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四川省内江市 2015 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•内江）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
考点：算术平方根．
分析：算术平方根的 . 概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫
做a的算术平方根 ．依此即可求解．
解答：解：9的算术平方根是3．
故选：C．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致
错误．
2．（3分）（2015•内江）用科学记数法表示0.0000061，结果是（ ）
A．6.1×10﹣5 B．6.1×10﹣6 C．0.61×10﹣5 D．61×10﹣7
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用 . 科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
面的0的个数所决定．
解答：解：用科学记数法表示0.0000061，结果是6.1×10﹣6．
故选：B．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2015•内江）如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
.
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：
解：从上面看易得俯视图为 ．
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）（2015•内江）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方
差是（ ）A．10 B． C． D．2
考点：方差；算术平均数．
.
分析：首先根据算术平均数的概念求出a的值，然后把数据代入方差公式求出数值．
解答：解：∵3，a，4，6，7，它们的平均数是5，
∴ =5，
∴a=5，
∴s2= [（5﹣3）2+（5﹣5）2+（5﹣4）2+（5﹣6）2+（5﹣7）2 =2．
故选D．
]
点评：本题主要考查了方差以及算术平均数的知识，解答本题的关键是根据算术平均数的概
念求出a的值，此题难度不大．
5．（3分）（2015•内江）函数y= + 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1
考点：函数自变量的取值范围．
.
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≤2且x≠1．
故选：B．
点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根
式的被开方数是非负数．
6．（3分）（2015•内江）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5
秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式．
.
分析：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用
黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即
可．
解答：解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
5÷（30+25+5）
=5÷60
=
故选：A．
点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事
件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事
件）=1．（3）P（不可能事件）=0．
7．（3分）（2015•内江）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a3•a4=a12 C．a6÷a3=a2 D．4a﹣a=3a
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
.
分析：根据同类项的定义及合并同类相法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂
相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
[来源:学科网]
B、应为a3•a4=a3+4=a7，故本选项错误；
C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；
D、4a﹣a=（4﹣1）a=3a，正确．
故选D．
点评：本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法则是解
题的关键．
8．（3分）（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交
CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．
.
分析：根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据
等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解答：解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
点评：考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键
是得到∠C=∠CBA=70°．
9．（3分）（2015•内江）植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女
生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
.
分析：设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方
程组即可．
解答：解：设男生有x人，女生有y人，
根据题意可得： ，
故选D．
点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
10．（3分）（2015•内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D
点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．45°
考点：切线的性质．
.
分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD
为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
解答：解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它
所夹的弧对的圆周角求解．
11．（3分）（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方
形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
.
分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，
而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从
而得出结果．
解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2 ．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 ．故所求最小值为2 ．
故选B．
点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的
位置是解决问题的关键．
12．（3分）（2015•内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点
A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y= 与正方形ABCD有
公共点，则k的取值范围为（ ）
[来源:Zxxk.Com]
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
.
分析：先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出
B、C两点的坐标，再根据双曲线y= （k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可．
解答：解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的
坐标是（1，1），
∵AB=BC=3，
∴C点的坐标是（4，4），
∴当双曲线y= 经过点（1，1）时，k=1；
当双曲线y= 经过点（4，4）时，k=16，
因而1≤k≤16．
故选：C．
点评：本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理
解题意进而求出k的值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2015•内江）分解因式：2x2y﹣8y= 2 y （ x+ 2 ）（ x﹣ 2 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
.
专题：常规题型．
分析：先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：2x2y﹣8y，
=2y（x2﹣4），
=2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（5分）（2015•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别
以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若
AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
考点：翻折变换（折叠问题）．
.
分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作
AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以
AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出
AH=2 ，所以EF= ．
解答：解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的
点F处，
∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，
∴DC=2EF，AB=5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，
在Rt△ABH中，AH= =2 ，
∴EF= ．
故答案为： ．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
15．（5分）（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x ，x ，且满足 +
1 2
=3，则k的值是 2 ．
考点：根与系数的关系．
.
分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之
积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
解答：解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =6，x x =k，
1 2 1 2
+ = = =3，
解得：k=2，
故答案为：2．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本
题的关键．
16．（5分）（2015•内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 2 n（ n+ 1 ） 根
火柴棒．（用含n的代数式表示）
考点：规律型：图形的变化类．
.
专题：压轴题．
分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答
案．
解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；
n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；
n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；
[来源:学科网ZXXK]
…
n=n时，根数为：2n（n+1）．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找
出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推算步骤）
17．（7分）（2015•内江）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（ ）﹣2﹣2sin60°+ ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
.
分析：本题涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个
考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（ ）﹣2﹣2sin60°+
=2﹣1+2﹣ +2
=3+ ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式
化简等考点的运算．
18．（9分）（2015•内江）如图，将 ▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE
交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
.
专题：证明题．
分析：（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出
两三角形全等即可；
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质
和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
19．（9分）（2015•内江）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴
我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得
分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第
四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不
含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145
分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生
大约有多少名？
（3）如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定
从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求
出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图．
.
分析：（1）首先根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；则可
求得第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；即可补全统计图；
（2）由题意可求得：考试成绩评为“B”的学生大约有： ×1500=420（名）；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名学生
刚好是一名女生和一名男生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；
则第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；
如图：
（2）根据题意得：考试成绩评为“B”的学生大约有： ×1500=420（名）；
（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有10种情
况，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为： = ．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与扇形统计图的知识．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）（2015•内江）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M
地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），
问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
.
