文档内容
2016 年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2016•内江）﹣2016的倒数是（ ）
A．﹣2016 B．﹣ C． D．2016
2．（3分）（2016•内江）2016年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了9 180 000人
次，将9 180 000用科学记数法表示应为（ ）
A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107
3．（3分）（2016•内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角
的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（ ）
A．75° B．65° C．45° D．30°
4．（3分）（2016•内江）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2016•西宁）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2016•内江）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
第1页（共29页）7．（3分）（2016•内江）某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，
其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的
（ ）
A．最高分 B．中位数 C．方差 D．平均数
8．（3分）（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知
A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙
快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的
平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
9．（3分）（2016•内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．（3分）（2016•内江）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A．π﹣4 B． C．π﹣2 D．
11．（3分）（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P
到三边的距离之和为（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．（3分）（2016•内江）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 在y轴上，顶点C 、
1 1
E 、E 、C 、E 、E 、C …在x轴上，已知正方形A B C D 的边长为1，∠B C O=60°，
1 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1 1
B
1
C 1∥B
2
C 2∥B
3
C
3
…则正方形A
2016
B
2016
C
2016
D
2016
的边长是（ ）
第2页（共29页）A．（ ）2015 B．（ ）2016 C．（ ）2016 D．（ ）2015
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2016•江西）分解因式：ax2﹣ay2= ．
14．（5分）（2016•内江）化简：（ + ） = ．
15．（5分）（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，
OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
16．（5分）（2016•内江）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个
图形有 个小圆•（用含n的代数式表示）
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）（2016•内江）计算：|﹣3|+ •tan30°﹣ ﹣（2016﹣π）0+（ ）﹣1．
第3页（共29页）18．（9分）（2016•内江）如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作
BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
19．（9分）（2016•内江）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、
B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行
调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
第4页（共29页）20．（9分）（2016•内江）禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得
A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方
向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果
保留根号）．
21．（10分）（2016•内江）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，
BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点
G，交⊙O于点H，连接BD、FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．
第5页（共29页）B卷一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）（2016•内江）任取不等式组 的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=
﹣1的解为非负数的概率为 ．
23．（6分）（2016•内江）如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，则
△OAB的面积等于 ．
24．（6分）（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣
b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是 ．
25．（6分）（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B
两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 ．
第6页（共29页）二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）（2016•内江）问题引入：
（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=
（用α表示）；如图②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则∠BOC=
（用α表示）
拓展研究：
（2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= （用α
表示），并说明理由．
类比研究：
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=
∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= ．
27．（12分）（2016•内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，
另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的
一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求
出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
第7页（共29页）28．（12分）（2016•内江）已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线
C与直线l只有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l ：y=﹣3x+b交于点P，且
1
，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l 与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S =S ？若存在，
1 △APQ △BPQ
求k的值，若不存在，说明理由．
第8页（共29页）2016 年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2016•内江）﹣2016的倒数是（ ）
A．﹣2016B．﹣ C． D．2016
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2016的倒数是﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）（2016•内江）2016年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了9 180 000人
次，将9 180 000用科学记数法表示应为（ ）
A．918×104B．9.18×105C．9.18×106D．9.18×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将9 180 000用科学记数法表示为：9.18×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2016•内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角
的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．65°C．45°D．30°
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC∥DF，再根据两直线平行内错角相等得出
∠2=∠A=45°，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【解答】解：∵∠ACB=∠DFE=90°，
∴∠ACB+∠DFE=180°，
∴AC∥DF，
∴∠2=∠A=45°，
∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°．
故选A．
第9页（共29页）【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出∠2=∠A=45°是解题的关
键．
4．（3分）（2016•内江）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合．
5．（3分）（2016•西宁）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．
【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；
C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；
D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
6．（3分）（2016•内江）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＞4D．x≥3且x≠4
【分析】根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案．
第10页（共29页）【解答】解：由题意，得
x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得x≥3且x≠4，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等
式是解题关键．
7．（3分）（2016•内江）某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，
其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的
（ ）
A．最高分B．中位数C．方差D．平均数
【分析】根据中位数的意义分析．
【解答】解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名
同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的中位数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数
据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合
理的选择和恰当的运用．
8．（3分）（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知
A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙
快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的
