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专题 1.8 正方形半角模型
【例题精讲】
【例1】在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ．
（1）将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 （如图① ，求证： ；
（2）若直线 与 ， 的延长线分别交于点 ， （如图② ，求证：
．【题组训练】
1．如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且 ．求证：
矩形 是正方形．
2．如图，在正方形 中， 、 分别是 、 边上的点， ．
（1）如图（1），试判断 ， ， 间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若 于点 ，试判断线段 与 的数量关系，并说明理由．
3．如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
4．正方形 的边长为 6， ， 分别是 ， 边上的点，且 ，将
绕点 逆时针旋转 ，得到 ．（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
5．（1）如图①，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接
，求证： ．
（2）如图②，点 ， 在正方形 的对角线 上， ，猜想 、 、
的数量关系，并说明理由．
6．（1）如图1，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，求证：
；
（2）如图2，四边形 中， ， ， ，点 、 分
别在边 、 上，则当 与 满足什么关系时，仍有 ，说明理
由．
7．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）
（1）如图1，在正方形 （四条边都相等，每个内角都是 中， 是 上一点，是 上一点， 是 延长线上一点，且 ， ．求证：
．
（2）如图 2，已知： 平分 ， ， ， ．求证：
．
8．（1）如图1的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长
到点 ，使 ，连接 ， ．求证： ；
（2）如图 2，等腰 中， ， ，点 ， 在边 上，且
．若 ， ，求 的长．
9．如图，四边形 是正方形，点 是 边上的动点（不与点 、 重合），将射线
绕点 按逆时针方向旋转 后交 边于点 ， 、 分别交 于 、 两点．
（1）当 时，求 的度数；
（2）设 ，试用含 的代数式表示 的大小；
（3）点 运动的过程中，试探究 与 有怎样的数量关系，并说明理由．10．如图，在正方形 中， 是 边上一点， 是 延长线上一点， ．
（1）求证： ；
（2）若点 在 边上，且 ， ， ，求 的长．
11．如图， 中， ， ， 外角平分线交于点 ，过点 分别作
直线 ， 的垂线， ， 为垂足．
（1）求证：四边形 是正方形．
（2）已知 的长为6，求 的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形 中， ，一条
高是 ，长度为6， ，则 3 或 1 2 ．
12．12．（1）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 上一点， ，
那么 与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图 2，在四边形 中，
， ， ， 是 上一点，且 ，
，求 的长？
13．如图，在正方形 中，点 、 分别为边 、 上两点， ，过点
作 ，且点 为边 延长线上一点．
① 吗？说明理由．
②若线段 ， ，求线段 的长度．
③若 ， ．求线段 的长度．14．如图， 中， ， ， 外角平分线交于点 ，过点 分别作
直线 ， 的垂线， ， 为垂足．
（1） 4 5 （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形 是正方形．
②若 ，求 的长．
（3）如图（2），在 中， ，高 ， ，则 的长度是
（直接写出结果不写解答过程）．
16．如图，已知正方形 的边长为 6， ， 分别是 、 边上的点，且
，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证：
（2）若 ，求 的长．
17．设 、 分别在正方形 的边 ， 上滑动保持且 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的周长．
18．如图，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若点 在 上，且 ，则 成立吗？为什么？
19．正方形 的边长为3， 、 分别是 、 边上的点，且 ．将
绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
