文档内容
2022年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•内江）﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．（3分）（2022•内江）某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，
31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
3．（3分）（2022•内江）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
4．（3分）（2022•内江）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下
是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•内江）下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
6．（3分）（2022•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
第1页（共37页）A．跟 B．党 C．走 D．听
7．（3分）（2022•内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD
边于点M，则DM的长为（▱ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）（2022•内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立
的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
9．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，
1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
10．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直
线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于P、Q两点．若S△POQ ＝
第2页（共37页）15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
11．（3分）（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为6，则这个正六边形的边
心距OM和 的长分别为（ ） ⊙
A．4， B．3 ， C．2 ， D．3 ，2
π π
12．（3分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x ，0）、（2，0），其中0＜
1
x ＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣
1
x+c的解集为0＜x＜x ．其中正确结论的个数是（ ）
1
第3页（共37页）A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）（2022•内江）函数 的自变量x的取值范围是 ．
14．（5分）（2022•内江）如图，在 O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 ．
⊙
15．（5分）（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a b＝ ﹣ ．若（2x﹣1） 2＝1，则x的值
⊕ ⊕
为 ．
16．（5分）（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正
方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若正方形EFGH的边长为4，则
1 2 3
S +S +S ＝ ．
1 2 3
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（2022•内江）（1）计算： +|（﹣ ）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝﹣ ，b＝ +4．
18．（8分）（2022•内江）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF； ▱
（2）四边形AECF是平行四边形．
第4页（共37页）19．（9分）（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠
病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成
绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下
列不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
74.5﹣79.5 2 0.05
79.5﹣84.5 8 n
84.5﹣89.5 12 0.3
89.5﹣94.5 m 0.35
94.5﹣99.5 4 0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2
名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．（9分）（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间
的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，
∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
第5页（共37页）（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
21．（10分）（2022•内江）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径， O的切线PC交BA
的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交⊙PC于点F，⊙连接AF．⊙
（1）判断直线AF与 O的位置关系并说明理由；
（2）若 O的半径为⊙6，AF＝2 ，求AC的长；
（3）在⊙（2）的条件下，求阴影部分的面积．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
23．（6分）（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y
＝ 的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的
取值范围是 ．
第6页（共37页）24．（6分）（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 +
1 2
＝x 2+2x ﹣1，则k的值为 ．
1 2
25．（6分）（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动
点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中
学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队
30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名
学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
27．（12分）（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，
且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若 ＝2，求 的值；
（3）若MN∥BE，求 的值．
第7页（共37页）28．（12分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴
交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最
大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求
点P的坐标．
第8页（共37页）2022年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•内江）﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．（3分）（2022•内江）某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，
31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为： ＝33（辆），
故选：B．
【点评】本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．
3．（3分）（2022•内江）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算
并作出判断即可．
【解答】解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B．（a3）2＝a6，故符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合题意；
D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础
第9页（共37页）题型．
4．（3分）（2022•内江）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下
是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中
心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的
关键．
5．（3分）（2022•内江）下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【分析】根据随机事件的定义，抽样调查和全面调查的特点，方差的特点，样本容量的定义
解答即可．
【解答】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事
件，故A选项不符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．
第10页（共37页）故选：B．
【点评】本题主要考查了随机事件，抽样调查和全面调查，方差的，样本容量，熟练掌握相
关的定义和特点是解答本题的关键．
6．（3分）（2022•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：C．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断
的前提．
7．（3分）（2022•内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD
边于点M，则DM的长为（▱ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则
MC＝BC＝8，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
第11页（共37页）故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟
练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．
8．（3分）（2022•内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立
的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对
每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在
数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
9．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，
1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
第12页（共37页）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以
得到△ODE．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性
质是解题的关键．
10．（3分）（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直
线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于P、Q两点．若S△POQ ＝
15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【分析】设点P（a，b），则Q（a， ），依据已知条件利用待定系数法解答即可．
【解答】解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣ ，
第13页（共37页）∴PQ＝PM+MQ＝b﹣ ．
∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ab＝8．
∵S△POQ ＝15，
∴ PQ•OM＝15，
∴ ×a（b﹣ ）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利
用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．（3分）（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为6，则这个正六边形的边
心距OM和 的长分别为（ ） ⊙
A．4， B．3 ， C．2 ， D．3 ，2
π π
【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到
△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求
出 的长．
【解答】解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
第14页（共37页）∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM＝ BC＝3，
∴OM＝ ＝ ＝3 ，
的长为： ＝2 ，
π
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的
关键．
12．（3分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x ，0）、（2，0），其中0＜
1
x ＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣
1
x+c的解集为0＜x＜x ．其中正确结论的个数是（ ）
1
第15页（共37页）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线对称轴x＝﹣ ＞1，a＞0，
∴b＜﹣2a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴2a﹣c＞a＞0，
∴③正确．
如图：
第16页（共37页）设y ＝ax2+bx+c，y ＝﹣ x+c，
1 2
由图值，y ＞y 时，x＜0或x＞x ，
1 2 1
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）（2022•内江）函数 的自变量x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（5分）（2022•内江）如图，在 O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 100 ° ．
⊙
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
第17页（共37页）∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（5分）（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a b＝ ﹣ ．若（2x﹣1） 2＝1，则x的值
⊕ ⊕
为 ．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：
＝1，
解得：x＝ ．
经检验，x＝ 是原方程的根，
∴x＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用
是解题的关键．
16．（5分）（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正
