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专题1.28 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的
条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直
2．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．24
3．如图，菱形 中， ， ， 于点 ，则 （ ）
A．24 B．10 C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交
于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：
① ；②∠EAN＝45°；③ ；④点M为AF的中点．其中结论正确
的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝2AB＝8，点P是BC
上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若m＝PE＋PF，则m的值为（ ）．A． B． C． D．
6．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列
三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
7．如图，菱形 的对角线 相交于点O，点P为 边上一动点（不与点
A，B重合）， 于点E， 于点F．若 ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，
过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC与点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG，
②DE⊥FG，③∠BFG=∠ADE，④FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，则顶点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形 ， 都是正方形，点E，G分别在边 ， 上，连接
，过点E作 交 于点H．若 ， ，则 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．
12．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系 中，边长为6的正
方形 的边 在 轴上， 的中点是坐标原点 ，固定点 ，把正方形沿箭头方
向推，使点 落在 轴正半轴上点 处，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别
交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD， 轴，则菱形ABCD的周长是______．
14．如图，在菱形 中， ， 分别在 ， 上，且 ， 与
交于点 ，连接 ．若 ，则 的大小为 _____度．15．如图，菱形ABCD中，对角线 ， ，M，N分别是BC，CD上的动点，
P是线段BD上的一个动点，则 的最小值是______．
16．如图，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，在AC上取一点F，将△ABC沿过
E、F的直线折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：①EF是△ABC的中位线；
②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC，则四边形AEDF是菱形；④若
∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的是_________．
17．如图a，ABCD是长方形纸带 ， ，将纸带沿EF折叠成图
b，再沿BF折叠成图c，则图c中的 的度数是__________．
18．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在
∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为
_____．
19．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件
_____，能使四边形EFGH是矩形．
20．如图，矩形 中， ，点 是 的中点，将 沿 折叠
后得到 ，延长 交 于点 ，则 的长为________.
21．如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将 沿
对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有_________（填序号）．22．如图，直线 经过正方形 的顶点 ，分别过点 、 作 于点 ，
于点 ，若 ， ，则 的长为________．
23．如图，在四边形 中， ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ，
的中点，若 ， ，则四边形 的面积是______．
24．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕着点A逆时针旋
转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，
，则CH＝___．三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点 的坐
标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接
.
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，
设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.
26．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向点 运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 运动到 点时，两点都停止．连接 、 、 ，
设点 、 运动的时间为 秒．
(1)若 、 的速度都为每秒1个单位．当 ________时，四边形 为菱形；
(2)若 的速度为每秒3个单位， 的速度为每秒1个单位．
①当 ________时，四边形 是矩形；
②当 为何值时，线段 长为12，请说明理由．
27．综合与实践
如图1，正方形 的对角线 与 交于点 ， ，两边分别与 ，
交于点 ， ．
(1) 与 的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，点 是正方形对角线 上一点， ， 经过点 ， 交
于点 ，连接 ．猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，连接 ，点 是 的中点，分别连接 ， ．判
断 的形状，并说明理由．28．阅读下列材料并完成相应的任务
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、
“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角
形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可
以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
如图，矩形 的边 上有一动点 ，以 为边作 ，且边 过矩形的顶
点 ，在点 从点 移动到点 的过程中， 的面积如何变化？
小亮的观点：过点 作 于点 ，连接 ． 与 的乘积始终等于
