文档内容
2019年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）有理数 的立方根为
A． B．2 C． D．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果
条数为608000，这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）实数 ， 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是
A． B． C． D．
5．（3分）正比例函数 的函数值 随着 增大而减小，则一次函数 的图
象大致是
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法中不正确的是
A．四边相等的四边形是菱形
第1页（共30页）B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
7．（3分）某企业 月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是
A． 月份利润的众数是130万元
B． 月份利润的中位数是130万元
C． 月份利润的平均数是130万元
D． 月份利润的极差是40万元
8．（3分）如图，在 中， 是 的平分线， 是外角 的平分线， 与
相交于点 ，若 ，则 是
A． B． C． D．
9．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位： ，则它的体积是
第2页（共30页）A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形 中，边长 ，将正方形 绕点 按逆时针方向旋转
至正方形 ，则线段 扫过的面积为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分） ．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色
外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
14．（3分）如图，在 中， 、 分别是 ， 的中点， 与 相交于点 ，若
，则 ．
第3页（共30页）15．（3分）归纳“ ”字形，用棋子摆成的“ ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规
律摆下去，摆成第 个“ ”字形需要的棋子个数为 ．
16．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个
小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是
1，直角三角形的两直角边长分别为 、 ，那么 的值是 ．
17．（3分）已知 是不等式 的解， 不是不等式 的解，则实
数 的取值范围是 ．
18．（3分）如图，抛物线 ，点 ，直线 ，已知抛物线上的点到点
的距离与到直线 的距离相等，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点， ， ，
垂足分别为 、 ，连接 ， ， ， ．若 ， 、则△ 的面积
．（只用 ， 表示）．
第4页（共30页）三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算： ．
20．（4分）已知： ， ，求代数式 的值．
21．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与
原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
22．（6分）如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西 方
向航行 至 港．
（1）求 ， 两港之间的距离（结果保留到 ，参考数据： ， ；
（2）确定 港在 港的什么方向．
23．（7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级 名学生进行调查，将抽
取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别 体重（千克） 人数
10
第5页（共30页）40
20
10
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：① ，② ，③在扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角的度数等于
度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如： 组数据中间值为40千克），则
被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？
24．（7分）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求出点 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式 的 的取值范围．
25．（7分）如图，在矩形 中， ， ． 、 在对角线 上，且 ，
、 分别是 、 的中点．
（1）求证： ；
第6页（共30页）（2）点 是对角线 上的点， ，求 的长．
26．（8分）如图，在 中， ． ， ，若动点 从 出发，沿线
段 运动到点 为止（不考虑 与 ， 重合的情况），运动速度为 ，过点 作
交 于点 ，连接 ，设动点 运动的时间为 ， 的长为 ．
（1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时， 的面积 有最大值？最大值为多少？
27．（9分）如图， 是 的外接圆， 是直径， 是 中点，直线 与 相交于
， 两点， 是 外一点， 在直线 上，连接 ， ， ，且满足 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）证明： ；
（3）若 ， ，求 的长．
第7页（共30页）28．（9分）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 图象 轴下方部分沿 轴向上翻折，保留抛物线在 轴上的点和
轴上方图象，得到的新图象与直线 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 ， ，
， ．当以 为直径的圆过点 时，求 的值；
（3）在抛物线 上，当 时， 的取值范围是 ，请直接写出 的取值
范围．
第8页（共30页）2019 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）有理数 的立方根为