分析：根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P点到
MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此
求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．
解答：解：过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD•cot45°=PD，
ND=PD•cot30°= PD，
∵MD+ND=MN=2，
即 PD+PD=2，
∴PD= = ﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
点评：考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常
需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．
21．（10分）（2015•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每
台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数
量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总
利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合
理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价
不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方
案．
考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
.
分析：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用
80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解
答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）
x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得： ，得
到 ，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共
有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况
讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
解答：解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得： ，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得： ，
解得： ，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64
台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61
台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不
变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时
根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）（2015•内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6 ．
考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．
.
分析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角
三角形，利用勾股定理求出BC的长．
解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC= = =6 ，
故答案为：6 ．°
点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的
关键．
23．（6分）（2015•内江）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y= x+b（b为常数
且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ= ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．
.
分析：设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，根据三角形内角和定理求得∴∠OAB=∠OPQ，
根据一次函数图象上点的坐标特征求得tan∠OAB= ，进而就可求得．
解答：解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，
∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，
∴∠OAB=∠OPQ，
由直线的斜率可知：tan∠OAB= ，
∴tan∠OPQ= ；
故答案为 ．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得∠OAB=∠OPQ是解题的关键．
24．（6分）（2015•内江）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的
中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下
面四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD ：S正方形ECGF =1： ；④EM：MG=1：
（1+ ），其中正确结论的序号为 ② ．
考点：四边形综合题．
.
分析：证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得
∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH是
△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两
个三角形的边长的比，则③④即可判断．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
同理可得CE=CG，∠DCG=90°，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG，
∴∠BEC=∠DGC，
∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，
∴∠EDH+∠BEC=90°，
∴∠EHD=90°，
∴HG⊥BE，则CH⊥BE错误，
则故①错误；
∵在△BGH和△EGH中， ，
∴△BGH≌△EGH，
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO BG，
故②正确；
设EC和OH相交于点N．
设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∵OH∥BC，
∴△DHN∽△DGC，
∴ ，即 ，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a= 或a= （舍去），
则 ，
则S正方形ABCD ：S正方形ECGF =（ ）2= ，故③错误；
∵EF∥OH，
∴△EFM∽△OMH，
∴ = ，
∴ ，
∴ = = = ．故④错误．
故正确的是②．
故答案是：②．
点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
25．（6分）（2015•内江）已知实数a，b满足：a2+1= ，b2+1= ，则2015|a﹣b|= 1 ．
考点：因式分解的应用；零指数幂．
.
分析：
由于a2+1= ，b2+1= ，两式相减可得a2﹣b2= ﹣ ，则有（a+b）（a﹣b）= ，分解因
式可得a=b，依此可得2015|a﹣b|=20150，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．
解答：
解：∵a2+1= ，b2+1= ，
两式相减可得a2﹣b2= ﹣ ，
（a+b）（a﹣b）= ，
[ab（a+b）+1 （a﹣b）=0，
∴a﹣b=0，即a=b，
∴2015|a﹣b|=201]50=1．
故答案为：1．
点评：考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答时应写出必要的文字说明或演算
步骤）
26．（12分）（2015•内江）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）= a 2 ﹣ b 2 ；（a﹣b）（a2+ab+b2）= a 3 ﹣ b 3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a 4 ﹣ b 4 ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= a n ﹣b n （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
[来源:Zxxk.Com]
考点：平方差公式．
.
专题：规律型．
分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
解答：解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式=an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
点评：此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
27．（12分）（2015•内江）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径
AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 CD+OD的最小值为6时，求
⊙O的直径AB的长．
考点：圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．
.
专题：综合题．
分析：（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决
问题；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱
形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH= DC，从而有
CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
解答：解：（1）连接OC，如图1，
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°= OC，
∴OC= = h，
∴AB=2OC= h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF= ∠AOC= （180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC，∴ CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH= OF=6，
则OF=4 ，AB=2OF=8 ．
∴当 CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8 ．
点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊
角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等
知识，把 CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．
28．（12分）（2015•内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣ ，0）、点B（2，0），与y轴交于点C
（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣ ＜t＜
2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣ ＜t＜2且t≠0时△OPN∽△ COB，求点N的坐标．
考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质．
.
专题：综合题．
分析：（1）可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）当﹣ ＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就
可得到S与t的函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO= ，需分﹣ ＜t＜0和0＜t＜2两
种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣ x2+ x+1；
（2）当﹣ ＜t＜2时，yN＞0，
∴NP= =y =﹣ t2+ t+1，
N
∴S= AB•PN
= ×（2+ ）×（﹣ t2+ t+1）
= （﹣ t2+ t+1）
=﹣ t2+ t+ ；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴ = ，
∴ = ，
∴PN=2PO．
①当﹣ ＜t＜0时，PN= =y =﹣ t2+ t+1，PO= =﹣t，
N
∴﹣ t2+ t+1=﹣2t，
整理得：3t2﹣9t﹣2=0，
解得：t = ，t = ．
1 2
∵ ＞0，﹣ ＜ ＜0，
∴t= ，此时点N的坐标为（ ， ）；
②当0＜t＜2时，PN= =y =﹣ t2+ t+1，PO= =t，
N
∴﹣ t2+ t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t =﹣ ，t =1．
3 4
∵﹣ ＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（ ， ）或（1，2）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值
表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要
舍去．
