文档内容
24.3 正多边形和圆
【知识与技能】
了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角
等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直
尺来作圆内接正多边形.
【过程与方法】
结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用
圆的有关知识，解决正多边形的问题.
【情感态度】
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生
活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.
【教学重点】
正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.
【教学难点】
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.
一、情境导入，初步认识
观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形
得到的物体.
（1）你能从图案中找出多边形吗？
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？
【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让
学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极
探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.
二、思考探究，获取新知
1.正多边形和圆的关系
问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一
定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.
教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.
已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形
成五边形.
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.
答案：五边形ABCDE是正五边形.
证明：在⊙O 中，∵ ，∴AB=BC=CD=DE=EA，
，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是
正五边形.
【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边
都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.
问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定
是正n边形吗？
答案：这个n边形一定是正n边形.
【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边
形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这
符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.
问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形
是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形
的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.
【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边
形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同
时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.
2.正多边形的有关概念
综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.
正n边形：中心角为：
360°n；内角的度数为：180°（n-2）n
3.正多边形和圆有关的计算问题
例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地
基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.
解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°/6=60°.
∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，
∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.
过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.
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例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计
算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形
来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方
法来解决问题，加深对有关概念的理解.
4.画正多边形
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：
（1）用量角器等分圆周.
方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心
角可以等分圆.
方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是
圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.
【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.
（2）用尺规等分圆
正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从
而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边
数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆
心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为
⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.
方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半
径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.
【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限
性，它不能将圆任意等分.
三、运用新知，深化理解
1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的
度数为_______.
2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.
3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三
角形的内切圆的半径之比.
4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形
ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.
（1）求图1中的∠MON的度数；
（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）
【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教
师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.
【答案】1.72°4. 解 ： （ 1 ） 连 接 OB 、 OC.∵ 正 三 角 形 ABC 内 接 于 ⊙ O ，
∴ ∠ OBM=∠ OCN=30° ， ∠ BOC=120°. 又 ∵ BM=CN ， OB=OC ，
∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与
（1）相同)
(3)∠MON=360°/n.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形
的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充
和点评.
1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形
与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，
符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问
题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分
圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.
2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方
形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限
是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋
势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
