文档内容
2019年黑龙江省黑河市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的相反数是
A． B． C．3 D．
2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算不正确的是
A． B．
C． D．
4．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中
能用来比较两人成绩稳定程度的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．（3分）如图，直线 ，将一块含 角 的直角三角尺按图中方式放置，其
中 和 两点分别落在直线 和 上．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭
建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步
行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利
第1页（共33页）院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼
物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离 与时间 之间函数关系的
是
A． B．
C． D．
8．（3分）学校计划购买 和 两种品牌的足球，已知一个 品牌足球60元，一个 品牌足
球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方
案共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．
已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则袋中黑球的个
数为
A．27 B．23 C．22 D．18
10．（3分）如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，
结合图象分析下列结论：
① ；
② ；
③当 时， 随 的增大而增大；
④一元二次方程 的两根分别为 ， ；
⑤ ；
⑥若 ， 为方程 的两个根，则 且 ，
其中正确的结论有
第2页（共33页）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法
表示为 ．
12．（3分）如图，已知在 和 中， ， ，点 、 、 、 在同一条
直线上，若使 ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
13．（3分）将圆心角为 ，半径为 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥
的高为 ．
14．（3分）关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围为 ．
15．（3分）如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴， 轴上，顶点 在第二象限，点 的
坐标为 ．将线段 绕点 逆时针旋转 至线段 ，若反比例函数 的
图象经过 、 两点，则 值为 ．
16．（3分）等腰 中， ，垂足为点 ，且 ，则等腰 底角的度数
为 ．
第3页（共33页）17．（3分）如图，直线 分别交 轴、 轴于点 和点 ，过点 作 ，交
轴于点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ，过点
作 轴，交直线 于点 ，依此规律 ，若图中阴影△ 的面积为 ，阴影△
的面积为 ，阴影△ 的面积为 ，则 ．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）（1）计算：
（2）因式分解：
19．（5分）解方程：
20．（8分）如图，以 的边 为直径作 ，点 在 上，点 在线段 的延长线
上， ， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若直径 ，求图中阴影部分的面积．
21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽
取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项： ．十分了解； ．了解较多： ．了解较少：
．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不
完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
第4页（共33页）（1）本次被抽取的学生共有 名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“ ．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 ；
（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分
了解”和“了解较多”的学生共有多少名？
22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、
乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下
维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速
返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距
离 （千米）与轿车所用的时间 （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米 小时；轿车的速度是 千米 小时； 值为 ．
（2）求轿车距其出发地的距离 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式并写出自变
量 的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
23．（12分）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的
过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ．如
图①：点 为 上一点，将正方形纸片 沿直线 折叠，使点 落在 上的点
处，展开后连接 ， ， ，如图②
第5页（共33页）（一 填一填，做一做：
（1）图②中， ．
线段
（2）图②中，试判断 的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的 剪下来，将其沿直线 折叠，使点 落在点 处，分别
得到图③、图④．
（二 填一填
（3）图③中阴影部分的周长为 ．
（4）图③中，若 ，则 ．
（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；
（6）如图④点 落在边 上，若 ，则 （用含 ， 的代数式表示）．
24．（14分）综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ， ，连接
和 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，点 的坐标为 ．
（3）点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点
第6页（共33页）的坐标；
（4）若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共33页）2019 年黑龙江省黑河市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的相反数是
A． B． C．3 D．
【考点】14：相反数；28：实数的性质；22：算术平方根
