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2022 年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【详解】−6的相反数是：6，
故选C.
2. 某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是
（ ）
A. 34 B. 33 C. 32.5 D. 31
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为： ＝33（辆），
故选：B．
【点睛】本题考查平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. （a3）2＝a6
C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. x6÷x3＝x2
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．
【详解】A.a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.（a3）2＝a6，故B符合题意；
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D.x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合题意．
故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全
平方公式，是解题的关键．
4. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图
形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋
转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对
称中心．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B. 要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C. 一组数据的方差越小，它的波动越小
D. 样本中个体的数目称为样本容量
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的定义、全面调查的意义、方差的意义以及样本容量的定义进行判定即可．【详解】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A
选项不符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查统计的相关定义，掌握其定义和意义是解决问题关键．
6. 如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A. 跟 B. 党 C. 走 D. 听
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：C．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
7. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（
）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC
＝8，进而可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．
8. 如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A. 1﹣2a＞1﹣2b B. ﹣a＜﹣b C. a+b＜0 D. |a|﹣|b|＞0
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴ ，
∴ ，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵∴ ，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关
知识．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是
Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【答案】D
【解析】
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【详解】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比
例函数 和 的图象交于P、Q两点．若S ＝15，则k的值为（ ）
△POQA. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22
【答案】D
【解析】
【分析】设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，则PQ＝PM+MQ＝ ，再
根据ab＝8，S ＝15，列出式子求解即可．
△POQ
【详解】解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，
∴PQ＝PM+MQ＝ ．
∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ab＝8．
∵S ＝15，
△POQ
∴ PQ•OM＝15，
∴ a（b﹣ ）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（）
A. 4， B. 3 ，π C. 2 ， D. 3 ，2π
【答案】D
【解析】
【分析】连接 、 ，证出 是等边三角形，根据勾股定理求出 ，再由弧长公式求出弧
的长即可．
【详解】解：连接 、 ，
六边形 为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，，
的长为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，
由勾股定理求出 是解决问题的关键．
12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x，0）、（2，0），其中0＜x＜1．下列四个结论：
1 1
①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣ x+c
的
解集为0＜x＜x
1
．其中正确结论的
个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x＝1时，y＜0即可判断②；根据对称轴为
，a＞0可判断③；y＝ax2+bx+c， 数形结合即可判断④．
1
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x，0）、（2，0），其中0＜x＜1，
1 1
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：设y＝ax2+bx+c， ，
1
由图值，y＞y 时，x＜0或x＞x，
1 2 1
故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问
题是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 函数 中，自变量 的取值范围是 .
【答案】 ．
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方
数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14. 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于_____【答案】100°
【解析】
【详解】试题分析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的 2倍.根据题意可得：
∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
考点：圆周角和圆心角
15. 对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ ，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以 得，
，
解得： ，
经检验，x＝ 是原方程的根，
∴x＝ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
16. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了
一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S、S．若正方形
1 2 3
EFGH的边长为4，则S+S+S＝_____．
1 2 3
【答案】48
【解析】
【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S、S、S，即可得到答
1 2 3
案．
【详解】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S＝（a+b）2，S＝42＝16，S＝（a﹣b）2，
1 2 3
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S+S+S＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
1 2 3
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了正方形的面积，勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形两直角边与三个正方
形的面积的关系，可寻找出三正方形面积之间的关系．
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中a＝﹣ ，b＝ +4．【答案】（1）2；（2） ，
【解析】
【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，进行乘方、绝对值运算，再进行乘法和加法运算；
（2）首先把分式化简，再代入a和b的值计算．
【详解】解：（1）原式＝
＝ +2﹣
＝2；
（2）原式＝[ ]•
＝
＝ ．
当a＝﹣ ，b＝ +4时，
原式＝ ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运
算，掌握解题步骤是解决问题的关键．
18. 如图， 中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到AB//CD，AB=CD，再证明角相等，用SAS证明两个三角形
全等即可．
（2）用（1）中全等三角形的结论我们得到边相等，角相等，再去证明平行．用一组对边平行且相等证明
四边形是平行四边形．
【详解】证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，
AB//CD，AB=CD，
，
在 和 中
，
．
（2）由（1）可知， ，
，
AE//CF，
四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共5
种，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等
的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角相等的四边
形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
19. 为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动
