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2019年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四
个选项，其中只有一个是正确的、请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）计算（﹣1）3的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
2．（3分）某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几
何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，9 B．10，9 C．9，9.5 D．11，10
4．（3分）若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+（﹣a）3＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．2a2•a＝2a3 D．（ab2）3＝a3b5
6．（3分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（3分）若 ， 是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 + ＝﹣ ，则m
α β
等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
8．（3分）下列命题中假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限
C．五边形的内角和为540°
第1页（共30页）D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）
9．（3分）如图，AD是 O的直径， ＝ ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是
（ ） ⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（3分）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC
（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2 cm2 B．2 cm2 C．4cm2 D．4 cm2
11．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝
2BD，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
12．（3分）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与
AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接
CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S ，S ，则下列结论错误的是（ ）
1 2
第2页（共30页）A．S +S ＝CP2 B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝
1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）有理数9的相反数是 ．
14．（3分）将实数3.18×10﹣5用小数表示为 ．
15．（3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝ ．
16．（3分）若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不
小于3的概率是 ．
17．（3分）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2 ，
若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
18．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c（| a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊
桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列
五个结论： 图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； 图象具有对称性，对称
轴是直线x①＝1； 当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增②大而增大； 当x＝﹣1
或x＝3时，函数的③最小值是0； 当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结④论的个数是
． ⑤
第3页（共30页）三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.）
19．（10分）（1）计算： ﹣（ ﹣3）0+（ ）﹣2﹣4sin30°；
（2）解不等式组： ，并在数轴上表示该不等式组的解集．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
21．（6分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函
数y＝ （x＞0）的图象上，直线y＝ x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值；
（2）求△ACE的面积．
22．（8分）为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知
识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）
的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表
提供的信息，解答下列问题：
分数段（分） 频数（人） 频率
第4页（共30页）51≤x＜61 a 0.1
61≤x＜71 18 0.18
71≤x＜81 b n
81≤x＜91 35 0.35
91≤x＜101 12 0.12
合计 100 1
（1）填空：a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等
奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
23．（8分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5
万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新
增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到
2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角
线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
第5页（共30页）25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对
称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边
形时，求P，Q两点的坐标．
26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转
得到△A′B′C，记旋转角为 ，当90°＜ ＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与
B′C交于点E． α α
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
写出旋转角 的度数；
①求证：EA′α+EC＝EF；
（②2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝ ，
求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
第6页（共30页）2019 年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四
个选项，其中只有一个是正确的、请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）计算（﹣1）3的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【考点】1E：有理数的乘方．
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【分析】本题考查有理数的乘方运算．
【解答】解：（﹣1）3表示3个（﹣1）的乘积，
所以（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂
是1．
2．（3分）某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几
何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图；U3：由三视图判断几何体．
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【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边有2竖
列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．
【解答】解：从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象
能力．
第7页（共30页）3．（3分）若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，9 B．10，9 C．9，9.5 D．11，10
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为8，9，9，9，10，10，11，11，
∴这组数据的众数为9，中位数为 ＝9.5，
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．（3分）若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【分析】化简分式 ＝ ＝x﹣1＝0即可求解；
【解答】解： ＝ ＝x﹣1＝0，
∴x＝1；
故选：D．
【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+（﹣a）3＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．2a2•a＝2a3 D．（ab2）3＝a3b5
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；4C：完全平方公
式．
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【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；
【解答】解：a3+（﹣a3）＝0，A错误；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，B错误；
（ab2）3＝a3b5，D错误；
故选：C．
第8页（共30页）【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的
乘方法则是解题的关键．
6．（3分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
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【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，
解得：m＝﹣2，n＝7，
则m+n＝﹣2+7＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，
纵坐标互为相反数．
7．（3分）若 ， 是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 + ＝﹣ ，则m
α β
等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 + ＝2， ＝m，再化简 + ＝
α β αβ
，代入即可求解；
【解答】解： ， 是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴ + ＝2， α＝mβ，
α β αβ
∵ + ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．（3分）下列命题中假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限
第9页（共30页）C．五边形的内角和为540°
D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】由对顶角相等得出A是真命题；由直线y＝x﹣5的图象得出B是真命题；由五边形