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：3的相反数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】 ：中心对称图形； ：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选： ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列计算不正确的是
A． B．
C． D．
【考点】35：合并同类项； ：零指数幂；21：平方根；47：幂的乘方与积的乘方
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得
第8页（共33页）出答案．
【解答】解： 、 ，正确，故此选项错误；
、 ，正确，故此选项错误；
、 ，正确，故此选项错误；
、 ，错误，故此选项正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关
运算法则是解题关键．
4．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中
能用来比较两人成绩稳定程度的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【考点】 ：统计量的选择
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．
要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，
故选： ．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数
据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理
的选择和恰当的运用．
5．（3分）如图，直线 ，将一块含 角 的直角三角尺按图中方式放置，其
中 和 两点分别落在直线 和 上．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【考点】 ：平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解： 直线 ，
第9页（共33页），
， ， ，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭
建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】 ：由三视图判断几何体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因
此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．
故选： ．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个
几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违
章”很容易就知道小正方体的个数．
7．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步
行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利
院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼
物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离 与时间 之间函数关系的
是
A． B．
第10页（共33页）C． D．
【考点】 ：函数的图象
【分析】根据题意，可以写出各段过程中， 与 的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
战士们从营地出发到文具店这段过程中， 随 的增加而增大，故选项 错误，
战士们在文具店选购文具的过程中， 随着 的增加不变，
战士们从文具店去福利院的过程中， 随着 的增加而增大，故选项 错误，
战士们从福利院跑回营地的过程中， 随着 的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比
战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项 正确，选项 错误，
故选： ．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）学校计划购买 和 两种品牌的足球，已知一个 品牌足球60元，一个 品牌足
球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方
案共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【考点】95：二元一次方程的应用
【分析】设购买 品牌足球 个，购买 品牌足球 个，根据总价 单价 数量，即可得出关
于 ， 的二元一次方程，结合 ， 均为正整数即可求出结论．
【解答】解：设购买 品牌足球 个，购买 品牌足球 个，
依题意，得： ，
．
， 均为正整数，
， ， ， ，
该学校共有4种购买方案．
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．
第11页（共33页）9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．
已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则袋中黑球的个
数为
A．27 B．23 C．22 D．18
【考点】 ：概率公式
【分析】袋中黑球的个数为 ，利用概率公式得到 ，然后利用比例性质求出 即
可．
【解答】解：设袋中黑球的个数为 ，
根据题意得 ，解得 ，
即袋中黑球的个数为22个．
故选： ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件 的概率 （A） 事件 可能出现的结果数除以所
有可能出现的结果数．
10．（3分）如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，
结合图象分析下列结论：
① ；
② ；
③当 时， 随 的增大而增大；
④一元二次方程 的两根分别为 ， ；
⑤ ；
⑥若 ， 为方程 的两个根，则 且 ，
其中正确的结论有
第12页（共33页）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】 ：抛物线与 轴的交点； ：二次函数图象与系数的关系； ：根与系数的关系
【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
【解答】解： 抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线
抛物线 与 轴交于点 和 ，且
由图象知： ， ，
故结论①正确；
抛物线 与 轴交于点
故结论②正确；
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小
结论③错误；
，
抛物线 与 轴交于点 和
的两根是 和2
，
第13页（共33页）即为： ，解得 ， ；
故结论④正确；
当 时，
故结论⑤正确；
抛物线 与 轴交于点 和 ，
， 为方程 的两个根
， 为方程 的两个根
， 为函数 与直线 的两个交点的横坐标
结合图象得： 且
故结论⑥成立；
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次
项系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向
下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，
对称轴在 轴左； 当 与 异号时（即 ，对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴
交点位置：抛物线与 轴交于 ；抛物线与 轴交点个数由△决定：△ 时，抛
物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△ 时，
