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四川省内江市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示
为（ ）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
3．（3分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）
A．认 B．真 C．复 D．习
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a=a2B．（2a）3=6a3C．（a﹣1）2=a2﹣1 D．a3÷a=a2
5．（3分）已知函数y= ，则自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1
6．（3分）已知： ﹣ = ，则 的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
7．（3分）已知⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，圆心距OO=4cm，则⊙O 与⊙O 的位置
1 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
8．（3分）已知△ABC与△ABC 相似，且相似比为1：3，则△ABC与△ABC 的面积比为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
9．（3分）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考
生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A．400
1B．被抽取的400名考生
C．被抽取的400名考生的中考数学成绩
D．内江市2018年中考数学成绩
10．（3分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提
起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起
的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知
∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，
1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中
心对称，则点A′的坐标为（ ）
2A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：a3b﹣ab3= ．
14．（5分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图
形的概率是 ．
15．（5分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．（5分）已知，A、B、C、D是反比例函数y= （x＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整
数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作
四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是
（用含π的代数式表示）．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（7分）计算： ﹣|﹣ |+（﹣2 ）2﹣（π﹣3.14）0×（ ）﹣2．
18．（9分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且
∠AED=∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
319．（9分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个
水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下
（成绩得分均为整数）：
组别 成绩分组 频数 频率
1 47.5～59.5 2 0.05
2 59.5～71.5 4 0.10
3 71.5～83.5 a 0.2
4 83.5～95.5 10 0.25
5 95.5～107.5 b c
6 107.5～120 6 0.15
合计 40 1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a= ，b= ，c= ；
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，
预计优秀的人数约为 ，72分及以上为及格，预计及格的人数约为 ，及格的百
分比约为 ；
（3）补充完整频数分布直方图．
20．（9分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹
角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯
B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ= ，求灯杆AB的长度．
421．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号
手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每
部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A
型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x=1，x=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0
1 2
的两根之和为 ．
23．（6分）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB
不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的
最大值为 ．
24．（6分）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆
半径= ．
25．（6分）如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分
别为P，P，P，…，P ，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T，T，T，…，T ，用
1 2 3 n﹣1 1 2 3 n﹣1
S，S，S，…，S 分别表示Rt△TOP，Rt△TPP，…，Rt△T P P 的面积，则S+S+S+…
1 2 3 n﹣1 1 1 2 1 2 n﹣1 n﹣2 n﹣1 1 2 3
+S = ．
n﹣1
5五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作
OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC= ，DE= ，求AD的长．
27．（12分）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这
三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=
解决问题：
（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}= ，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取
值范围为 ；
（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；
（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．
628．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点
C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过
点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S，S，且S：S=4：5，求k
1 2 1 2
的值．
7参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．
【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．
【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．
故选：A．
3．
【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选：B．
4．
【解答】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；
D，a3÷a=a2，故该选项正确，
故选：D．
5．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故选：B．
6．
【解答】解：∵ ﹣ = ，
∴ = ，
8则 =3，
故选：C．
7．
【解答】解：∵⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，圆心距OO 为4cm，
1 2 1 2
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O 与⊙O 的位置关系是相交．
1 2
故选：C．
8．
【解答】解：已知△ABC与△ABC 相似，且相似比为1：3，
