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2019年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．（3分）﹣268000用科学记数法表示为（ ）
A．﹣268×103 B．﹣268×104 C．﹣26.8×104 D．﹣2.68×105
3．（3分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）2＝m6
C．m3+m3＝2m3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
7．（3分）在函数y＝ + 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（ ）
第1页（共30页）A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三
角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到
△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
11．（3分）若关于x的不等式组 恰有三个整数解，则a的取值范围
是（ ）
A．1≤a＜ B．1＜a≤ C．1＜a＜ D．a≤1或a＞
12．（3分）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B 处，称
1
为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h ；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点
1
D 的直线折叠，使点B落在DE边上的B 处，称为第二次操作，折痕D E 到AC的距离记
1 2 1 1
为h 2 ；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1 E n﹣1 ，到AC的距离
记为h ．若h ＝1，则h 的值为（ ）
n 1 n
第2页（共30页）A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝ ．
14．（5分）一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是 ．
15．（5分）若 + ＝2，则分式 的值为 ．
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的 O
交AD于点E，则图中阴影部分的面积为 ． ⊙
三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）
17．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°．
18．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且
BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
19．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．
王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，
绘制了如下两幅不完整的统计图．
第3页（共30页）（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调査”），王老师所调查的4
个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现
要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男
一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
20．（9分）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部
B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？
（结果保留根号）
21．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于第
二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面
积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＜ 的解集；
第4页（共30页）（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）
22．（6分）若|1001﹣a|+ ＝a，则a﹣10012＝ ．
23．（6分）如图，点A、B、C在同一直线上，且AB＝ AC，点D、E分别是AB、BC的中点，分
别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面
积分别记作S 、S 、S ，若S ＝ ，则S +S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
24．（6分）若x、y、z为实数，且 ，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是 ．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，sinB＝ ，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿
EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时， 的值是 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）
26．（12分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多
20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每
第5页（共30页）件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不
低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）
元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货
方案．
27．（12分）AB与 O相切于点A，直线l与 O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与 O交
于点P，AP的延⊙长线交直线l于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：AB＝BC；
（2）若 O的半径为3，求线段AP的长；
（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求 O的半径r的取值
范围． ⊙ ⊙
28．（12分）两条抛物线C ：y ＝3x2﹣6x﹣1与C ：y ＝x2﹣mx+n的顶点相同．
1 1 2 2
（1）求抛物线C 的解析式；
2
（2）点A是抛物找C 在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求
2
AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C 的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C 的对称轴上是否存在点
2 2
Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C 上？若
2
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共30页）2019 年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义即可得到结论．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）﹣268000用科学记数法表示为（ ）
A．﹣268×103 B．﹣268×104 C．﹣26.8×104 D．﹣2.68×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字﹣268000用科学记数法表示应为：﹣2.68×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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第7页（共30页）【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、主视图是三角形，故此选项正确；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是圆，故此选项错误；
D、主视图是矩形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所
得到的图形．
4．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【考点】K7：三角形内角和定理；X1：随机事件．
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【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
【解答】解：A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：B．
【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问
题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的