抛物线与 轴没有交点．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法
表示为 ．
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【解答】解：38000用科学记数法表示应为 ，
第14页（共33页）故答案为： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
12．（3分）如图，已知在 和 中， ， ，点 、 、 、 在同一条
直线上，若使 ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
【考点】 ：全等三角形的判定
【分析】添加 ，由 推出 ，由 可证 ．
【解答】解：添加 ；
，
，
在 和 中， ，
；
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是注意：全等三角形的判定定理有 ， ，
， ，答案不唯一．
13．（3分）将圆心角为 ，半径为 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥
的高为 4 ．
【考点】 ：圆锥的计算
【分析】圆锥的底面圆的半径为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，解得 ，
然后根据勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得 ，解得 ，
第15页（共33页）所以圆锥的高 ．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（3分）关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围为 且
．
【考点】 ：解一元一次不等式； ：分式方程的解
【分析】根据解分式方程的方法和方程 的解为非负数，可以求得 的取值范
围．
【解答】解： ，
方程两边同乘以 ，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
关于 的分式方程 的解为非负数， ，
，
解得， 且 ，
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方
法．
15．（3分）如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴， 轴上，顶点 在第二象限，点 的
坐标为 ．将线段 绕点 逆时针旋转 至线段 ，若反比例函数 的
第16页（共33页）图象经过 、 两点，则 值为 ．
【考点】 ：反比例函数的性质； ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：坐标与图形变
化 旋转； ：矩形的性质
【分析】过点 作 轴于点 ，由点 的坐标为 知 ，由旋转性质知
、 ，据此求得 ， ，
即 ， ，代入解析式解之可得．
【解答】解：过点 作 轴于点 ，
点 的坐标为 ，
，
，
由旋转性质知 、 ，
，
， ，
即 ， ，
反比例函数 的图象经过 点，
，
解得： （舍 或 ，
第17页（共33页）故答案为： ．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点 的坐标．
16．（3分）等腰 中， ，垂足为点 ，且 ，则等腰 底角的度数
为 或 或 ．
【考点】 ：等腰三角形的性质； ：含30度角的直角三角形
【分析】分点 是顶点、点 是底角顶点、 在 外部和 在 内部三种情况，根
据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．
【解答】解：①如图1，点 是顶点时，
， ，
，
，
，
在 中， ；
②如图2，点 是底角顶点，且 在 外部时，
， ，
，
，
；
③如图3，点 是底角顶点，且 在 内部时，
， ，
第18页（共33页），
，
；
故答案为： 或 或 ．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中， 角
所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
17．（3分）如图，直线 分别交 轴、 轴于点 和点 ，过点 作 ，交
轴于点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ，过点
作 轴，交直线 于点 ，依此规律 ，若图中阴影△ 的面积为 ，阴影△
的面积为 ，阴影△ 的面积为 ，则 ．
第19页（共33页）【考点】 ：一次函数的性质； ：一次函数图象上点的坐标特征；38：规律型：图形的变化
类
【分析】由直线 可求出与 轴交点 的坐标，与 轴交点 的坐标，进而得到
， 的长，也可求出 的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作
的三角形都是含有 角的直角三角形，然后这个求出 、 、 、 、 根据规律得出
．
【解答】解：直线 ，当 时， ；当 时，
，
又 ，
，
在 △ 中， ，
；
同理可求出： ， ，
；
依次可求出： ； ；
因此：
第20页（共33页）故答案为： ．
【点评】考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结
论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正
确的计算则显得尤为重要．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）（1）计算：
（2）因式分解：
【考点】 ：实数的运算；56：因式分解 分组分解法； ：负整数指数幂； ：特殊角的三
角函数值
【分析】（1）根据实数运算的法则计算即可；
（2）根据因式分解 分组分解法分解因式即可．
【解答】解：（1） ；
（2） ．
【点评】本题考查了分解因式 分组分解法，实数的运算，熟记公式和法则是解题的关键．
19．（5分）解方程：
【考点】 ：解一元二次方程 配方法
【分析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．
【解答】解： ，
，即 ，
则 ，
，
第21页（共33页）即 ， ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直
接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的
关键．
20．（8分）如图，以 的边 为直径作 ，点 在 上，点 在线段 的延长线
上， ， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若直径 ，求图中阴影部分的面积．
【考点】 ：切线的判定与性质； ：扇形面积的计算
【分析】（1）连接 ，则得出 ，可求得 ，可得出结论；
（2）可利用 的面积 扇形 的面积求得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
即 是 的切线；
（2）解： ，
，
在 中， ， ，
， ，
所以 ，
因为 ，
第22页（共33页）所以 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，证明切线时，连接过切点的半径是解题
的关键．
21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽
取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项： ．十分了解； ．了解较多： ．了解较少：
．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不
完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有 10 0 名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“ ．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 ；
（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分