1 1 1
则△ABC与△ABC 的面积比为1：9，
1 1 1
故选：D．
9．
【解答】解：为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名
考生的中考数学成绩进行统计分析，
在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩．
故选：C．
10．
【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知y不变；
铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到
的浮力变小，根据称重法可知y变大；
铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变．
故选：C．
11．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，
9∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选：D．
12．
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则
，
解得 ，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则 =0， =﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
【解答】解：a3b﹣ab3，
=ab（a2﹣b2），
=ab（a+b）（a﹣b）．
14．
【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对
称图形，又是中心对称图形的①⑤，
∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是： ．
故答案为： ．
15．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，
∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故答案为：k≥﹣4．
16．
【解答】解：∵A、B、C、D、E是反比例函数y= （x＞0）图象上五个整数点，
∴x=1，y=8；
x=2，y=4；
x=4，y=2；
x=8，y=1；
∴一个顶点是A、D的正方形的边长为1，橄榄形的面积为：
2 ；
一个顶点是B、C的正方形的边长为2，橄榄形的面积为：
11=2（π﹣2）；
∴这四个橄榄形的面积总和是：（π﹣2）+2×2（π﹣2）=5π﹣10．
故答案为：5π﹣10．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．
【解答】解：原式=2 ﹣ +12﹣1×4
= +8．
18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
19．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.05=40人，
∴a=40×0.2=8，b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25，
故答案为：8、10、0.25；
（2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，
∴ 预 计 优 秀 的 人 数 约 为 8000×0.15=1200 人 ， 预 计 及 格 的 人 数 约 为 8000×
12（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800人，及格的百分比约为 ×100%=85%，
故答案为：1200人、6800人、85%；
（3）补全频数分布直方图如下：
20．
【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．
由题意得∠BDE=α，tan∠β= ．
设BF=3x，则EF=4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF= ，
∴DF= = = x，
∵DE=18，
∴ x+4x=18．
∴x=4．
13∴BF=12，
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆AB的长度为2米．
21．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得： ，
解得： ≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30，
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．
根据题意，得w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=21700（元）．
14因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．
【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x，x，
3 4
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t=1，t=2，
1 2
∴t+t=3，
1 2
∴x+x+2=3
3 4
故答案为：1
23．
【解答】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA=OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE= （AD+BC），
∴S = （AD+BC）•CD=OE•CD=3CD，
四边形ABCD
当CD=AB=4时，CD最大，S 最大，最大值为12．
四边形ABCD
24．
【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，
∴（a﹣1﹣4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，
∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，
∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，
15∴32+（4﹣r）2=r2，
解得，r= ，
故答案为： ．
25．
【解答】解：如图，作TM⊥OB于M，TN⊥PT．
1 2 1 1
由题意可知：△BTM≌△TTN≌△T A，四边形OMTP 是矩形，四边形PNTP 是矩形，
1 1 2 n﹣1 1 1 1 2 2
∴ = × × = ，S= ，S= ，
1 2
∴S+S+S+…+S = （S ﹣n ）= ×（ ﹣n× ）= ﹣ ．
1 2 3 n﹣1 △AOB
故答案为 ﹣ ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．
16【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知DE=BE=CE= BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
（3）∵DE= ，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC= = ，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=﹣1（舍）或x=1，
17∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC= = ，
∴AD=AC﹣CD= ﹣3= ．
27．
【解答】解：（1）∵sin45°= ，cos60°= ，tan60°= ，
∴M{sin45°，cos60°，tan60°}= ，
∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，
则 ，
∴x的取值范围为： ，
故答案为： ， ；
（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，
分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，
原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，
②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，
原等式变为：2×2=x+4，x=0，
③当x+2≥2时，即x≥0，
原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，
综上所述，x的值为﹣3或0；
（3）不妨设y=9，y=x2，y=3x﹣2，画出图象，如图所示：
1 2 3
结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣
182}=y=y，
A B
此时x2=9，解得x=3或﹣3．
28．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣ m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣ m﹣3）= m+4，
∴S =﹣m（ m+4）=﹣ （m2+3m）=﹣ （m+ ）2+3，
矩形GEFH
19∴m=﹣ ，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S = ×3（4+2）=9，
四边形ABCD
∵S：S=4：5，
1 2
∴S=4，
1
如图，
设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣ ，0），N（﹣ ，﹣3），
∴AM=﹣ +3，DN=﹣ +2，
∴S= （﹣ +3﹣ +2）×3=4，
1
∴k=
20
