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荆门市 2019 年初中学业水平考试
数 学
本试卷共6页，24题。全卷满分120分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
−√2
1． 的倒数的平方是
1 1
−
A．2 B．
2 C．−2
D．
2
2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒.用科学计数法表示31536000
正确的是
A．
3.1536×106
B．
3.1536×107
C．
31.536×106
D．
0.31536×108
x2 −2 y2
3．已知实数x,y满足方程组 则 的值为
A．−1
B．
1
C．
3 D．−3
4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角
数学试题 第 1 页 （共15页）边互相垂直，则∠1
的度数是
95° 100°
A． B．
105° 110°
C． D．
y=−x2 +4x−4
5．抛物线 与坐标轴的交点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
6．不等式组 的解集为
1 1 1 1
− 0)
8．欣欣服装店某天用相同的价格 卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏
损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．与售价a有关
y=kx+b k,b k,b
9．如果函数 （ 是常数）的图象不经过第二象限，那么 应满足的条件是
A．
k≥0
且
b≤0
B．
k>0
且
b≤0
C．
k≥0
且
b<0
D．
k>0
且
b<0
10．如图，
Rt△OCB
的斜边在
y
轴上，
OC=√3
，含
30°
角的顶点与原点重合，直角顶
点
C
在第二象限，将
Rt△OCB
绕原点顺时针旋转
120° 后得到△OC'B'
,则
B
点的对
应点B'
的坐标是
(√3,−1) (1,−√3)
A． B．
(2,0) (√3,0)
C． D．
数学试题 第 2 页 （共15页）11．下列运算不正确的是
xyx y1(x1)(y1)
A．
1
x2 +y2 +z2 +xy+yz+zx= (x+y+z) 2
2
B．
(x+y)(x2 −xy+y2 )=x3 +y3
C．
(x−y) 3 =x3 −3x2y+3xy2 −y3
D．
12．如图，△ABC
内心为
I
,连接
AI 并延长交△ABC
的
D DI DB
外接圆于 ,则线段 与 的关系是
A．
DI=DB
B．
DI>DB
C．
DI0,x>0)
x OAB
15．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与等边三角形 的边
OA
，
AB
分别交于点
M
,
N
，且
OM=2MA
,若
AB=3
,那么点
N
的横坐标为
.
ABC A AB,AC
16．如图，等边三角形 的边长为2，以 为圆心，1为半径作圆分别交 边于
D,E C CD BC F E,F
,再以点 为圆心， 长为半径作圆交 边于 ,连接 ,那么图中阴影部
分的面积为 .
y=ax2 +bx+c a,b,c P A(−1,0)
17．抛物线 ( 为常数）的顶点为 ,且抛物线经过点 ,
B(m,0)
，
C(−2,n)(10
， ②
3a+c<0
，
③
a(m−1)+2b>0,
④
a=−1
时，存在点
P 使△PAB
为直角三角形.
其中正确结论的序号为 .
数学试题 第 4 页 （共15页）三、解答题：共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）
先化简，再求值：
a+b 2a−2b 4a2 3a
2
( )⋅ − ÷
a−b 3a+3b a2 −b2 b
，其中
a=√3,b=√2
.
数学试题 第 5 页 （共15页）19.（9分）
ABCD
AB=5,BC=3,AC=2√13
如图，已知平行四边形 中， .
ABCD
(1)求平行四边形 的面积；
(2)求证：
BD⊥BC
.
20.（10分）
高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸
多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并
绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据.
(1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数；
(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6
册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
数学试题 第 6 页 （共15页）数学试题 第 7 页 （共15页）21.（10分）
已知锐角△ABC
的外接圆圆心为
O
,半径为
R
.
AC
=2R
sinB
(1)求证： ；
(2)若△ABC
中
∠A=45°,∠B=60°,AC=√3
,求
BC
的长及
sinC
的值.
22.（10分）
OE A
如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到
B E C D
处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在
镜子中看到楼的顶部
E
（
O,A,B,C,D
在同一条直线上）.测得
AC=2m
,
BD=2.1m
,
BF,DG 1.6m OE
如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
数学试题 第 8 页 （共15页）23.（10分）
为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据
市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足
（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系
如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.
(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式；
(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润 y 与第x天之间的函数关系式；
（日销售利润=日销售额-日维护费）
(3)求日销售利润 y 的最大值及相应的x.
24.（12分）
y=ax2 +bx+c (2,−1) (0,3) y=x−1
已知抛物线 顶点 ，经过点 ，且与直线 交于
A,B
两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上恰好存在三点 Q,M,N ,满足
S
△QAB
=S
△MAB
=S
△NAB
=S
，求 S 的
值；
(3)在
A,B
之间的抛物线弧上是否存在点
P 满足∠APB=90°
？若存在，求点
P
的横
数学试题 第 9 页 （共15页）坐标，若不存在，请说明理由.
M(x ,y ),N(x ,y ) MN= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2
(坐标平面内两点 1 1 2 2 之间的距离 1 2 1 2 ）
荆门市 2019 年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C
7.D 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空题
3+√5 π √3 3
+ −
1−√3 2 12 2 4
13. 14.1 15. 16. 17.②③
三、解答题
18.解：
2(a+b) 4ab
−
3(a−b) 3(a2 −b2 )
原式=
2(a+b) 2 −4ab
=
3(a2 −b2
)
2(a2 +b2
)
=
3(a2 −b2
),
2(3+2) 10
= =
∵a=√3 ,b=√2 3(3−2) 3
，∴原式 .