A． B．2 C． D．
【考点】24：立方根
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：有理数 的立方根为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】 ：中心对称图形； ：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果
条数为608000，这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
第9页（共30页）要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：608000，这个数用科学记数法表示为 ．
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4．（3分）实数 ， 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是
A． B． C． D．
【考点】15：绝对值；13：数轴
【分析】从数轴上可以看出 、 都是负数，且 ，由此逐项分析得出结论即可．
【解答】解：因为 、 都是负数，且 ， ，
、 是错误的；
、 是错误的；
、 是正确的；
、 是错误的．
故选： ．
【点评】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
5．（3分）正比例函数 的函数值 随着 增大而减小，则一次函数 的图
象大致是
A． B．
C． D．
第10页（共30页）【考点】 ：正比例函数的性质； ：一次函数的图象
【分析】根据自正比例函数的性质得到 ，然后根据一次函数的性质得到一次函数
的图象经过第一、三象限，且与 轴的负半轴相交．
【解答】解： 正比例函数 的函数值 随 的增大而减小，
，
一次函数 的一次项系数大于0，常数项小于0，
一次函数 的图象经过第一、三象限，且与 轴的负半轴相交．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数 、 为常数， 是一条直线，当
，图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大；当 ，图象经过第二、四象限， 随
的增大而减小；图象与 轴的交点坐标为 ．
6．（3分）下列说法中不正确的是
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【考点】 ：菱形的判定与性质； ：平行四边形的性质
【分析】由菱形的判定与性质即可得出 、 、 正确， 不正确．
【解答】解： ．四边相等的四边形是菱形；正确；
．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
．菱形的邻边相等；正确；
故选： ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法
是解题的关键．
7．（3分）某企业 月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是
第11页（共30页）A． 月份利润的众数是130万元
B． 月份利润的中位数是130万元
C． 月份利润的平均数是130万元
D． 月份利润的极差是40万元
【考点】 ：众数； ：中位数； ：加权平均数； ：极差
【分析】先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．
【解答】解： 、 月份利润的众数是120万元；故本选项错误；
、 月份利润的中位数是125万元，故本选项错误；
、 月份利润的平均数是 万元，故本选项错误；
、 月份利润的极差是 万元，故本选项正确．
故选： ．
【点评】此题主要考查了折线统计图的运用，中位数和众数等知识，正确的区分它们的定义是
解决问题的关键．
8．（3分）如图，在 中， 是 的平分线， 是外角 的平分线， 与
相交于点 ，若 ，则 是
A． B． C． D．
【考点】 ：三角形的外角性质
【分析】根据角平分线的定义得到 、 ，根据三角形的外角
性质计算即可．
第12页（共30页）【解答】解： 是 的平分线，
，
是外角 的平分线，
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位： ，则它的体积是
A． B． C． D．
【考点】 ：由三视图判断几何体
【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可．
【解答】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，
其体积为： ，
故选： ．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大．
10．（3分）如图，在正方形 中，边长 ，将正方形 绕点 按逆时针方向旋转
第13页（共30页）至正方形 ，则线段 扫过的面积为
A． B． C． D．
【考点】 ：正方形的性质； ：旋转的性质； ：扇形面积的计算
【分析】根据中心对称的性质得到 ，根据扇形的面积公式即可得
到结论．
【解答】解： 将正方形 绕点 按逆时针方向旋转 至正方形 ，
，
线段 扫过的面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关
键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分） ．
第14页（共30页）【考点】48：同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则简单即可．
【解答】解： ．
故答案为：
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减．
12．（3分）分解因式： ．
【考点】56：因式分解 分组分解法；53：因式分解 提公因式法
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：
故答案为：
【点评】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题
关键．
13．（3分）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色
外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
【考点】 ：概率公式
【分析】先求出袋子中球的总个数及确定白球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：袋子中球的总数为 ，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为 ．