小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为
75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
74.5﹣79.5 2 0.05
79.5﹣84.5 8 n84.5﹣89.5 12 0.3
89.5﹣94.5 m 0.35
94.5﹣99.5 4 0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁
奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）14；0.2
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据总数为40，频率为0.35，求出m，根据频数为8，总数为40，求出频率n；
（2）根据89.5﹣94.5的频数为14，补全频数分布直方图即可；
（3）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2．
故答案为：14，0.2．
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：【小问3详解】
∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格是
解题的关键．
20. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行
的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）（30 +30）米；（2）20 米．
【解析】
【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt ADE中可表示出DE，在Rt ACE中可表示出
AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； △ △
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt BCF中，求出CF，继而可求出AB．
【小问1详解】 △
解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
△
∴tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝30 +30，
经检验：x＝30 +30是原方程的根，
∴AE＝（30 +30）米，
∴河的宽度为（30 +30）米；
【小问2详解】
过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30 +30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝ ＝ ＝（30+10 ）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30 +30﹣（30+10 ）＝20 （米），
∴古树A、B之间的距离为20 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角
形解决问题．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于
点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2 ，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）直线AF与⊙O相切．理由见解析
（2）6 （3）18 ﹣6π．【解析】
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出
∠OAF=∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF=30°，可得出AE= OA=3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC=60°，OC=6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出
答案．
【小问1详解】
直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在 AOF和 COF中，
△ △
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；【小问2详解】
∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即 ，
∵∠ ，
∴ ，
∴∠AOF＝30°，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴ ，
∴S ＝ ，
△OCP
的
∴阴影部分 面积=S ﹣S ＝ ．
△OCP 扇形AOC
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，
解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与
性质是解本题的关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象
交于点 .若一次函数 随 的增大而增大，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出过点P，且平行于x轴和y轴时对应的m值，即可得到m的取值范围．
【详解】当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为 ，代入 中，可得 ；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为 ，可得 ；
∵一次函数 随 的增大而增大，∴ 的取值范围是 ，
故答案 ：为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，找到两个临界是解决本题的关键．
24. 已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2 1 2
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
再根据 ＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
【详解】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
25. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当
点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵ ，EF＝CG，
∴四边形EFGC 是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三
点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践
基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客 乙型客
车 车
载客量
35 30
（人/辆）
租金
400 320
（元/辆）
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲
型客车5辆，租乙型客车3辆
（3）学校租车总费用最少是2800元．
【解析】
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法
作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
【小问1详解】
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
【小问2详解】
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得： ，解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型
客车5辆，租乙型客车3辆；
【小问3详解】
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题
意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中
点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若 ＝2，求 的值；
（3）若MN∥BE，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）（3）
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明
结论；
(2)利用△BMF∽△ECF，得 ，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得
，求出AN的长，可得答案；
(3)首先利用同角的余角相等得 CBF＝ CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的
∠ ∠
长，由（2）同理可得答案．
【小问1详解】
证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝ CD，
∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ，
∴AM＝CE；
【小问2详解】
∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，
∴ ，
∵CE＝3，
∴BM＝ ，
∴AM＝ ，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
∴ ；
【小问3详解】
∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）同理得， ，
∴ ，
解得：AN＝ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
28. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D
的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2） ，点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC
的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用
得到 ，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解
决问题；
（3）根据S ：S = 即可求解．
△PCB △PCA
【小问1详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴∴ ，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值 ．
此时 ，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
【小问3详解】
如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S ：S ＝ ，
PCB PCA
△ △
则EB：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或 ，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝ x+2，
联立方程组 或 ，
解得：x＝6或﹣ （不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、
图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
