文档内容
2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．
2．（3分）式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列
事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，
壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示
y与x的对应关系的是（ ）
第1页（共26页）A． B．
C． D．
7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解
的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，A（x ，y ）、B（x ，y ）两点在该图象上，下列命题： 过
1 1 2 2
①
点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6； 若x ＜0＜x ，则y ＞y ； 若x +x ＝0，则
1 2 1 2 1 2
y +y ＝0，其中真命题个数是（ ） ② ③
1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，AB是 O的直径，M、N是 （异于A、B）上两点，C是 上一动点，∠ACB的角平分线交 O于点D，
∠BAC的平分线交⊙CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ⊙）
A． B． C． D．
10．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、
252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算 的结果是 ．
12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是
．
13．（3分）计算 ﹣ 的结果是 ．
第2页（共26页）14．（3分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为
． ▱
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是
．
16．（3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝
PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝ ．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点
的距离和的最小值是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3﹣x2•x4．
18．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示
“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下
两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
第3页（共26页）20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点
E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说
明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
21．（8分）已知AB是 O的直径，AM和BN是 O的两条切线，DC与 O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：⊙AB2＝4AD•BC；
⊙ ⊙
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、
周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1） 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
第4页（共26页）
①该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（②2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的
销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°， ＝n，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
如图2，若n＝1，求证： ＝ ．
①
如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）
②
24．（12分）已知抛物线C ：y＝（x﹣1）2﹣4和C ：y＝x2
1 2
（1）如何将抛物线C 平移得到抛物线C ？
1 2
（2）如图1，抛物线C 与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣ x+b经过点A，交抛物线C 于另一点B．请你在线段AB上
1 1
取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C 于点Q，连接AQ．
1
若AP＝AQ，求点P的横坐标；
①若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（②3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C
2
上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C
2
均有唯一公共点，
ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
第5页（共26页）2019 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：实数2019的相反数是：﹣2009．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．
3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列
事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；
B、3个球都是白球是不可能事件；
C、三个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能
事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事
件．
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
第6页（共26页）A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是 ，
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示： ．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，
壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示
y与x的对应关系的是（ ）
A． B．
第7页（共26页）C． D．
【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随t的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为 ，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
8．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，A（x ，y ）、B（x ，y ）两点在该图象上，下列命题： 过
1 1 2 2
①
点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6； 若x ＜0＜x ，则y ＞y ； 若x +x ＝0，则
1 2 1 2 1 2
y +y ＝0，其中真命题个数是（ ） ② ③
1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．
第8页（共26页）∵△ACO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，正确，是真命题；
∵反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，
②
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，
若x ＜0＜x ，则y ＞0＞y ，正确，是真命题；
1 2 1 2
当A、B两点关于原点对称时，x +x ＝0，则y +y ＝0，正确，是真命题，
1 2 1 2
③真命题有3个，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等
知识，难度不大．
9．（3分）如图，AB是 O的直径，M、N是 （异于A、B）上两点，C是 上一动点，∠ACB的角平分线交 O于点D，
∠BAC的平分线交⊙CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ⊙）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，
由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝ ，则∠MON＝2 ，利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB．设OA＝αr． α
第9页（共26页）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，
∴AD＝DB＝ r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝ ，则∠MON＝2
α α
∴ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属
于中考选择题中的压轴题．
10．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、
252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么
250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
第10页（共26页）2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2•2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解
决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算 的结果是 4 ．
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解： ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟练地运用二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是
23 ℃ ．
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，
所以这组数据的中位数为23℃，
故答案为：23℃．
【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）计算 ﹣ 的结果是 ．
【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
【解答】解：原式＝
第11页（共26页）＝
＝
＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
14．（3分）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为
21° ． ▱
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝ AF＝AE＝EF，得出DE＝
CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝ AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°；
故答案为：21°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题
的关键．
第12页（共26页）15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是
x ＝﹣ 2 ， x ＝ 5 ．
1 2
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，从而得到抛物线y＝a（x﹣
1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x﹣1）
2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x ＝﹣2，x ＝5．
1 2
故答案为x ＝﹣2，x ＝5．
1 2
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转
化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．（3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝
PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝ ．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点
的距离和的最小值是 2 ．
【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝
∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC
＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；
（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则
MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理
先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，
在△ABG和△ADP中
第13页（共26页），
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP是等边三角形，
∴∠AGC＝60°＝∠APG，
∴∠APE＝60°，
∴∠EPC＝60°，
连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，
∵AE＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝EC＝AC，
∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，
∴∠PAE＝∠ECF，
在△APE和△ECF中
∴△APE≌△ECF（SAS），
∴PE＝PF，
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线
于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中
第14页（共26页）∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝ ．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND＝ ＝ ＝2 ，
∴MO+NO+GO最小值为2 ，
故答案为2 ，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3﹣x2•x4．
【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4
＝8x6﹣x6
＝7x6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键．
18．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
第15页（共26页）【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．
【解答】解：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
也考查了三角形内角和定理．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示
“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下
两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 5 0 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 72 ° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°× ＝72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），据此补充条形统计图；
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500× ＝690（人）．
【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°× ＝72°，
故答案为50，72°；
第16页（共26页）（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下
该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500× ＝690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点
E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说
明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；
（2）如图所示，点G即为所求；
（3）如图所示，线段EM即为所求．
第17页（共26页）【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，
正确的作出图形是解题的关键．
21．（8分）已知AB是 O的直径，AM和BN是 O的两条切线，DC与 O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：⊙AB2＝4AD•BC；
⊙ ⊙
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC、OD，证明△AOD∽△BCO，得出 ＝ ，即可得出结论；
（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，
OB＝ ，图中阴影部分的面积＝2S△OBC ﹣S扇形OBE ，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切 O于E，
⊙
∴∠ODE＝ ∠ADE，∠OCE＝ ∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
第18页（共26页）∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴ ＝ ，
∴OA2＝AD•BC，
∴（ AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中， ，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝ OA，
Rt△BOC中，BC＝ OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC ﹣S扇形OBE ＝2× × ×3﹣ ＝3 ﹣ ．
π
第19页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的
性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、
周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1） 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
该商①品进价是 4 0 元/件；当售价是 7 0 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 180 0 元．
（②2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的
销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
【分析】（1） 依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
该商品进价是①50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：解方程组即可得到结论；
②
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，由于对称轴是x＝ ，根据二次
函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1） 依题意设y＝kx+b，
①
则有
解得：
第20页（共26页）所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
该商品进价是50﹣1000÷100＝40，
②设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有 ，
解得： ，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，
∵对称轴x＝ ，
∴ 当 ＜65时（舍）， 当 ≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
① ②
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实
践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再
利用二次函数求最值．
23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°， ＝n，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
如图2，若n＝1，求证： ＝ ．
①
如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）
②
第21页（共26页）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．
（2） 如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比
例定理①解决问题即可．
如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN
②（用m，n表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2） 证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
①
第22页（共26页）∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴ ＝ ＝ ．
解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．
②
则BM＝CM＝m，CH＝ ，BH＝ ，AM＝m ，
∵ •AM•BP＝ •AB•BM，
∴PB＝ ，
第23页（共26页）∵ •BH•CN＝ •CH•BC，
∴CN＝ ，
∵CN⊥BH，PM⊥BH，
∴MP∥CN，∵CM＝BM，
∴PN＝BP＝ ，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）已知抛物线C ：y＝（x﹣1）2﹣4和C ：y＝x2
1 2
（1）如何将抛物线C 平移得到抛物线C ？
1 2
（2）如图1，抛物线C 与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣ x+b经过点A，交抛物线C 于另一点B．请你在线段AB上
1 1
取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C 于点Q，连接AQ．
1
若AP＝AQ，求点P的横坐标；
①若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（②3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C
2
上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C
2
均有唯一公共点，
ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
第24页（共26页）（2）易求点A（3，0），b＝4，联立方程﹣ x+4＝（x﹣1）2﹣4，可得B（﹣ ， ）；设P（t，﹣ t+4），Q（t，t2﹣2t﹣3），
当AP＝AQ时，则有﹣4+ t＝t2﹣2t﹣3，求得t＝ ；
①
当AP＝PQ时，PQ＝t2+ t+7，PA＝ （3﹣t），则有t2+ t+7＝ （3﹣t），求得t＝﹣ ；
②
（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴ ，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，
求出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（ ，mn），
再由面积 （[ n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣ （n2﹣mn）×（ ﹣n）﹣ （m2﹣mn）×（m﹣ ）＝2，可得（m﹣n）3
＝8，即可求解；
【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），
∵直线y＝﹣ x+b经过点A，
∴b＝4，
∴y＝﹣ x+4，
y＝﹣ x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣ x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，
∴x＝3或x＝﹣ ，
∴B（﹣ ， ），
设P（t，﹣ t+4），且﹣ ＜t＜3，
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，t2﹣2t﹣3），
当AP＝AQ时，
①
|4﹣ t|＝|t2﹣2t﹣3|，
第25页（共26页）则有﹣4+ t＝t2﹣2t﹣3，
∴t＝ ，
∴P点横坐标为 ；
当AP＝PQ时，
②
PQ＝t2+ t+7，PA＝ （3﹣t），
∴t2+ t+7＝ （3﹣t），
∴t＝﹣ ；
∴P点横坐标为﹣ ；
（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴ ，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（ ，mn），
∴ [（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣ （n2﹣mn）×（ ﹣n）﹣ （m2﹣mn）×（m﹣ ）＝2，
∴（m﹣n）2﹣ ＝4，
∴（m﹣n）3＝8，
∴m﹣n＝2；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面
积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/6/26 18:00:29；用户：冯锡眉；邮箱：zxfengxm@xyh.com；学号：22634181
第26页（共26页）