19.解：
(1)作 CE⊥AB ,交 AB 的延长线于E,
数学试题 第 10 页 （共15页）BE=x,CE=h
设 ，
在 RtΔCEB 中：x2 +h2 =9 ……①
RtΔCEA (5+x) 2 +h2 =52
在 中： ……②
9 12
x= ,h=
5 5
联立①②解得： ，
∴平行四边形
ABCD
的面积为
AB⋅h=12
；
(2)如图：作 DF⊥AB ,垂足为F,
9 16 12
∴AF=BE= ,BF= ,DF=
∵ΔADF
≌
ΔBCE
,
5 5 5
,
RtΔDFB
在 中：
12 16
BD2 =DF2 +BF2 =( ) 2 +( ) 2 =16
5 5
,
∴BD=4,又 ∵BC=3,DC=5
,
DC2 =BD2 +BC2 ∴BD⊥BC
.
20.解：
(1)设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：
12
=30%
x+6+8+12 ，∴x=14
；
∴阅读书册数的众数是5，中位数是5；
14 7
=
(2)阅读5册书的学生人数频率为
6+8+12+14 20
7
×1200=420
20
该校阅读5册书的学生人数约为 （人）；
(3)设补查人数为y,依题意： 12+6+y<8+14 ， ∴y<4 ，
∴最多补查了3人.
21.解：
(1)连接 AO 并延长交圆于D点，连接 CD ,
∵AD
为直径，
∴∠ACD=90° ,且∠ABC=∠ADC
,
数学试题 第 11 页 （共15页）AC AC
sin∠ABC=sin∠ADC= =
RtΔACD AD 2R
在 中： ,
AC
∴ =2R
sinB
；
AC AB BC
=2R = =2R
sinB sinC sinA
2)由(1)知 ，同理可得
(
√3
∴2R= =2
sin60°
，
∴BC=2R⋅sinA=2sin45°=√2
，
如图，作 CE⊥AB ,垂足为E,
√2
∴BE=BC⋅cosB=√2cos60°=
2
，
√6
AE=AC⋅cosA=√3cos45°=
2
，
√6 √2
∴AB=AE+BE= +
2 2
,
AB √6+√2
∵AB=2R⋅sinC,∴sinC= =
2R 4
.
22.解：
设E关于点 O 的对称点为M,由光的反射定律知，延长 GC,FA 相交于M，
连接 GF 并延长交 OE 于H,
∵GF
∥
AC ,∴ΔMAC
∽
ΔMFG
,
AC MA MO
∴ = =
FG MF MH
,
AC OE OE OE
= = =
BD MH MO+OH OE+BF
即 ,
OE 2
∴ =
OE+1.6 2.1
,
∴OE=32
.
数学试题 第 12 页 （共15页）OE
答：楼的高度 为32米.
23.解：
{12 =k+b¿¿¿¿
(1)当
1≤x≤10
时，设
n=kx+b
，由图可知： ，解得
k=2,b=10
，
∴n=2x+10
，
同理当 时，
n=−1.4x+44
，
；
∵y=mn−80
(2) ，
即 ；
(3) 当
1≤x≤10
时，
∵y=6x2 +60x+70
的对称轴是
x=−5
，
y =1270
∴y的最大值是 10 ，
111
x= ≈13.2<13.5
∵y=−4.2x2 +111x+580 8.4
当 时， 的对称轴是 ，
y =1313.2
∴y的最大值是 13 ，
149
x= >30
当
15≤x≤30
时，
∵y=1.4x2 −149x+3220
的对称轴是
2.8
，
y =1300
∴y的最大值是 15 ，
综上，草莓销售第 13 天时，日销售利润y最大，最大值是 1313.2 元.
24.解：
数学试题 第 13 页 （共15页）y=ax2 +bx+c=a(x−2) 2 −1(a>0) (0,3)
(1)依题意 ，将点 代入得：
4a−1=3 ，∴a=1
，
y=x2 −4x+3
∴函数的解析式为 ；
AB l l
(2) 作直线 的平行线 ，当 与抛物线有两个交点时，
l AB l
由对称性可知： 位于直线 两侧且与 等距离时，会有
l AB l
四个点符合题意，因为当 位于直线 上方时， 与抛物
线总有两个交点 M,N 满足
S
ΔMAB
=S
ΔNAB，所以只有当 l 位
AB Q
于直线 下方且与抛物线只有一个交点 时符合题意，
ΔQAB
此时 面积最大；
设 Q(t,t2 −4t+3) ，作 QC ∥y轴交 AB 于 C(t,t−1) ，
1 3 3
S = QC(x −x )= [(t−1)−(t2 −4t+3)]= (−t2 +5t−4)
ΔQAB 2 B A 2 2
那么
5 27 27
t= ∴S=
2 ΔQAB 8 8
当 时 面积最大，最大面积为 ， ；
(3)若存在点P满足条件，设 P(t,(t−2) 2 −1)(10 ，∴m2 +m−1=0,
数学试题 第 14 页 （共15页）−1+√5 −1−√5
∴m= m= <−1
2 2
或 （舍去），
3+√5
t=
代入
t−2=m
得：
2
，
3+√5
综上所述，存在点P满足条件，点P的横坐标为 2 .
数学试题 第 15 页 （共15页）