数学素养．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
第8页（共30页）C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形
与轴对称图形的概念，属于基础题．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）2＝m6
C．m3+m3＝2m3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公
式．
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【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简
即可判断．
【解答】解：A．m2•m3＝m5，故选项A不合题意；
B．（m4）2＝m8，故选项B不合题意；
C．m3+m3＝2m3，故选项C符合题意；
D．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故选项D不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的运算法则、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟记公式
是解答本题的关键．
7．（3分）在函数y＝ + 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，4﹣x≥0，
解得，x≤4且x≠﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义
的条件是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（ ）
第9页（共30页）A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】利用平行线分线段成比例定理得到 ＝ ，利用比例性质求出AE，然后计算
AE+EC即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
9．（3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三
角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边
长度，继而相加即可得．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识
点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到
△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
第10页（共30页）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
【考点】KQ：勾股定理；R2：旋转的性质．
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【分析】根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是
解题的关键．
11．（3分）若关于x的不等式组 恰有三个整数解，则a的取值范围
是（ ）
A．1≤a＜ B．1＜a≤ C．1＜a＜ D．a≤1或a＞
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值
范围．
【解答】解：解不等式 + ＞0，得：x＞﹣ ，
解不等式3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得：x＜2a，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴2＜2a≤3，
第11页（共30页）解得1＜a≤ ，
故选：B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下
原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．（3分）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B 处，称
1
为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h ；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点
1
D 的直线折叠，使点B落在DE边上的B 处，称为第二次操作，折痕D E 到AC的距离记
1 2 1 1
为h 2 ；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1 E n﹣1 ，到AC的距离
记为h ．若h ＝1，则h 的值为（ ）
n 1 n
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【考点】38：规律型：图形的变化类；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出h ＝ ，依次得出h 、h 、
2 3 4
h 、……h ，再对h 进行计算变形即可．
5 n n
【解答】解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h
1
∴点B到DE的距离＝h ＝1，
1
∵D 是BD的中点，折痕D E 到AC的距离记为h ，
1 1 1 2
∴D E 到AC的距离h ＝h +点B到D E 的距离＝1+ h ＝1+ ，
1 1 2 1 1 1 1
同理：h ＝h + h ＝1+ + ，
3 2 1
h ＝h + h ＝1+ + +
4 3 1
……
h ＝1+ + + +…+ ＝2﹣
n
第12页（共30页）故选：C．
【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发现规
律得出一般性的结论．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝ x （ y ﹣ 1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：xy2﹣2xy+x，
＝x（y2﹣2y+1），
＝x（y﹣1）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因
式，分解因式要彻底．
14．（5分）一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是 2 ．
【考点】W7：方差．
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【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…
1 2
+（x ﹣ ）2]代入计算即可．
n
【解答】解：这组数据的平均数是：（1+2+3+4）÷5＝2，
则方差S2＝ [（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x
1 2 n 1
﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
2 n
反之也成立．
15．（5分）若 + ＝2，则分式 的值为 ﹣ 4 ．
【考点】64：分式的值．
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【分析】由 + ＝2，可得m+n＝2mn；化简 ＝ ，即可求解；’
【解答】解： + ＝2，可得m+n＝2mn，
第13页（共30页）＝
＝
＝﹣4；
故答案为﹣4；
【点评】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的
关键；
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的 O
⊙
交AD于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．
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【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝ OD＝1，DF＝
ODcos∠ODF＝ ，DE＝2DF＝2 ，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求
解可得．
【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，
∴∠D＝30°，
则∠COE＝2∠D＝60°，
∵CD＝4，
∴CO＝DO＝2，
第14页（共30页）∴OF＝ OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2× ＝ ，
∴DE＝2DF＝2 ，
∴图中阴影部分的面积为 + ×2 ×1＝ + ，
故答案为： + ．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝
是解题的关键．
三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）
17．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】化简每一项为（﹣1）2019+（﹣ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°＝﹣1+4+（2﹣ ）+3× ；
【解答】解：（﹣1）2019+（﹣ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°
＝﹣1+4+（2﹣ ）+3×
＝3+2﹣ +
＝5；
【点评】本题考查实数的运算；掌握实数的运算，负整数指数幂的运算，牢记特殊三角函数
值是解题的关键．
18．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且
BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
第15页（共30页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
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【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS
定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角
形，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF＝ AE＝5 ．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键．
19．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．
王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，
绘制了如下两幅不完整的统计图．
第16页（共30页）（1）王老师采取的调查方式是 抽样调査 （填“普查”或“抽样调査”），王老师所调
查的4个班共征集到作品 2 4 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为 150 ° ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现
要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男
一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【考点】V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状
图法．
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【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占的
百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；
（2）用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的扇形周
心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率
公式求解．
【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，
4÷ ＝24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），
条形统计图为：
第17页（共30页）（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角＝360°× ＝150°；
故答案为抽样调査；24；150°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了统计图．
20．（9分）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部
B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？
（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第18页（共30页）【分析】作AE⊥BC于E，设BE＝x，利用正切的定义用x表示出EC，结合题意列方程求出
x，计算即可．
【解答】解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AD＝CE，
设BE＝x，
在Rt△ABE中，tanBAE＝ ，
则AE＝ ＝ x，
∵∠EAC＝45°，
∴EC＝AE＝ x，
由题意得，BE+CE＝120，即 x+x＝120，
解得，x＝60（ ﹣1），
∴AD＝CE＝ x＝180﹣60 ，
∴DC＝180﹣60 ，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60 ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于第
二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面
积为4．
（1）分别求出a和b的值；
第19页（共30页）（2）结合图象直接写出mx+n＜ 的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标
代入可求b的值，
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，
注意由两部分．
（3）由对称对称点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出
直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC ＝4，即 ，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y＝ 得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝ ，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n＜ 的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；′′B′
第20页（共30页）（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大，
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
解得：k＝ ，b＝ ，
∴直线AP的关系式为y＝ x+ ，
当y＝0时，即 x+ ＝0，解得x＝ ，
∴P（ ，0）
【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系
式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）
22．（6分）若|1001﹣a|+ ＝a，则a﹣10012＝ 100 2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即
可．
【解答】解：∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|+ ＝a，得﹣1001+a+ ＝a，
第21页（共30页）∴ ＝1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
23．（6分）如图，点A、B、C在同一直线上，且AB＝ AC，点D、E分别是AB、BC的中点，分
别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面
积分别记作S 、S 、S ，若S ＝ ，则S +S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S ，S ，S ，根据
1 2 3
题意计算即可．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S ＝DH•AD＝ ，即2x•2x＝ ，
1
，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S ＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
2
第22页（共30页）S ＝EN•BE＝x•x＝x2，
3
∴S +S ＝2x2+x2＝3x2＝ ，
2 3
故答案为： ．
【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个
角都是90°是解题的关键．
24．（6分）若x、y、z为实数，且 ，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是 2 6 ．
【考点】9C：解三元一次方程组；H7：二次函数的最值．
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【分析】解三元一次方程组，用z表示出x、y，根利用配方法计算即可．
【解答】解： ，
﹣ 得，y＝1+z，
①把y＝②1+z代入 得，x＝2﹣z，
则x2﹣3y2+z2＝①（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
当z＝﹣5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函数
最大值的一般步骤是解题的关键．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，sinB＝ ，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿
EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时， 的值是 ．
【考点】L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】由折叠的性质可得AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN，设CF
第23页（共30页）＝4x，FN＝5x，BC＝9x，由勾股定理可得CN＝3x，GM＝ x，AE＝EM＝2x，即可求 的
值．
【解答】解：延长CM交AD于点G，
∵将四边形AEFB沿EF翻折，
∴AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°
∵sinB＝ ＝sinN＝ ，
∴设CF＝4x，FN＝5x，
∴CN＝ ＝3x，
∴BC＝9x＝AB＝CD＝AD，
∵sinB＝ ＝sinD＝
∴GC＝
∴GM＝GC﹣（MN﹣CN）＝ ﹣6x＝ x