的内角和为540°得出C是真命题；由因式分解的定义得出D是假命题；即可得出答案．
【解答】解：A．对顶角相等；真命题；
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限；真命题；
C．五边形的内角和为540°；真命题；
D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）；假命题；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命
题是假命题；属于基础题．
9．（3分）如图，AD是 O的直径， ＝ ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是
（ ） ⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．
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【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．（3分）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC
第10页（共30页）（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2 cm2 B．2 cm2 C．4cm2 D．4 cm2
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到
重叠部分的面积．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2cm，
∴Rt△BCD中，BC＝ ＝2 （cm），
∴重叠部分的面积为 ×2 ×2＝2 （cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝
2BD，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
第11页（共30页）A．2 B．3 C．2 D．5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可
求出DE的长度，以及 ，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出
得出 ＝ ，从而可求出CD的长度．
【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，
∴AB＝3x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝4， ＝ ，
∵∠ACD＝∠B，
∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴ ＝ ，
设AE＝2y，AC＝3y，
∴ ＝ ，
∴AD＝ y，
∴ ＝ ，
∴CD＝2 ，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属
第12页（共30页）于中等题型．
12．（3分）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与
AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接
CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S ，S ，则下列结论错误的是（ ）
1 2
A．S +S ＝CP2 B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝
1 2
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；P2：轴对称的性质；T7：解直角
三角形．
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【分析】根据勾股定理可判断A；连接CF，作FG⊥EC，易证得△FGC是等腰直角三角形，
设EG＝x，则FG＝2x，
利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG＝2x，CF＝2 x，EC＝3x，BC＝ x，FD
＝ x，即可证得3FD＝AD，可判断B；根据平行线分线段成比例定理可判断C；求得
cos∠HCD可判断D．
【解答】解：∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S ，S ，
1 2
∴S ＝CD2，S ＝PD2，
1 2
在Rt△PCD中，PC2＝CD2+PD2，
∴S +S ＝CP2，故A结论正确；
1 2
连接CF，
∵点H与B关于CE对称，
∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，
在△BCE和△HCE中，
∴△BCE≌△HCE（SAS），
第13页（共30页）∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，
∴CH＝CD，
在Rt△FCH和Rt△FCD中
∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），
∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，
∴∠ECH+∠ECH＝ ∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，
作FG⊥EC于G，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴FG＝CG，
∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，
∴△FEG∽△CEB，
∴ ＝ ＝ ，
∴FG＝2EG，
设EG＝x，则FG＝2x，
∴CG＝2x，CF＝2 x，
∴EC＝3x，
∵EB2+BC2＝EC2，
∴ BC2＝9x2，
∴BC2＝ x2，
∴BC＝ x，
在Rt△FDC中，FD＝ ＝ ＝ x，
∴3FD＝AD，
∴AF＝2FD，故B结论正确；
∵AB∥CN，
∴ ＝ ，
第14页（共30页）∵PD＝ND，AE＝ CD，
∴CD＝4PD，故C结论正确；
∵EG＝x，FG＝2x，
∴EF＝ x，
∵FH＝FD＝ x，
∵BC＝ x，
∴AE＝ x，
作HQ⊥AD于Q，
∴HQ∥AB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴HQ＝ x，
∴CD﹣HQ＝ x﹣ x＝ x，
∴cos∠HCD＝ ＝ ＝ ，故结论D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，
勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题
的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）有理数9的相反数是 ﹣ 9 ．
第15页（共30页）【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的求法即可得解；
【解答】解：9的相反数是﹣9；
故答案为﹣9；
【点评】本题考查相反数；熟练掌握相反数的意义与求法是解题的关键．
14．（3分）将实数3.18×10﹣5用小数表示为 0.000031 8 ．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数；1K：科学记数法—原数．
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【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜9）即可求解；
【解答】解：3.18×10﹣5＝0.0000318；
故答案为0.0000318；
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
15．（3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝ 142 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】如图，利用平行线的性质得到∠2＝∠3，利用互补求出∠3，从而得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣38°＝142°．
故答案为142°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
第16页（共30页）16．（3分）若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不
小于3的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直
接应用求概率的公式求解即可．
【解答】解：随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，
所以点数不小于3的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
17．（3分）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2 ，
若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
【考点】MP：圆锥的计算．
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【分析】利用弧长＝圆锥的底面周长这一等量关系可求解．
【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，AM＝ ，
∴OA＝2，
第17页（共30页）∵ ＝2 r，
π
∴r＝
故答案是：
【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
18．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c（| a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊
桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列
五个结论： 图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； 图象具有对称性，对称
轴是直线x①＝1； 当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增②大而增大； 当x＝﹣1
或x＝3时，函数的③最小值是0； 当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结④论的个数是
4 ． ⑤
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值；HA：
抛物线与x轴的交点．
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【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴ 是正确的；从图
象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，① 也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的②增大而增大，因
此 也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的
值③为x＝﹣1或x＝3，因此 也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于
当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3④|＝4，因此 时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解： ∵（﹣1，0），（3，0）和（0⑤，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴ 是正确的；
从图象可①知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因①此 也是正
②确的； ②
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，
③因此 也是正确的；
第18页（共30页）
③函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x
④＝3，因此 也是正确的；
从图象上④看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此
⑤时不正确的； ⑤
故答案是：4
【点评】理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二
次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二
次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.）
19．（10分）（1）计算： ﹣（ ﹣3）0+（ ）﹣2﹣4sin30°；
（2）解不等式组： ，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；C4：在数轴上表示不等式的解