了解”和“了解较多”的学生共有多少名？
【考点】 ：条形统计图； ：用样本估计总体； ：扇形统计图
【分析】（1）本次被抽取的学生共 （名 ；
（2） （名 ，据此补全；
（3）扇形图中的选项“ ．了解较少”部分所占扇形的圆心角 ；
（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：
（名 ．
【解答】解：（1）本次被抽取的学生共 （名 ，
第23页（共33页）故答案为100；
（2） （名 ，
补全条形图如下：
（3）扇形图中的选项“ ．了解较少”部分所占扇形的圆心角
，
故答案为108；
（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：
（名 ，
答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、
乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下
维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速
返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距
离 （千米）与轿车所用的时间 （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 5 0 千米 小时；轿车的速度是 千米 小时； 值为 ．
（2）求轿车距其出发地的距离 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式并写出自变
量 的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
第24页（共33页）【考点】 ：一次函数的应用
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得 、 、 的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）车的速度是50千米 小时；轿车的速度是： 千米 小时；
．
故答案为：50；80；3；
（2）由题意可知： ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
当 时， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得 ，
，
；
（3）设货车出发 小时后两车相距90千米，根据题意得：
或 ，
第25页（共33页）解得 或5．
答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数
的解析式．
23．（12分）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的
过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ．如
图①：点 为 上一点，将正方形纸片 沿直线 折叠，使点 落在 上的点
处，展开后连接 ， ， ，如图②
（一 填一填，做一做：
（1）图②中， ．
线段
（2）图②中，试判断 的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的 剪下来，将其沿直线 折叠，使点 落在点 处，分别
得到图③、图④．
（二 填一填
（3）图③中阴影部分的周长为 ．
第26页（共33页）（4）图③中，若 ，则 ．
（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；
（6）如图④点 落在边 上，若 ，则 （用含 ， 的代数式表示）．
【考点】 ：相似形综合题
【分析】（1）由折叠的性质得，四边形 是矩形，得出 ， ，
，由折叠的性质得出 ， ，得出 ，得出
， ，因此 ， ；
（2）证明 得出 ，即可得出 是等边三角形；
（3）由折叠的性质得出 ， ，得出图③中阴影部分的周长 的周长
；
（4）由折叠的性质得出 ， ，求出 ，得出
，即可得出结果；
（5）证明 △ ，即可得出结论；
（ 6 ） 设 ， 则 ， ， 证 明 △ △ ， 得 出
，设 ， ，则 ， ，得出
，解得： ，得出 ．
【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形 是矩形，
， ， ，
将正方形纸片 沿直线 折叠，使点 落在 上的点 处，
， ，
，
， ，
， ；
第27页（共33页）故答案为： ， ；
（2） 是等边三角形，理由如下：
在 与 中， ，
，
，
，
是等边三角形；
（3） 将图②中的 沿直线 折叠，使点 落在点 处，
， ，
图③中阴影部分的周长 的周长 ；
故答案为：12；
（4） 将图②中的 沿直线 折叠，使点 落在点 处，
， ，
，
，
，
；
故答案为：40；
（5）如图③，
，
， ，
△ ，
△
图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，
故答案为：4；
（6）设 ，则 ， ，
，
，
第28页（共33页），
△ △ ，
，
设 ， ，则 ， ，
，
解得： ，
；
故答案为： ．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、正方形
的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本
题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．
24．（14分）综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ， ，连接
和 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，点 的坐标为 ， ．
（3）点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点
的坐标；
（4）若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的
第29页（共33页）四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）由 ， 得到 ， ，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）由点 在抛物线对称轴上运动且 、 关于对称轴对称可得， ，所以当点 、
、 在同一直线上时， 周长最小．求直线 解析式，把对称轴的横坐标代入即求得
点 纵坐标．
（3）过点 作 轴于点 ，交直线 与点 ，设点 横坐标为 ，则能用 表示 的
长． 面积拆分为 与 的和，以 为公共底计算可得 ，把含
的式子代入计算即得到 关于 的二次函数，配方即求得最大值和 的值，进而求得点
坐标．
（4）以 为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质
确定点 在坐标．
【解答】解：（1） ，
，
抛物线 过点 、
解得：
抛物线解析式为
（2） 当 时， ，解得： ，
第30页（共33页），抛物线对称轴为直线
点 在直线 上，点 、 关于直线 对称
，
当点 、 、 在同一直线上时， 最小
设直线 解析式为
，解得：
直线
，
故答案为： ，
（3）过点 作 轴于点 ，交直线 与点
设 ， ，则
当 时， 面积最大
点 坐标为 ， 时， 面积最大，最大值为 ．
（4）存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形．
，
第31页（共33页）①若 为菱形的边长，如图3，
则 且，
， ， ，
②若 为菱形的对角线，如图4，则 ，
设
解得：
综上所述，点 坐标为 ， ， ， ， ．
第32页（共33页）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一
次方程（组 的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边
进行分类，再画图讨论计算．
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