∵∠A+∠B＝180°，∠EMC+∠EMG＝180°
∴∠B＝∠EMG
∴sinB＝sin∠EMG＝ ＝
∴cos∠EMG＝ ＝
∴EM＝2x，
∴AE＝2x，
第24页（共30页）∴ ＝
故答案为：
【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参
数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）
26．（12分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多
20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每
件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不
低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）
元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货
方案．
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用3000元购进A种商品和用1800元购
进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种
商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，根据y＝A商品的利润+B商品的利润，根据m的值
及一次函数的增减性可得结论．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得： ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
50﹣20＝30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，
第25页（共30页）由题意得： ，
解得： ，
∵a为正整数，
∴a＝14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，
由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a），
＝（15﹣m）a+600，
当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大，
①∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，
当m＝15时，15﹣m＝0，
②y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小，
③∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
27．（12分）AB与 O相切于点A，直线l与 O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与 O交
于点P，AP的延⊙长线交直线l于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：AB＝BC；
（2）若 O的半径为3，求线段AP的长；
（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求 O的半径r的取值
范围． ⊙ ⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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第26页（共30页）【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据等腰三角形的性质、对顶角
相等得到∠BAC＝∠BCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 PD，根据勾股定理求出 BC，PC，证明
△DAP∽△PBC，根据相似⊙三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，根据勾股定理用r表示出AB，得到DE的
长，根据题意计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，
∵AB与 O相切，
∴∠OAB⊙＝90°，
∴∠OAP+∠BAC＝90°，
∵OB⊥l，
∴∠BCA+∠BPC＝90°，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC；
（2）解：如图1，连接AO并延长交 O于D，连接PD，
则∠APD＝90°， ⊙
∵OB＝5，OP＝3，
∴PB＝2，
∴BC＝AB＝ ＝4，
在Rt△PBC中，PC＝ ＝2 ，
∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，
∴△DAP∽△PBC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AP＝ ；
（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，
则OE＝ BC＝ AB＝ × ，
第27页（共30页）由题意得， O于MN有交点，
⊙
∴OE≤r，即 × ≤r，
解得，r≥ ，
∵直线l与 O相离，
∴r＜5， ⊙
则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形， O的半径r的取值范围为： ≤r＜5．
⊙
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，
勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
28．（12分）两条抛物线C ：y ＝3x2﹣6x﹣1与C ：y ＝x2﹣mx+n的顶点相同．
1 1 2 2
（1）求抛物线C 的解析式；
2
（2）点A是抛物找C 在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求
2
AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C 的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C 的对称轴上是否存在点
2 2
Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C 上？若
2
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第28页（共30页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）y ＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4）也是y ＝x2﹣mx+n的顶点，即可求m，n；
1 2
（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2﹣2a﹣3），所以AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，可得AP+OP＝﹣
a2+3a+3＝﹣ 由已知可知0＜a＜3，即可求；
（3）假设C 的对称轴上存在点Q，过点B'作B'D⊥l于点D，可得∠B'DQ＝90°；
2
当点Q在顶点C的下方时，可证△BCQ≌△QDB'，设点Q（1，b），所以B'D＝CQ＝﹣4
①﹣b，QD＝BC＝2，可知B（' ﹣3﹣b，2+b），可得（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，可求b＝
﹣5，Q（1，﹣5）， 当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）．
【解答】解：（1）y 1②＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4），
∵抛物线C ：y ＝3x2﹣6x﹣1与C ：y ＝x2﹣mx+n的顶点相同
1 1 2 2
∴m＝2，n＝﹣3，
∴y ＝x2﹣2x﹣3；
2
（2）作AP⊥x轴，
设A（a，a2﹣2a﹣3），
∵A在第四象限，
∴0＜a＜3，
∴AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，
∴AP+OP＝﹣a2+3a+3＝﹣
∵0＜a＜3，
∴AP+OP的最大值为 ；
（3）假设C 的对称轴上存在点Q，
2
过点B'作B'D⊥l于点D，
∴∠B'DQ＝90°，
第29页（共30页）当点Q在顶点C的下方时，
①∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），抛物线的对称轴为x＝1，
∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°，
∴△BCQ≌△QDB'（AAS）
∴B'D＝CQ，QD＝BC，
设点Q（1，b），
∴B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，
可知B'（﹣3﹣b，2+b），
∴（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，
∴b2+7b+10＝0，
∴b＝﹣2或b＝﹣5，
∵b＜﹣4，
∴Q（1，﹣5），
当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）；
②综上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；
【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，分类探索点的存在
性，数形结合解题是关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/29 11:35:17；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
第30页（共30页）
