文档内容
2018-2019 学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）期末数学模拟
试卷
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
2．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝ ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出
一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．点M（a，2a）在反比例函数y＝ 的图象上，那么a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
5．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过
点P的所有弦中，最短的弦的长为 （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
6．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
7．如图，小正方形的边长均为1，下面A，B，C，D四个图中的格点三角形（顶点在正方
形的顶点上的三角形）与△ABC相似的是（ ）A． B．
C． D．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运
动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象
是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝ ．
10．如图，AB是 O的直径，点P在BA的延长线上，PD 与 O相切与点D，过点B作
PD的垂线，与P⊙D的延长线相交于点C，若 O的半径为4，BC⊙＝6，则PA的长为 ．
⊙
11．给出下列说法及函数y＝x，y＝x2和y＝ ．
如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1；
①如果a2＞a＞ ，那么a＞1；
②
如果 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
③
如果a2＞ ＞a时，那么a＜﹣1．
④
以上说法正确的是 ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB上中线CD，得到
第1个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第2个三角
形 DEF；依次作下去…则第 1 个三角形的面积等于 ，第 n 个三角形的面积等
于 ．
三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）
13．计算：2cos30°﹣tan60°+sin30°+ tan45°．14．已知：点E在线段AB上， ．
（1）如图1，AB是△ABC的边，作EF∥BC交边AC于点F，连接BF．求 的值．
（2）如图2，AB是梯形ABCD的一腰，AD∥BC，且BC＝2AD，作EF∥BC交边DC于点
F，连接BF．求 的值．
15．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3 ，BC＝7，sinB＝ ，求AC的长．
16．如图，AE是 O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB＝8cm，CD＝2cm，求
BE的长． ⊙17．如图，抛物线y＝ +bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？
18．将三个除号码外完全相同的小球放入不透明的盒子中，小球上分别标有数字1，2，3，
游戏者从中随机摸出一球，记下数字后放回盒中，充分摇匀，再随机摸出一球并记下数
字．如果摸得的两球所标数字之积为奇数，那么游戏者获胜；否则，其游戏结果为输．你
认为该游戏规则是否公平？请画树状图或列表予以说明．四．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风
景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的
方向上，且AB＝10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公
路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
20．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得
到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点” （填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝﹣
的图象上，直线AB经过点P（ ， ），求此抛物线的表达式．21．已知四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的 O 经过点 D，∠DAB＝
⊙
45°．
（Ⅰ）如图 ，判断CD与 O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图①，E是 O上一⊙点，且点E在AB的下方，若 O的半径为3cm，AE＝5cm，
求点E到②AB的距⊙离． ⊙
五．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）
22．如图（1），是一面矩形彩旗完全展开时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由双
层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸锻旗面．
（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤做旗杆，求旗杆的最大直径．（精确到1cm）
（2）在一个无风的天气里，如图（2）那样将旗杆斜插在操场上，旗杆与地面成60°角，
如果彩旗下角E恰好垂直地面，求旗杆露在地面以上部分的长度DG的近似值．（此时旗
杆的直径忽略不计，精确到1cm）六．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）
23．已知关于x的两个一元二次方程：
方程 ： ；
①
方程 ：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．
（1）②若方程 有两个相等的实数根，求：k的值
（2）若方程①和 只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．
① ②
七．解答题（共1小题，满分7分，每小题7分）
24．如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结DF并延长
交AB的延长线于点G，请解答下列问题：
（1）△BFG≌△CFD吗？为什么？
（2）试说明EF＝ （AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．八．解答题（共1小题）
25．已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称
轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形
AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．
（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′
D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角
形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
2．【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝cos（90°﹣∠A）＝sinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，
∴cosB＝ ＝ ．
故选：D．
3．【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2 种，
所以两次都摸到白球的概率是 ＝ ，
故选：B．
4．【解答】解：∵点M（a，2a）在反比例函数y＝ 的图象上．
∴2a＝ ．
∴解得：a＝±2，
故选：D．
5．【解答】解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的 O的最短的弦，连接OB，
则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP， ⊙
在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，
则AB＝2PB＝8，
故选：C．6．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
7．【解答】解：∵AC＝ ，BC＝2，AB＝
A：三边分别为：1， ，2
B：三边分别为：1， ， ，
C：三边分别为： ， ，3
D：三边分别为：2， ，
根据如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似
∴B中的三角形与△ABC相似．
故选：B．
8．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝ ，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°
＝ × + ×
＝ ．
故答案为： ．
10．【解答】解：连接DO解：连接DO，
∵PD与 O相切于点D，
∴∠PDO⊙＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴
∴
∴PA＝4
故答案为4
11．【解答】解：联立 ，解得 ， ，
所以，两交点坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，1），
由图可知， ＞a＞a2时，0＜a＜1，故 正确；
①
a2＞a＞ 时，a＞1或﹣1＜a＜0，故 错误；
②
＞a2＞a时，a值不存在，故 错误；
③
a2＞ ＞a时，a＜﹣1，故 正确；
④
综上所述，说法正确的是 ．
故答案为： ． ①④
12．【解答】①解④：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD＝DB＝ AB＝AC＝a，
∴第一个三角形的面积为 a2，
第二个等边三角形的边长EF＝ DB＝ a，
…
第n个等边三角形的边长为 a，
所以，第n个三角形的面积＝ × a×（ • a）＝ ．
故答案为 a2， ．
三．解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）
13．【解答】解：原式＝2× ﹣ + +
＝1．
14．【解答】解：（1）如图1，∵ ，
∴ ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
＝ ＝ ，
设S
△AEF
＝a，则S
△ABC
＝9a，
∴S
四边形EBCF
＝9a﹣a＝8a，
∵ ，
∴ ＝ ，
∴S
△BEF
＝2a，∴ ＝ ＝ ；
（2）如图2，设AD＝x，则BC＝2x，
连接AC，交EF于G，连接AF，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ，
∴ ，EG＝ x，
∵AD∥EF∥BC，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
FG＝ x，
∴EF＝ x+ x＝ x，
∵ ＝ ＝ ，
设S
△AEF
＝S，则S
△BEF
＝2S，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴S
△ADF
＝ S，
∵ ＝ ＝ ，
＝ ，
∴S
△BFC
＝3S，
∴ ＝ ＝ ．15．【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝ ，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∵AB＝ ，
∴AD＝BD＝ AB＝3，
∵BC＝7，
∴DC＝4，
∴在Rt△ACD中，AC＝ ＝5．
16．【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB＝8cm，
∴AC＝4cm，
设CO＝xcm，则DO＝AO＝（x+2）cm，
在Rt△AOC中：AO2＝CO2+AC2，
∴（x+2）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∵AO＝EO，AC＝CB，∴BE＝2CO＝6cm．
17．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ x2+bx﹣2得 ﹣b﹣2＝0，解得b＝﹣ ，
所以抛物线解析式为y＝ x2﹣ x﹣2．
（2）当y＝0时， x2﹣ x﹣2＝0，
整理得x2﹣3x﹣4＝0，解得x1 ＝﹣1，x2 ＝4，
所以B点坐标为（4，0），
当x＜﹣1或x＞4时，y＞0．
18．【解答】解：不公平．
因为根据题意可列表如下：
1 2 3
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
从列表可以看出所有可能结果共有9种，且每种结果发生的可能性相同，其中结果为奇数的
有4种，结果为偶数的有5种，
即结果为奇数的概率为 ，而结果为偶数的概率为 ，
所以游戏规则不公平．
四．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分）
19．【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝∠C＝30°，
∴BC＝AB＝10km，
即景点B、C相距的路程为10km．
（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，
在Rt△CBE中，CE＝ km．
20．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：
设A（a，b）在反比例函数y＝ 的图象上，则k＝ab．
根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．
∵ba＝ab＝k，
∴（b，a）也在反比例函数y＝ 的图象上．
故答案为：都能；
（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），
∴N（﹣5，2）．