平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根
据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出
方程即可．
【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
= ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．
9．（3分）（2016•内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
第11页（共29页）【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、
正方形、菱形与平行四边形间的关系．
10．（3分）（2016•内江）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A．π﹣4B． C．π﹣2D．
【分析】先证得三角形OBC是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得BC和BC边上的高，
然后根据S阴影=S扇形OBC ﹣S
△OBC
即可求得．
【解答】解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴△OBC的BC边上的高为： OB= ，
∴BC=2
∴S阴影=S扇形OBC ﹣S
△OBC
= ﹣ ×2 × =π﹣2，
故选C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= （n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考
查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．
11．（3分）（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P
到三边的距离之和为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点
P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．
【解答】解：如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH=3× = ，
S = BC•AH= AB•PD+ BC•PE+ AC•PF，
△ABC
第12页（共29页）∴ ×3•AH= ×3•PD+ ×3•PE+ ×3•PF，
∴PD+PE+PF=AH= ，
即点P到三角形三边距离之和为 ．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等
边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
12．（3分）（2016•内江）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 在y轴上，顶点C 、
1 1
E 、E 、C 、E 、E 、C …在x轴上，已知正方形A B C D 的边长为1，∠B C O=60°，
1 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1 1
B
1
C 1∥B
2
C 2∥B
3
C
3
…则正方形A
2016
B
2016
C
2016
D
2016
的边长是（ ）
A．（ ）2015B．（ ）2016C．（ ）2016D．（ ）2015
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即
可得出答案．
【解答】解：∵正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为1，∠B
1
C
1
O=60°，B
1
C 1∥B
2
C 2∥B
3
C
3
，
∴D
1
E
1
=B
2
E
2
，D
2
E
3
=B
3
E
4
，∠D
1
C
1
E
1
=∠C
2
B
2
E
2
=∠C
3
B
3
E
4
=30°，
∴D E =C D sin30°= ，
1 1 1 1
则B C = = =（ ）1，
2 2
同理可得：B C = =（ ）2，
3 3
故正方形A B C D 的边长是：（ ）n﹣1，
n n n n
则正方形A B C D 的边长为：（ ）2015，
2016 2016 2016 2016
第13页（共29页）故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律
是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2016•江西）分解因式：ax2﹣ay2= a （ x+ y ）（ x﹣ y ） ．
【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
=a（x2﹣y2），
=a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定
要彻底．
14．（5分）（2016•内江）化简：（ + ） = a ．
【分析】先括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：原式= •
=（a+3）•
=a．
故答案为：a．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．（5分）（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，
OE⊥BC，垂足为点E，则OE= \frac{12}{5 } ．
【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，再在Rt△OBC
中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC= =5，
第14页（共29页）∵OE⊥BC，
∴ OE•BC= OB•OC，
∴OE= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱
形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面
积公式．
16．（5分）（2016•内江）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个
图形有 4+ n （ n+ 1 ） 个小圆•（用含n的代数式表示）
【分析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，
第4个图形有24个小圆，
∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，
∴第n个图形有：4+n（n+1）．
故答案为：4+n（n+1），
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间
的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）（2016•内江）计算：|﹣3|+ •tan30°﹣ ﹣（2016﹣π）0+（ ）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，立方根定义，以及零指数幂、负整
数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3+ × ﹣2﹣1+2
=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（9分）（2016•内江）如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作
BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
第15页（共29页）【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明
△AEF和△DEC全等；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利
用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明
确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
19．（9分）（2016•内江）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、
B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行
调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
第16页（共29页）（1）这次被调查的学生共有 20 0 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷ =200（人）；
（2）首先求得C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人），继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位
同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷ =200（人）．
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人）；
补充如图．
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹨ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹨ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹨ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹨
∵共有12种等可能的情况，恰好选中乙、丙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）= = ．
第17页（共29页）【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）（2016•内江）禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得
A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方
向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果
保留根号）．
【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（200﹣x）海里，在
Rt△BCD中，根据tan45°= ，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，根据
cos45°= ，求出BC，从而得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=（200﹣x）海里，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD=x，
∵∠BAC=30°，
∴tan30°= ，
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan30°= （200﹣x），
则x= （200﹣x），
解得，x=100 ﹣100，
即BD=100 ﹣100，
在Rt△BCD中，cos45°= ，
解得：BC=100 ﹣100 ，
则100 ﹣100 ÷4=25（ ﹣ ）（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为25（ ﹣ ）海里/时．
第18页（共29页）【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关
键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
21．（10分）（2016•内江）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，
BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点
G，交⊙O于点H，连接BD、FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．
【分析】（1）连接OB，证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
（2）由等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于DF垂直平分AC，得到
AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，根据勾股定理得到EF的长，根据圆的面积公式即可得到结
论；
（3）推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF= EF，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得
到结论．
【解答】解：（1）BD与⊙O相切，
理由：如图1，连接OB，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠ABC=90°，AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BFE，