集；CB：解一元一次不等式组；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，
最后计算加减可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+4﹣4×
＝2﹣1+4﹣2
＝3；
第19页（共30页）（2）解不等式6x﹣2＞2（x﹣4），得：x＞﹣ ，
解不等式 ﹣ ≤﹣ ，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣ ＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
【考点】KB：全等三角形的判定；N3：作图—复杂作图．
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【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF即可
得到△DEF；
【解答】解：如图，
△DEF即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等
三角形的判定．
21．（6分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函
第20页（共30页）数y＝ （x＞0）的图象上，直线y＝ x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值；
（2）求△ACE的面积．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；G4：反比
例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；
L8：菱形的性质．
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【分析】（1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y＝ ，求出
k；将点C（9，4）代入y＝ x+b，求出b；
（2）求出直线y＝ x﹣2与x轴和y轴的交点，即可求△AEC的面积；
【解答】解：（1）由已知可得AD＝5，
∵菱形ABCD，
∴B（6，0），C（9，4），
∵点D（4，4）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝16，
将点C（9，4）代入y＝ x+b，
∴b＝﹣2；
（2）E（0，﹣2），
直线y＝ x﹣2与x轴交点为（3，0），
∴S△AEC ＝ 2×（2+4）＝6；
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边
长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
第21页（共30页）22．（8分）为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知
识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）
的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表
提供的信息，解答下列问题：
分数段（分） 频数（人） 频率
51≤x＜61 a 0.1
61≤x＜71 18 0.18
71≤x＜81 b n
81≤x＜91 35 0.35
91≤x＜101 12 0.12
合计 100 1
（1）填空：a＝ 1 0 ，b＝ 2 5 ，n＝ 0.2 5 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等
奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形
统计图．
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【分析】（1）利用×这组的频率即可得到结论；
（2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可；
（3）利用全校2500名学生数×考试成绩为91≤x≤100考卷占抽取了的考卷数×获得二等
奖学生人数占获奖学生数即可得到结论．
【解答】解：（1）a＝100×0.1＝10，b＝100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25，n＝ ＝0.25；
故答案为：10，25，0.25；
（2）补全频数分布直方图如图所示；
第22页（共30页）（3）2500× × ＝90（人），
答：全校获得二等奖的学生人数90人．
【点评】本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
23．（8分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5
万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新
增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到
2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增
长率；
（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古
典名著的册数占藏书总量的百分之几．
【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是： ×100%＝
10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利
第23页（共30页）用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角
线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
【考点】LB：矩形的性质；ME：切线的判定与性质．
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【分析】（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的性质得到∠BAO＝
∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到OF＝OB，于是得到AE是半圆
O的切线；
（2）根据切割线定理得到AF＝ ＝2 ，求得AB＝AF＝2 ，根据勾股定理得到
BC＝ ＝2 ，AO＝ ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴ ＝ ，
∵OB＝OC，
∴ ，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
第24页（共30页）∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中， ，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是 O的切线，AC是 O的割线，
∴AF2＝AP•AC，
⊙ ⊙
∴AF＝ ＝2 ，
∴AB＝AF＝2 ，
∵AC＝6，
∴BC＝ ＝2 ，
∴AO＝ ＝3 ，
∵△ABO∽△AOE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝3 ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对
称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
第25页（共30页）（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边
形时，求P，Q两点的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，将点A坐标
代入上式，即可求解；
（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即
可．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+4x﹣5；
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），
设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，
将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，
故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5；
（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣ m2+4m﹣5），
当AM是平行四边形的一条边时，
①点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，﹣ m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m﹣2＝4，﹣ m2+4m﹣5﹣4＝s，
解得：m＝6，s＝﹣3，
故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）；
第26页（共30页）当AM是平行四边形的对角线时，
②
由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣ m2+4m﹣5+s，
解得：m＝2，s＝1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，
③同理可得点Q的坐标为（4，5），
故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，﹣3）或（4，1）或（4，5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积
计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏．
26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转
得到△A′B′C，记旋转角为 ，当90°＜ ＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与
B′C交于点E． α α
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
写出旋转角 的度数；
①求证：EA′α+EC＝EF；
（②2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝ ，
求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1） 解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．
连接A′F，设①EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′
②是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明
△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推
出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【解答】（1） 解：旋转角为105°．
① 第27页（共30页）理由：如图1中，
∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC＝90°，
∵∠CA′D＝15°，
∴∠A′CD＝75°，
∴∠ACA′＝105°，
∴旋转角为105°．
证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
②∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，
∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′OF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
第28页（共30页）∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．
由 可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴②△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝ AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝ CB′＝1，CM＝ ，
∴AB′＝ ＝ ＝ ．
∴PA+PF的最小值为 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
第29页（共30页）三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/8/5 10:23:02；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
第30页（共30页）