，所以 的面积不变．
小明的观点：在点 的运动过程中， 的长度在变化，而 与 两条平行线间的
距离不变，所以 的面积变化．
任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程．参考答案
1．D
【分析】
根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得．
解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则
此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，
则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定
是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项
符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判
定是解题关键．
2．C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形
的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
解：如下图所示，根据题意得AO＝ ×8＝4，BO＝ ×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴ ，
∴菱形的周长为：5×4＝20，
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出菱形的
边长，同时也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相
垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．D
【分析】
利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解 再利用勾股定理可得
答案．
解：如图，AC，BD交于点O，
菱形 ， ， ，
由 可得：故选D
【点拨】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相
垂直平分是解本题的关键．
4．D
【分析】
根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明△DAE≌△DCF，故可判断②；
连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，证明△AMH≌△FMC，故可判断③④．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E点是BC中点，
∴AE⊥BC，AB=2BE，
∴AE2=AB2-BE2=AB2-（ AB）2= AB2，
∵DE= ，
故①错误；
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，AD BC，∠BAE=∠CAE=30°，
设BE=CE=a，则AB=BC=AC=2a，
∴AE= ，
∵△DEF、△ACD是等边三角形，
∴AD=CD，ED=FE，∠ADC=∠EDF=60°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
∴∠ADE-∠CDF，
又AD=CD，ED=FD，∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴AE=CF，∠DAE=∠DCF=∠DAC+∠CAE=60°+30°=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=150°，
∵AC≠AE，AE=CF，
∴AC≠CF，
∴∠CAF≠∠CFA=15°，
∴∠EAN=∠EAC+∠CAF≠45°，
故②错误；
连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，
∵AH⊥CD，AC=AD，
∴∠AHM=∠FCM=90°，CH=DH=a，AH=AE，
∵CF=AE，AH=AE，
∴AH=FC，
又∠AMH=∠FMC，
∴△AMH≌△FMC（AAS），
∴AM=FM，CM=HM，
∴点M为AF的中点，
故④正确；
∵AE= ，CM= = ，
∴ ，
故③正确；
故选：D．
【点拨】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是
熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理．
5．D【分析】
连接PO，由矩形的性质和勾股定理得求得OB=OC= ，再由
求得PE+PF的值即可．
解：如图，连接PO，
∵BC=2AB=8，
∴AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°， =AB·BC=4×8=32，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD= = = ， ，OB=0C= AC=
，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴ ，
∴PB+PF= = ，
即m= ，
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
6．D
【分析】
根据三角形中位线定理得到 ，EH= BD，EF= AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ ，EH= BD， EF= AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩
形的判定定理是解题的关键．
7．D
【分析】
连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到： ，当 时，OP的值最小，
利用 ，求出OP的最小值即可，
解：连接OP，
∵ 是菱形，∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴四边形OEPF是矩形，
∴ ，
当 时，OP的值最小，∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，即EF的最小值为： ，
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关
键是证明 ，当 时，OP的值最小，利用等面积法求出OP的长．
8．C
【分析】
先证明四边形OCED为平行四边形，再利用菱形的性质证明 求解
再证明平行四边形OCED为矩形，再利用矩形的性质可得答案．
解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
【点拨】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上
知识是解题的关键．
9．C
【分析】
连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．根据正方形的性质，全等三角形
的判定定理和性质确定BE=DE，根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，等量代换思
想即可判断①符合题意；根据矩形的性质，等边对等角，全等三角形的性质和等价代换思想即可判断③符合题意；根据直角三角形两个锐角互余，等量代换思想和三角形内角和定
理即可判断②符合题意；根据垂线段最短确定当DE⊥AC时，FG取得最小值为DE，根据
正方形的性质和三角形面积公式即可判断④不符合题意．
解：如下图所示，连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，∠FBG=90°．
∵AE是△ABE和△ADE的公共边，
∴ ．
