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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.7平方差公式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•绿园区期末） 的计算结果是
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解析】
，
故选： ．
2．（2021秋•洛江区期中）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可判断．
【解析】 ． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项符合题意．故选： ．
3．（2021春•城固县期末）下列各式中能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式 对各选项分别进行判断．
【解析】选项 ，能用完全平方公式计算，故此选项不符合
题意；
选项 ，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
选项 ，能用平方差公式计算，符合题意；
选项 ，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
故选： ．
4．（2021春•威宁县期末）若 ，且 ，则 等于
A．7 B．6 C．5 D．8
【分析】平方差公式指两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，如 ，
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方．据此解答．
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
5．（2020•荆门模拟）选择计算 的最佳方法是
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【分析】根据平方差公式化简即可．【解析】 ，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，
所以计算 的最佳方法是运用平方差公式．
故选： ．
6．（2021春•阳谷县期末）计算 的结果是
A．2 B． C． D．1
【分析】利用平方差公式计算即可．
【解析】
．
故选： ．
7．（2021春•宝安区期中）如图，阴影部分是边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后所得
到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，根据这两个图形的面积关系，下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【分析】由拼接前后的面积相等得出等式，再判断即可．
【解析】拼接前阴影部分的面积为 ，拼接后阴影部分的面积为 ，因此 ，
故选： ．
8．（2020春•鼓楼区期中）分别表示出如图阴影部分的面积，可以验证公式
A． B．
C． D．
【分析】分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论．
【解析】左图中，阴影部分的面积为： ，
右图阴影部分的面积为： ，
因此有： ，
故选： ．
9．（2020春•三水区期末）为了应用平方差公式计算 ，必须先适当变形，下列变形中，
正确的是
A． B．
C． D．
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可
判定选择项．
【解析】 ．
故选： ．10．（2020•红花岗区二模）如图（1），边长为 的正方形剪去边长为 的正方形得到①、②两部分，再
把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论
A． B．
C． D．
【分析】分别表示图（1）和图（2）的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论．
【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为： ，
图（2）中，①、②两部分拼成长为 ，宽为 的矩形面积为： ，
因此有 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•徐汇区月考） ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解析】原式 ．
故答案为： ．
12．（2020秋•讷河市期末）计算： 79 5 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】原式．
故答案为：795．
13．（2021秋•汝阳县期中）已知 ，则 3 6 ．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可．
【解析】 ，
．
故答案为：36．
14．（2020秋•海淀区校级月考）下列各式能用乘法公式进行计算的是 ①③④ （填序号）．
① ② ③ ④
【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征对各式进行判断．
【解析】① ；
② ；
③ ，
④ ．故答案为①③④．
15．（2020秋•朝阳区期末）若 ， ，则 的值为 ．
【分析】直接利用平方差公式代入求解．
【解析】 ， ，
．
故答案是： ．
16．（2019秋•徐汇区校级月考）计算： ．
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式求出即可．
【解析】
，
故答案为： ．
17．（2021春•奉化区校级期末）利用平方差计算 ．
【分析】在原式前面加 ，利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可
以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．
【解析】 ，
，
．
18．（2020春•汉阳区期末）如图1，在边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将图中的
阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，如图2，则图2中（1）部分的面积是 15 0 ．【分析】将图 1 中的阴影部分剪拼成一个长为 20，宽为 10 的长方形的图 2，于是可得 ，
，进而求出 、 的值，而图2中（1）的面积为 ，代入计算即可．
【解析】根据题意得， ， ，解得， ， ，
图2中（1）的面积为 ，
故答案为：150．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
20．（2021春•秦都区校级期末）用简便方法计算．（1） ．
（2） ．
【分析】（1）将原式转化为 ，再利用平方差公式进行计算，
（2） 转化为 ，再利用平方差公式计算即可．
【解析】（1）原式
；
（2）
．
21．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可；
（3）先适当变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（4）先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
；
（4）原式
．
22．（2020秋•西山区期末）如图①所示，边长为 的正方形中有一个边长为 的小正方形，如图②
所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请直接用含 ， 的式子表示 ， ；
（2）请写出上述过程所揭示的公式；
（3）试利用这个公式计算： ．
【分析】（1）根据面积的计算方法，用含有 、 的代数式表示 、 即可；
（2）由图①和图②阴影部分的面积相等得出答案；
（3）配上因式 之后，连续利用平方差公式进行计算即可．【解析】（1）图①的阴影部分的面积为边长为 的正方形与边长为 的正方形的面积差，即 ，
图②是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为： ，
所以 ， ；
（2） ；
（3）原式
．
23．（1）计算：
；
；
；
（2）由此，猜想： ．
（3）请你利用上式的结论，求 的值．
【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘以多项式的运算法则求出答案即可；
（2）不难发现，（1）中各等式左边为 的形式、等式右边为 的形式，从
而找出规律；（3）由于 ，仿照上述规律即可求解．
【解析】（1） ；
；
；
故答案为： ； ； ；
（2）由此，猜想： ．
故答案为： ．
（3）根据得出的结论得： ．
24．（2020秋•东湖区期末）实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所
示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知 ， ，则 ．
②计算： ．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将 ，再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为 即可．
【解析】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ，
图2中的阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
所以有 ，
故答案为： ；
（2）① ，
，
又 ，
，
即 ，
故答案为：4；
② ，
，
，
原式 ．
