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专题 1.7 正方形十字模型
【例题精讲】
【例1】如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， 交于点 ，
．求证： ．
【题组训练】
1．如图，点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点 ，连
接 ．
（1）写出线段 与 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证： ．
2．如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 于
点 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）连接 ，求证： ．
3．如图，正方形 中， ， 分别为 ， 上的点，且 ，垂足为 ．
（1）求证： ．（2）若 ， ，求正方形的边长．
4．如图，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ，
相交于点 ．
（1）当 时， 4 0 ；
（2）判断 与 的关系，并证明．
5．如图，在正方形 中，点 在 上，且不与 、 重合， 的垂直平分线分别
交 、 于 、 两点，垂足为 ，过 作 于 ．
（1）求证： ；
（2）若正方形 的边长为12， ，求线段 的长．
6．如图1，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，在正方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的点，且 ． 与 是否相等？并说明理由．
9．如图，在正方形 中， ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
10．已知正方形 ， 、 分别在 、 上， ， 、 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 是 中点时，求证： ．
11．已知正方形 ， 、 分别为边 、 上的点， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．12．综合与实践：
如图，在正方形 中，点 是边 上的一个动点（点 与点 ， 不重合），连接
，过点 作 于点 ，交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当点 运动到 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图3，若 ，连接 ，当点 在边 上运动的过程中． 是否存在最小
值，若存在，请直接写出 最小值，及此时 的值；若不存在，请说明理由．
13．如图1， 为正方形 的边 上一动点 与 、 不重合），点 在 边上，
且 ，连接 、 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 运动到 中点处时（如图 ，连接 ，请你判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过 点作 于点 ，交 、 于点 、 ，
若 ，求 的长度．14．（1）如图1，在正方形 中， 、 相交于点 且 则 和 的数
量关系为 ．
（2）如图 2，在正方形 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点，
，垂足为 ．求证： ．
（3）如图3，在正方形 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点， ，
， ，将正方形沿 折叠，点 的对应点恰好与 边上的点 重合，求
的长度．