方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若正方形EFGH的边长为4，则
1 2 3
S +S +S ＝ 4 8 ．
1 2 3
第18页（共37页）【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S ＝（a+b）2，S ＝42＝16，S ＝（a﹣b）2，
1 2 3
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S +S +S ＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
1 2 3
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求
解本题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（2022•内江）（1）计算： +|（﹣ ）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝﹣ ，b＝ +4．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分
别化简，进而得出答案；
（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）原式＝ ×2 +2﹣2×
＝ +2﹣
＝2．
（2）原式＝[ + ]•
＝ •
第19页（共37页）＝ ．
当a＝﹣ ，b＝ +4时，原式＝ ．
【点评】本题考查了二次根式的运算，特殊角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化
简求值，正确熟练的运算是解题的关键．
18．（8分）（2022•内江）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF； ▱
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到
∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明
AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四
第20页（共37页）边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
19．（9分）（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠
病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成
绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下
列不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
74.5﹣79.5 2 0.05
79.5﹣84.5 8 n
84.5﹣89.5 12 0.3
89.5﹣94.5 m 0.35
94.5﹣99.5 4 0.1
（1）表中m＝ 1 4 ，n＝ 0. 2 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2
名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由样本容量乘以频率得出m的值，再由频率的定义求出n的值即可；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生
的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，
故答案为：14，0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
第21页（共37页）（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树
状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间
的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，
∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
第22页（共37页）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义
求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在
Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30 +30）米，AB＝EF，先利用平角定义
求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算
即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝30 +30，
经检验：x＝30 +30是原方程的根，
∴AE＝（30 +30）米，
∴河的宽度为（30 +30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30 +30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝ ＝ ＝（30+10 ）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30 +30﹣（30+10 ）＝20 （米），
∴古树A、B之间的距离为20 米．
第23页（共37页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
21．（10分）（2022•内江）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径， O的切线PC交BA
的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交⊙PC于点F，⊙连接AF．⊙
（1）判断直线AF与 O的位置关系并说明理由；
（2）若 O的半径为⊙6，AF＝2 ，求AC的长；
（3）在⊙（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出
∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝ OA＝3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面
积公式可得出答案．
【解答】解：（1）直线AF与 O相切．
⊙
第24页（共37页）理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝ AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2 ，
第25页（共37页）∴tan∠AOF＝ ，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝ OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝ OC＝6 ，
∴S△OCP ＝ OC•CP＝ ＝18 ，S扇形AOC ＝ ＝6 ，
π
∴阴影部分的面积为S△OCP ﹣S扇形AOC ＝18 ﹣6 ．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性π质，全等三角形的判定与性质，平行线
的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性
质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ （ a 2 + 1 ）（ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解
题的关键．
23．（6分）（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y
＝ 的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的
取值范围是 ＜ m ＜ 2 ．
第26页（共37页）【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求
得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．
【解答】解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如
图，
∵P（2，3），反比例函数y＝ ，
∴A（ ，3），B（2，1）．
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴ ＜m＜2．
故答案为： ＜m＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函
数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解
题的关键．
第27页（共37页）24．（6分）（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 +
1 2
＝x 2+2x ﹣1，则k的值为 2 ．
1 2
【分析】根据x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x +x ＝2，x •x ＝k﹣
1 2 1 2 1 2
1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，把 + ＝x 2+2x ﹣1变形再整体代入可得 ＝4﹣k，
1 1 1 2
解出k的值，并检验即可得k＝2．
【解答】解：∵x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2＝2x ﹣k+1，
1 1
∵ + ＝x 2+2x ﹣1，
1 2
∴ ＝2（x +x ）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系
数的关系得出x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求
1 2 1 2
得的k值检验原方程是否有实数根．
25．（6分）（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动
点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 1 0 ．
第28页（共37页）【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，
则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定
理求出AG的长即可．
【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助
线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中
学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队
30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名
学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
第29页（共37页）甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加
此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：
，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，
租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学
校租车总费用最少是2800元．
【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有
（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得： ，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客
第30页（共37页）车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读
懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
27．（12分）（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，
且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若 ＝2，求 的值；
（3）若MN∥BE，求 的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为
CD的中点，即可证明结论；
（2）利用△BMF∽△ECF，得 ，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，
得 ，求出AN的长，可得答案；
（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，
第31页（共37页）可得BM的长，由（2）同理可得答案．
【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴ ，
∵CE＝3，
∴BM＝ ，
∴AM＝ ，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴ ，
第32页（共37页）∴ ，
∴ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
∴ ；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
由（2）同理得， ，
∴ ，
解得AN＝ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
第33页（共37页）∴ ＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
28．（12分）（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴
交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最
大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求
点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法
求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的
代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝ DG，可得出关于m
的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB ：S△PCA ＝ EB×（y
C
﹣y
P
）： AE×（y
C
﹣y
P
）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C
（0，2）．
第34页（共37页）∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣ m2﹣ m+2，GH＝ m+2
∴DG＝﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2＝﹣ m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
第35页（共37页）∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝ ＝ ，
∴ ，
∴DE＝ DG＝ （﹣ m2﹣m）＝﹣ （m2+4m）＝﹣ （m+2）2+ ，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值 ．
此时y ＝﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2＝2，
D
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB ：S△PCA ＝ EB×（y
C
﹣y
P
）： AE×（y
C
﹣y
P
）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或 ，
第36页（共37页）故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝ x+2，
联立方程组 或 ，
解得：x＝6或﹣ （不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐
角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
第37页（共37页）