∴∠DBC=∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF=90°，
第19页（共29页）∴∠DBC+∠CBO=90°，
∴∠DBO=90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF=90°，BC=BF，
∴CF= BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，
∴BF= +1，
∴EF= = ，
∵∠CBF=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴⊙O的面积=（ EF）2•π= π；
（3）∵BH平分∠CBF，
∴ = ，
∴EH=FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF= EF= ，
∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴ ，
∴HG•HB=HF2=2+ ．
第20页（共29页）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股
定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌
握这些定理是解题的关键．
B卷一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）（2016•内江）任取不等式组 的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=
﹣1的解为非负数的概率为 \frac{1}{3 } ．
【分析】首先求得不等式组 的一个整数解，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数
时，k的整数解，继而求得答案．
【解答】解：∵解不等式组 的解集为：﹣ ＜k≤3，
∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，
关于x的方程：2x+k=﹣1的解为：x=﹣ ，
∵关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数，
∴k+1≤0，
解得：k≤﹣1，
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的为：﹣1，﹣2；
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用、不等式组的整数解以及一元一次方程的解．用到的知识
点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）（2016•内江）如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，则
△OAB的面积等于 \frac{3}{2 } ．
【分析】延长AB交y轴于点C，根据反比例函数系数的几何意义求出△BOC的面积与
△AOC的面积，然后相减即可得解．
【解答】解：延长BA交y轴于点C．
S = ×5= ，S = ×8=4，
△OAC △OCB
第21页（共29页）则S =S ﹣S =4﹣ = ．
△OAB △OCB △OAC
故答案是： ．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所
得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点，本题作辅助线把△OAB的面积转化为两个三角
形的面积的差是解题的关键．
24．（6分）（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣
b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是 P ＞ Q ．
【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜
0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、
Q的值．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，
∵﹣ =1，
∴b+2a=0，
x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
∴﹣ b﹣b+c＜0，
∴3b﹣2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b+2c＞0，
∴p=3b﹣2c，
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，
第22页（共29页）∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0
∴P＞Q，
故答案为：P＞Q．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函
数的性质是解题的关键．
25．（6分）（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B
两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 1 0 ．
【分析】点C关于OA的对称点C（′ ﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″
与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段
C′C″．
【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C（′ ﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= =10．
故答案为10．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在
找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）（2016•内江）问题引入：
（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=
90°+\frac{1}{2}α （用α表示）；如图②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则
∠BOC= 120°+\frac{1}{3}α （用α表示）
拓展研究：
第23页（共29页）（2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= 120°﹣\frac{1 }
{3}α （用α表示），并说明理由．
类比研究：
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=
∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= \frac {（ n﹣ 1 ） ×180°}{n}﹣\frac{1}{n}α
．
【分析】（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，然后表
示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+ α；如
图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+ α；
（2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣ α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC= ﹣ α．
【解答】解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠A）
=90°+ ∠A
=90°+ α；
如图②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
第24页（共29页）=180°﹣ （180°﹣∠A）
=120°+ ∠A
=120°+ α；
（2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠DBC+∠ECB）
=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°﹣ （∠A+180°）
=120°﹣ α；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠DBC+∠ECB）
=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°﹣ （∠A+180°）
= ﹣ α．
故答案为90°+ α，120°+ α；120°﹣ α； ﹣ α．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
27．（12分）（2016•内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，
另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的
一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求
出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
第25页（共29页）【分析】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，根据二次
函数的性质求解即可；
（3）由题意得不等式，即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，
解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，
∵a=﹣2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x= 时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；
（3）由题意得：﹣2x2+30x≥100，
解得：5≤x≤10．
【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键
是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
28．（12分）（2016•内江）已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线
C与直线l只有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l ：y=﹣3x+b交于点P，且
1
，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l 与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S =S ？若存在，
1 △APQ △BPQ
求k的值，若不存在，说明理由．
第26页（共29页）【分析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的
值；
（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD， + =2，同理 + =2，AC，BE是x2﹣（k+3）
x+4=0两根，即可；
（3）由S =S 得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．
△APQ △BPQ
【解答】解：（1）当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴直线l解析式为y=x，
∵ ，
∴x2﹣3x+m=x，
∴x2﹣4x+m=0，
∴△=16﹣4m=0，
∴m=4，
（2）如图，
分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴ ．
同理， ．
∵ + = ，
∴ + =2．
∴ + =2．
∴ + = ，
即 = ．
解方程组 ，
第27页（共29页）得x=x= ，
即PD= ．
由方程组 消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．
∴ ．
解得b=8．
（3）不存在．理由如下：
假设存在，
当S =S 时，有AP=PB，
△APQ △BPQ
于是PD﹣AC=PE﹣PD，
即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD= ，
∴k+3=2× ，
即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=﹣7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．
∴不存在实数k使S =S ．
△APQ △BPQ
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二
次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
第28页（共29页）参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；gbl210；HJJ；1286697702；sd2011；2300680618；
sdwdmahongye；nhx600；守拙；wdzyzmsy@126.com；lanchong；lf2-9；ZJX；gsls；sks；lantin；王
学峰；zcx；zhjh；弯弯的小河；星月相随（排名不分先后）
菁优网
2016年7月17日
第29页（共29页）
