则 ，据此根据弧长公式
求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ,，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
又 是 的半径，
是 的切线：
（2）解：如图，连接 ．
为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，
，四边形 为矩形，
，
，
的长为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判
定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。
40．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 直
径，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 的半径为 ， ，求直径 、弦 与劣弧 所围图形的面积．
【答案】(1) 是 的切线，理由见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接 ，并延长 交 于点 ，先证明 ，得 ，进而根据切线的
判定即可得解；
（2）连接 ，由 ，得 ，进而得 ， ，，再利用面积公式即可得解．
【详解】（1）解： 是 的切线，理由如下：
连接 ，并延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴直径 、弦 与劣弧 所围图形的面积
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推理，直角三角形的两锐角互余，不规则图形
的面积，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
41．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，切点分别为 ，
．则图中的 与 ， 与 有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，延长 交
于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；
②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是 ，图中阴影部分的面积是
【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性
质，圆中的相关面积计算等．
（1）连接 和 ，根据切线的性质，可得 ，即可得出结论；
（2）①根据题意求证 ，即可得出 ，即可得出答案；②根据 ，求
出 的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图 ，连接 和 ，
和 是 的两条切线，
， ．
又 ， ．
，
， ．
（2）①证明： 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，
、 分别平分 、 ．
又 ．
．．
又 ，
，
又 经过半径 的外端点 ，
是 的切线．
②解：连接 ，则 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
，
即⊙O的半径为 ．
∴
综上所述： 的半径是 ，图中阴影部分的面积是 ．