故答案为 ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件 出现 种结果，那么事件 的概率 （A） ．
14．（3分）如图，在 中， 、 分别是 ， 的中点， 与 相交于点 ，若
，则 3 ．
第15页（共30页）【考点】 ：三角形的重心
【分析】先判断点 为 的重心，然后利用三角形重心的性质求出 ，从而得到 的
长．
【解答】解： 、 分别是 ， 的中点，
点 为 的重心，
，
．
故答案为3．
【点评】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
．
15．（3分）归纳“ ”字形，用棋子摆成的“ ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规
律摆下去，摆成第 个“ ”字形需要的棋子个数为 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第 个“ ”字形
需要的棋子个数．
【解答】解：由图可得，
图①中棋子的个数为： ，
图②中棋子的个数为： ，
图③中棋子的个数为： ，
则第 个“ ”字形需要的棋子个数为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，
第16页（共30页）利用数形结合的思想解答．
16．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个
小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是
1，直角三角形的两直角边长分别为 、 ，那么 的值是 1 ．
【考点】 ：勾股定理的证明； ：数学常识
【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，
即可得到 的值，然后根据 即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得 ，
四个直角三角形的面积是： ，即： ，
则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得 和 的值是
关键．
17．（3分）已知 是不等式 的解， 不是不等式 的解，则实
数 的取值范围是 ．
【考点】 ：解一元一次不等式
【分析】根据 是不等式 的解， 不是不等式 的解，列出不
等式，求出解集，即可解答．
【解答】解： 是不等式 的解，
，
解得： ，
不是这个不等式的解，
，
解得： ，
第17页（共30页），
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
18．（3分）如图，抛物线 ，点 ，直线 ，已知抛物线上的点到点
的距离与到直线 的距离相等，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点， ， ，
垂足分别为 、 ，连接 ， ， ， ．若 ， 、则△ 的面积
．（只用 ， 表示）．
【考点】 ：二次函数图象上点的坐标特征； ：二次函数图象与系数的关系； ：一次函
数图象上点的坐标特征
【分析】利用 ， 可得 ，证明 ，确定△ 是
直角三角形，则可求△ 的面积 △ 的面积 ；
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
，
，
第18页（共30页），
，
，
△ 的面积 △ 的面积 ；
故答案为 ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质；能够通过垂直与平行得到△
是直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算： ．
【考点】 ：特殊角的三角函数值； ：实数的运算； ：零指数幂
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（4分）已知： ， ，求代数式 的值．
【考点】 ：分式的化简求值
【分析】根据 ， ，可以求得 的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解： ， ，
，
第19页（共30页）．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与
原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
【考点】 ：分式方程的应用
【分析】设原计划平均每天生产 台机器，则现在平均每天生产 台机器，根据工作时
间 工作总量 工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所
需时间相同，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该工厂原来平均每天生产 台机器，则现在平均每天生产 台机器．
根据题意得： ，
解得： ．
经检验知， 是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（6分）如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西 方
向航行 至 港．
（1）求 ， 两港之间的距离（结果保留到 ，参考数据： ， ；
（2）确定 港在 港的什么方向．
【考点】 ：方向角； ：勾股定理的应用
【分析】（1）由题意得 ，由勾股定理，从而得出 的长；
（2）由 ，则 点在 点北偏东 的方向上．
第20页（共30页）【解答】解：（1）由题意可得， ， ，
， ，
，
．
，
．
答： 、 两地之间的距离为 ．
（2）由（1）知， 为等腰直角三角形，
，
，
港在 港北偏东 的方向上．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．
23．（7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级 名学生进行调查，将抽
取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别 体重（千克） 人数
10
40
20
10
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：① 10 0 ，② ，③在扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角的度数等
于 度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如： 组数据中间值为40千克），则
被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？
第21页（共30页）【考点】 ：用样本估计总体； ：加权平均数； ：频数（率 分布表； ：扇形统计图