设直线MN的表达式为：y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；
（3）∵点A在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴设A（k，﹣ ），
∵A，B是一对“互换点”，
∴B（﹣ ，k），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵直线AB经过点P（ ， ），
∴ ，解得 ，
∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，
得 ，解得 ，
∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．
21．【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图 ，连接OD，则∠AOD＝2∠DAB＝2×45°＝90°，
∵四边形AB①CD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO＝∠AOD＝90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图 ，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆②O的直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6．
∵AE＝5，
∴BE＝ ＝ ，
∵sin∠BAE＝ ＝ ．
∴ ＝
∴EF＝ ．五．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）
22．【解答】解：（1）根据题意得，12＝2 R，
∴2R＝ ≈4（cm）， π
所以旗杆的最大直径为4cm．
（2）在图（1），连接DE，如图，
∵阴影部分DCEF为矩形绸锻旗面，
∴DE＝ ＝ ＝150（cm），
在图（2）中，连DE，彩旗下角E恰好垂直地面，则DE⊥GE，
∵∠DEG＝60°，
∴∠GDE＝30°，
∴DE＝ GE，即GE＝ DE＝ ×150＝50 ，
∴DG＝2GE＝100 ≈173cm．
六．解答题（共1小题，满分6分，每小题6分）
23．【解答】解：
（1）∵方程 有两个相等的实数根，
①
∴ ，则k≠﹣2，△
1
＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（1+ ）×（﹣1）＝k2+4k+4+4+2k＝k2+6k+8，
则（k+2）（k+4）＝0，
∴k＝﹣2，k＝﹣4，
∵k≠﹣2，
∴k＝﹣4；
（2）∵△
2
＝（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）＝4k2+4k+1+8k+12＝4k2+12k+13＝（2k+3）2+4
＞0，
∴无论k为何值时，方程 总有实数根，
∵方程 、 只有一个方②程有实数根，
∴此时方①程②没有实数根．
（3）根据a①是方程 和 的公共根，
∴ ① ② ，a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0 ，
③ ④
∴ ×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2＝0 ，
③+ 得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5，⑤
⑤代数④式＝（a2+4a﹣2）k+3a2+5a＝（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5．
故代数式的值为5．
七．解答题（共1小题，满分7分，每小题7分）
24．【解答】解：（1）△BFG≌△CFD，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠G，∠C＝∠FBG，
在△BFG和△CFD中，
，
∴△BFG≌△CFD；
（2）∵△BFG≌△CFD，
∴BG＝CD，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EF＝ AG，EF∥AB，又AB∥CD，
∴EF∥CD，∴EF＝ （AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
八．解答题（共1小题）
25．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，
则：点A、B、C坐标分别为（﹣6，0）、（2，0）、（0，2），
函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2， ），
C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，
将点A坐标代入上式，解得：k＝ ，
则：直线AC的表达式为：y＝ x+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H，
四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，
四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，
设：点P坐标为（m，﹣ m2﹣ m+2），则点G坐标为（m， m+2），
S △ACP ＝ PG•OA＝ •（﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2）•6＝﹣ m2﹣3m，
当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3， ），
连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，
直线OP的表达式为：y＝﹣ x，
当x＝﹣2时，y＝ ，
即：点M坐标为（﹣2， ）；
（3）存在；∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，
∴△EAM≌△DCM（AAS），
∴EM＝DM，AM＝MC，
设：EM＝a，则：MC＝6﹣a，
在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，
即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a＝ ，
则：MC＝ ，
过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H，
在Rt△DMC中， DH•MC＝ MD•DC，即：DH× ＝ ×2，
则：DH＝ ，HC＝ ＝ ，
即：点D的坐标为（﹣ ， ）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，
则：点A′坐标（﹣6+ ， ），
点D′坐标为（﹣ + ， + ），而点E坐标为（﹣6，2），
则：直线A′D′表达式的k值为： ，
则：直线A′E表达式的k值为： ，
则：直线E′D表达式的k值为： ，
根据两条直线垂直，其表达式中k值的乘值为﹣1，可知：当A′D′⊥A′E时， ＝﹣ ，解得：m＝ ，
D坐标为：（0，4），
当A′D′⊥ED′时， ＝﹣ ，解得：m＝﹣ ，
D坐标为：（﹣6，2）
同理，当ED′⊥A′E时，点D的坐标为：（﹣0.6，3.8），
则：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（﹣0.6，3.8）．
