文档内容
内江市 2020 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷
数学试题
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好．
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是2
故选：A．
【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键．
2. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．【详解】∵ ，
∴最小的数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大
的反而小．
3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转 180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中
心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选B.
4. 如图，已知直线 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°−50°＝130°，
故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 80，90 B. 90，90 C. 90，85 D. 90，95
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数、众数的定义即可求解．
【详解】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95
故中位数为90，众数为90
故选B．
【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位数、众数的定义．
6. 将直线 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时 k和b的值发生变
化．
7. 如图，在 中，D、E分别是AB和AC的中点， ，则 （ ）A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= BC，故可以判断出
△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ： =1：4，则 ：
=3：4，题中已知 ，故可得 =5， =20
故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断
△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
8. 如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，点B是 的中点，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝ ∠AOC，再根据圆周角定理解答．【详解】连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB＝ ∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝ ∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
9. 如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作 轴，垂足为点C，D为AC的中点，若
的面积为1，则k的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出 ，即可得出结论．
【详解】点A的坐标为（m，2n），∴ ，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥ 轴，△ADO的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
10. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．
折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5
尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设索为 尺，杆子为( )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于 一
元一次方程．
【详解】设索为 尺，杆子为( )尺，
根据题意得： ( ) ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
11. 如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知 ，则EF的长为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，
由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF
的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴BD= =5，
设AE的长度为x，
由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2，
∴x2+22=（4-x）2，
解得：x= ，ED=4- = ，
设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，
∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2，
∴y2+12=（3-y）2，
解得：x= ，DF=3- = ，在Rt△DEF中，EF= ，
故答案为：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出
DE和DF的长度是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 （ ）与
两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A. B.
.
C D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】∵ ，
∴当y=0时，x= ；当x=0时，y=2t+2，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域
（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理
解题意是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上．
2、答题前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数 中，自变量 的取值范围是_____ ．
【答案】
【解析】
【详解】根据函数可知： ,解得： ．
故答案为： ．
14. 2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五
十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗 的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为______________
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为： ，其中1≤∣ ∣﹤10，n为整数，确定a值和n值即可解答．
【详解】7亿=700000000= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定a的值和n的值是解答的关键．
15. 已知关于x的一元二次方程 有一实数根为 ，则该方程的另一个实数根为
_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一
元二次方程的定义确定m的值．
【详解】解：把x=-1代入 得m2-5m+4=0，解得m=1,m =4，
1 2
∵(m-1)2≠0，
∴m 1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a= .
∴a=- .故答案为: - ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方
程的根．也考查了一元二次方程的定义．
16. 如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，
则 的最小值为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则
最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即可得到答案．
【详解】解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交
于 ，则 最短，
四边形 为矩形， ， ，即 的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的
最小值问题，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17. 计算：
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简，
再进行加减计算即可．
【详解】解：【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和
零次幂的运算法则是解题的关键．
18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】（1）AB＝CD（2）70°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出 ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出△CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在 ABE和 CDF中，
∠△B＝∠C，△AE=DF ，∠A＝∠D．
∴△AEB≌△DFC．
∴AB＝CD.
（2）∵AB＝CD，
AB＝CF，
∴CD＝CF，
∵∠B＝∠C=40°，
∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三
角形的判定求出 ABE≌△CDF是解此题的关键．
19. 我市某中学举△行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制
成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1
名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】（1）5（2）72°；40（3）
【解析】
【分析】
（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；
（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为
m= ，
故答案为：72°；40；
（3）根据题意画树状图如下：∴P（女生被选中）= ．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法．
20. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海
监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 方向上，海监船继续向东航
行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的
【解析】
【分析】
（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；
（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．
【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，PD=BPsin60° 60 （海里），
∵ ，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌
握锐角三角函数的概念是解题的关键．
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线
于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若 ，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 OD⊥BC 得到 CD=BD，则 OE 为 BC 的垂直平分线，所以
EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线
的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º
角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；
（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用 代入数值即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD= BC=
∵OD2+BD2=OB2，
∴ ，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，
∴EF=OE-OF=8-4=4，
即EF=4；
（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，
∴∠BOC=120º，又BC= ，OE=8，
∴
=,
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、
勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 分解因式： _____________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
23. 若数a使关于x的分式方程 的解为非负数，且使关于y的不等式组
的解集为 ，则符合条件的所有整数a的积为_____________
【答案】40
【解析】【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a 5且a≠3，根据不等式组的解集为 ，即可得出a>0，找出00.
∴0