∴BE=DE．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴四边形FBGE是矩形．
∴BE=FG．
∴DE=FG．
故①符合题意．
∵矩形FBGE的对角线相交于点H，
∴HF=HB．
∴∠ABE=∠BFG．
∵ ，
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠BFG=∠ADE．
故③符合题意．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAI=90°．
∴∠AID+∠ADE=90°．
∴∠AID+∠BFG=90°．
∴∠FJI=180°-（∠AID+∠BFG）=90°．∴DE⊥FG．
故②符合题意．
∵DE=FG，
∴当DE取得最小值时，FG取得最小值．
∵点E是对角线AC上与A，C不重合的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE取得最小值，即FG取得最小值为DE．
∵正方形ABCD中，AB=4，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°．
∴ ， ．
∴ ．
∴FG的最小值为 ．
故④不符合题意．
故①②③，共3个符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形的判定定理和
性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理，垂线段最短，综合应
用这些知识点是解题关键．
10．C
【分析】
过点 作 轴的垂线交于 ，证明 ，得 ，
根据 ，得出 ，即可求解．
解：过点 作 轴的垂线交于 ，
正方形 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、图形于坐标，解
题的关键是掌握正方形的性质．
11．D
【分析】
求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平
行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，
AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．
解：∵AB=4，AE=1，
∴BE=AB-AE=4-1=3，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AD∥EF∥BC，
又∵EH∥FC，
∴四边形EFCH平行四边形，
∴FC=EH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，
∴AB-AE=BC-CH，
∴BE=BH=3．
由勾股定理得： ,∴
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边
形EFCH平行四边形是解题的关键，也是本题的难点．
12．C
【分析】
由已知条件得到AD′=AD=6，AO= AB=3，根据勾股定理得到
，于是得到结论．
解：∵AD′=AD=6，且 的中点是坐标原点 ，
∴AO= AB=3，
∴ ，
∵C′D′=6，C′D′∥AB，
∴C′ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形
是解题的关键．
13．20
【分析】
先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式
计算出线段AB的长，最后利用菱形的性质计算周长即可．
解：令 ，得 ，解得 ，∴ ，OA=3．
令 ，得 ，∴ ，OB=4 ．
在 中， ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．∴ ．
故答案为：20．
【点拨】本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的
求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注
意公式的正确使用：设点 ， ，则A、B两点间的距离为
．
14．
【分析】
根据菱形的性质以及 ，利用 可得 ，可得 ，然后
可得 ，继而可求得 的度数．
解：∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．灵活运用菱形的性质是解题的关键．
15． ##4.8
【分析】
作点M关于直线BD的对称点 ，连接 ，P，连接 ， ，根据垂线段最短原理，
当 时， 的值最小，根据菱形的性质表示菱形的面积，然后计算求解即
可．
解：如图，作点M关于直线BD的对称点 ，连接 ，P，连接 ，
则 = ，
根据垂线段最短原理，当 时， 的值最小，
∵菱形ABCD中，对角线 ， ，对角线的交点为O，
∴OA=3，OB=4，AO⊥OB，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称，垂线段最短原理，熟练掌握菱
形的性质，轴对称的性质，垂线段最短原理是解题的关键．
16．①②③
【分析】
由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F分别是AB、AC的中点，从而可判定①正确；
由中位线定理即可判定②正确；由AB=AC及E、F分别为中点可得AE=AF，由折叠的
性质即可判定③正确；当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误．
解：由折叠性质得：AE=DE，AF=DF，且EF⊥AD
∴∠EAD=∠EDA
∵AD⊥BC
∴∠EDA+∠EDB=90゜，∠EAD+∠B=90゜
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴DE=AE
即点E是AB的中点
同理：点F是AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
故①正确
∵EF是△ABC的中位线
∴
∵ ，
∴△AEF的周长为
而△ABC的周长为AB+BC+AC
∴△AEF的周长等于△ABC周长的一半
故②正确v
∵AB=AC，E、F分别是AB、AC的中点
∴AE=AF
∵AE=DE，AF=DF
∴AE=DE=DF=AF
即四边形AEDF是菱形
故③正确
当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形
AEDF不是平行四边形，故不是矩形
故④错误
故答案为：①②③
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F分别是中点是解题的关键．
17．120°##120度
【分析】
由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝20°，进而得到图b中∠GFC＝140°，依据图c中
的∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG进行计算．
解：∵ ，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°．
故答案为：120°．
【点拨】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对
称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
18．15
【分析】
由作图过程可得AH平分∠DAC，过点H作HQ⊥AC于点Q，根据角平分线的性质可
得DH＝QH，然后证明Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），可得AD＝AQ＝6，所以CQ＝AC﹣AQ
＝10﹣6＝4，再根据勾股定理可得HQ，进而可以解决问题．
解：由作图过程可知：AH平分∠DAC，
如图，过点H作HQ⊥AC于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴DH＝QH，
∵AD＝6，DC＝AB＝8，
∴AC 10，
∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ，在Rt△ADH和Rt△AQH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），
∴AD＝AQ＝6，
∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，
在Rt△CHQ中，根据勾股定理得：
CH2＝CQ2+HQ2，
∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2，
解得HQ＝3，
∴△AHC的面积 AC•HQ 10×3＝15，
故答案为：15．
【点拨】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判
定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键．
19．AC⊥BD
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边， 根据平行线的性质可得：
∠EHG=∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFGH
是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
解：如图，
∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
同理：∴四边形EFGH是平行四边形，
当∠EHG=90°， 四边形EFGH是矩形，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
【点拨】本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌
握定理和性质是解题的关键．
20． ##
【分析】
连接EF，根据已知条件，利用“HL”证明 ，得出DF=GF，设
，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
解：连接EF，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ， ， ，
是 的中点，
,
沿 折叠后得到 ，
， ， ，
， ，
∵在 和 中 ，
，
，设 ，则 ， ，
在 中， ，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，作出
辅助线，构造全等三角形，证明DF=GF，是解题的关键．
21．①②③④
【分析】
根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明
Rt ABG≌Rt AFG，即可判断①正确；根据 ，进而可得
△ △
，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝
135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt EGC
中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得 ，即可判断△③正确；
根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据
∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判
断④正确
解： ∵四边形 是正方形，
∴ ，AB＝BC＝CD=AD＝6，
∵ ，
∴DE＝2，
∴CE＝4，
∵将 ADE沿AE对折至 AFE，
∴∠A△FE＝∠ADE＝90°，△AF＝AD，EF＝DE＝2，
∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，
在Rt ABG和Rt AFG中，
△ △
，∴Rt ABG≌Rt AFG（HL），
∴①△正确； △
∵将 ADE沿AE对折至 AFE，
∴ △ ， △
∵Rt ABG≌Rt AFG，
∴ △ △ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，
∴∠AGB+∠AED＝135°，
∴②正确；
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵ CE＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝3，
∴BG＝GF＝3，
∴③正确；
∵BG=FG=3,
∴CG=BC-BG=6-3=3，
∴CG=FG，
∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，
∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，
∴∠AGF=∠GFC，
∴AG∥CF
∴④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，
三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．9
【分析】利用同角的余角相等，证得 ，根据垂直定义，得 ，
结合已知，证得 ，进而证得 ， ，据此可求出
，问题得解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴ ，
∴
故答案为：9
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等
三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键．
23．12
【分析】
根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形 为矩形，根据矩形的面积
公式计算，得到答案．
解：∵点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ， ，
，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
，∴ ，
∴平行四边形 为矩形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了中点四边形，解题的关键是掌握三角形中位线定理、矩形的判定
定理．
24．
【分析】
由“HL”可证 ，可得 ，由“AAS”可证 ，
可得 ，可得 ，再由勾股定理可求AP、FN、DH，即可求解．
解：
如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FP⊥AD于点P，
将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
FN⊥CD，FP⊥AD， ，
四边形PDNF是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、矩形的判定与性质，全等三角形的
判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
25．(1)5(2) (3)① ；② 或
【分析】
（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得
直线AC的解析式；
（3）①根据S ABC=S AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB
△ △
上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
(1)解： 点 的坐标为 ，在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
(2)∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，
得 ，
解得 ，
直线AC的解析式为 ，
(3)由 ，令 ， ，则 ，则 ，
①当0