【分析】（1）① ，② ，③ ；
（2）被抽取同学的平均体重为： （千克）；
（3）七年级学生体重低于47.5千克的学生 （人 ．
【解答】解：（1）① ，
② ，
③ ；
故答案为100，20，144
（2）被抽取同学的平均体重为：
（千克）．
答：被抽取同学的平均体重为50千克．
（3） （人 ．
答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（7分）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求出点 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式 的 的取值范围．
第22页（共30页）【考点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把 代入 ，求得 的坐标为 ，然后代入一次函数 中
即可得出其解析式；
（2）联立方程求得交点 的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1） 在反比例函数图象上，
，
，
．
又 在一次函数 的图象上，
，即 ，
一次函数的表达式为： ．
（2）由 解得 或 ，
，
由图象知满足不等式 的 的取值范围为 或 ．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结
合求出不等式的解集是解答此题的关键．
25．（7分）如图，在矩形 中， ， ． 、 在对角线 上，且 ，
、 分别是 、 的中点．
第23页（共30页）（1）求证： ；
（2）点 是对角线 上的点， ，求 的长．
【考点】 ：矩形的性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据四边形的性质得到 ，求得 ．根据全等三角形的判
定定理得到结论；
（2）连接 ，交 于点 ．根据全等三角形的性质得到 ， ，于是得到结
论．
【解答】（1）证明 四边形 是矩形，
，
．
在 和 中，
，
；
（2）解：如图，连接 ，交 于点 ．
在 和 中，
，
，
， ，
为 、 中点．
， ，
或 ，
第24页（共30页）的长为1或4．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性
质是解题的关键．
26．（8分）如图，在 中， ． ， ，若动点 从 出发，沿线
段 运动到点 为止（不考虑 与 ， 重合的情况），运动速度为 ，过点 作
交 于点 ，连接 ，设动点 运动的时间为 ， 的长为 ．
（1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时， 的面积 有最大值？最大值为多少？
【考点】 ：相似三角形的判定与性质； ：二次函数的最值； ：函数自变量的取值范围
【分析】（1）由平行线得 ，根据相似形的性质得关系式；
（2）由 ；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
【解答】解：（1）动点 运动 秒后， ．
又 ， ．
，
，
，
关于 的函数关系式为 ．
（2）解： ．
第25页（共30页）当 时， 最大，最大值为 ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到
等量比是解题的关键．
27．（9分）如图， 是 的外接圆， 是直径， 是 中点，直线 与 相交于
， 两点， 是 外一点， 在直线 上，连接 ， ， ，且满足 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）证明： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【考点】 ：圆的综合题
【分析】（1）先判断出 ，得出 ，再判断出 ，得出
，再判断出 ，得出 ，即可得出
结论；
（2）先判断出 ，得出 ，进而得出 ，即可得出
结论；
（3）在 中，设 ，得出 ． ， ，最后用勾
股定理得出 ，即可得出结论．
【解答】（1）证明 是弦 中点，
，
第26页（共30页）是 的中垂线，
，
．
是 的直径，
，
．
又 ，
，
，即 ，
是 的切线；
（2）证明：由（1）知 ，
，
，
．
又 ，
，即 ．
（3）解：在 中，设 ，则 ．
， ．
，即 ，解得 ，
．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判
断出 是解本题的关键．
28．（9分）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
第27页（共30页）（2）将抛物线 图象 轴下方部分沿 轴向上翻折，保留抛物线在 轴上的点和
轴上方图象，得到的新图象与直线 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 ， ，
， ．当以 为直径的圆过点 时，求 的值；
（3）在抛物线 上，当 时， 的取值范围是 ，请直接写出 的取值
范围．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）抛物线的对称轴是 ，且过点 点， ，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为： ， ，新图象与
直线 恒有四个交点，则 ，由 解得： ，即可求解；
（3）分 、 在函数对称轴左侧、 、 在对称轴两侧、 、 在对称轴右侧时，三种情况分别
求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是 ，且过点 点， ，解得： ，
第28页（共30页）抛物线的函数表达式为： ；
（2） ，
则 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为： ，
，其顶点为 ．
新图象与直线 恒有四个交点， ，
设 ， ， ， ．
由 解得： ，
以 为直径的圆过点 ，
，
即 ，解得 ，
又 ，
的值为 ；
（3）①当 、 在函数对称轴左侧时，
，
由题意得： 时， ， 时， ，
第29页（共30页）即： ，
解得： ；
②当 、 在对称轴两侧时，
时， 的最小值为9，不合题意；
③当 、 在对称轴右侧时，
同理可得： ；
故 的取值范围是： 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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日期：2019/8/3 9:13:59；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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