文档内容
2019年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人
次，275000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人
出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九
钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买
鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹
角为 ，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
α
第1页（共30页）A．3sin 米 B．3cos 米 C． 米 D． 米
α α
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC
＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．
∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算：3 ﹣ ＝ ．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝ ．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点
第2页（共30页）C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD
落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点
G，则△GCF的周长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，过点
A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且
M为线段AB的中点，则a的值为 ．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝ ．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、
“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后
放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小
新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天
加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工
这种彩灯的数量．
第3页（共30页）18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作 O，点E在BC边上，连结AE交
O于点F，连结BF并延长交CD于点G． ⊙
⊙（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求 的长．（结果保留 ）
π
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情
况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4
人数 2 5 8 5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4 m n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数m的值为 ，众数n的值为 ．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时
间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
20．（7分）图 、图 、图 均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方
形的边长为①1，点②A、B、③C、D、E、F均在格点上．在图 、图 、图 中，只用无刻度的直
尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均①在格点②上，不③要求写出画法．
（1）在图 中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图①中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图②中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．
③
第4页（共30页）21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千
米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分
别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函
数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时，a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： ＝
＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图 ，写出完整的证明过程．
结论应用：在 ABCD中，①对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图 ▱，若 ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为 ．
② ▱
（2）如图 ，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为 ，则 ABCD的面积为
③ ▱
．
第5页（共30页）23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终
点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点
P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点
N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作 PQMN．设 PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为
S，点P的运动时间为t秒． ▱ ▱
（1） AB的长为 ；
PN①的长用含t的代数式表示为 ．
②（2）当 PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当▱过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，直接写出t的值．
▱
24．（12分）已知函数y＝ （n为常数）
（1）当n＝5，
点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
①
第6页（共30页）求此函数的最大值．
（②2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只
有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
第7页（共30页）2019 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】13：数轴．
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【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人
次，275000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
第8页（共30页）A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改
变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不
等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等
式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人
出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九
钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买
鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答
案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
第9页（共30页）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关
键．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹
角为 ，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
α
A．3sin 米 B．3cos 米 C． 米 D． 米
α α
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin ＝ ＝ ，进而得出答案．
α
【解答】解：由题意可得：sin ＝ ＝ ，
α
故BC＝3sin （m）．
故选：A． α
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC
＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
第10页（共30页）【考点】N3：作图—复杂作图．
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【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线
段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的
性质及其尺规作图．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．
∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝
2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝ ，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝ ，
又∵∠ACB＝90°，
第11页（共30页）∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝ ＝ ，
∴OD＝3+ ＝
∴B（ ， ）代入y＝ 得：k＝ ，
故选：D．
【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点
的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算：3 ﹣ ＝ 2 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
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【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝ b （ a + 2 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．
【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案为：b（a+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 5 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
第12页（共30页）故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△＝b2﹣4ac．
12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点
C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 5 7 度．
【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．
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【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是
解题关键．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD
落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点
G，则△GCF的周长为 4+ 2 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根
据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
第13页（共30页）由题意得，四边形EFCB为矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝ ＝2 ，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2 ，
故答案为：4+2 ．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，过点
A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且
M为线段AB的中点，则a的值为 2 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐
标特征．
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【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利
用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解
析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0， ），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1， ﹣a），点M坐标为（2， ）
∵点M为线段AB的中点，
第14页（共30页）∴点B坐标为（4， ）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1， ）代入得 ＝k
∴y＝（ ）x
将点B（4， ）代入得 ＝（ ）×4
解得a＝2
故答案为：2．
【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利
用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝ ．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a＝ 时，原式＝8a+1＝2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、
“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后
放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小
新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果
有5个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
第15页（共30页）∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天
加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工
这种彩灯的数量．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程： ﹣
＝5，解方程即可．
【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量
为1.2x套，
由题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根
据题意列出方程是解题的关键．
18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作 O，点E在BC边上，连结AE交
O于点F，连结BF并延长交CD于点G． ⊙
⊙（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求 的长．（结果保留 ）
π
第16页（共30页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；M5：圆周角定理；MN：弧长的
计算．
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【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为 O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝
∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，⊙根据全等三角形的判定定理即可得到
结论；
（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到
∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为 O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°， ⊙
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中， ，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴ 的长＝ ＝ ．
第17页（共30页）【点评】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，
熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情
况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4
人数 2 5 8 5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4 m n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数m的值为 2. 5 ，众数n的值为 2. 5 ．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时
间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：
众数．
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【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，
3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为 ＝2.5，众数n为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18＝43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）200× ＝130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
第18页（共30页）【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和
理解样本和总体的关系是关键．
20．（7分）图 、图 、图 均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方
形的边长为①1，点②A、B、③C、D、E、F均在格点上．在图 、图 、图 中，只用无刻度的直
尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均①在格点②上，不③要求写出画法．
（1）在图 中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图①中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图②中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．
③
【考点】K3：三角形的面积；N4：作图—应用与设计作图．
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【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图 所示，△ABM即为所求；
（2）如图 所示，△CD①N即为所求；
（3）如图②所示，四边形EFGH即为所求；
③
【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积
求法是解题关键．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千
米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分
别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函
第19页（共30页）数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 7 5 千米/时，a＝ 3. 6 ，b＝ 4. 5 ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速
度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝k x+b ，根据题意得：
1 1
，解得 ，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，
∴ ；
（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝ （小时），
第20页（共30页）此时甲、乙两车之间的路程为：135× ﹣270＝180（千米）．
答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在
不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间＝
路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： ＝
＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图 ，写出完整的证明过程．
结论应用：在 ABCD中，①对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图 ▱，若 ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为 ．
② ▱
（2）如图 ，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为 ，则 ABCD的面积为 6
③ ▱
．
【考点】K5：三角形的重心；KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：正方形的
性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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第21页（共30页）【分析】教材呈现：如图 ，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝ AC，那
①
么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明 ＝ ＝ ；
结论应用：（1）如图 ．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝ DF，那么BF＝ BD，又BO
②
＝ BD，可得OF＝OB﹣BF＝ BD，由正方形的性质求出BD＝6 ，即可求出OF＝
；
（2）如图 ，连接OE．由（1）易证 ＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比
③
得出△BEF与△OEF的面积比＝ ＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么
△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2× ＝1，所以
△BOC的面积＝ ，进而求出 ABCD的面积＝4× ＝6．
▱
【解答】教材呈现：
证明：如图 ，连结ED．
∵在△ABC①中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴ ＝ ＝3，
∴ ＝ ＝ ；
结论应用：
（1）解：如图 ．
∵四边形ABCD②为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
第22页（共30页）∴AD∥BC，BE＝ BC＝ AD，BO＝ BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝ DF，
∴BF＝ BD，
∵BO＝ BD，
∴OF＝OB﹣BF＝ BD﹣ BD＝ BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6 ，
∴OF＝ ．
故答案为 ；
（2）解：如图 ，连接OE．
③
由（1）知，BF＝ BD，OF＝ BD，
∴ ＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝ ＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2× ＝1，
∴△BOC的面积＝ ，
∴ ABCD的面积＝4× ＝6．
▱
故答案为6．
第23页（共30页）【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，三角
形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的
关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终
点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点
P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点
N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作 PQMN．设 PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为
S，点P的运动时间为t秒． ▱ ▱
（1） AB的长为 2 5 ；
PN①的长用含t的代数式表示为 3 t ．
②（2）当 PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当▱过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，直接写出t的值．
▱
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
（2）当 PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得
▱
，即可计算出t的值．
（3）当 PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ． PQMN在三角形
内部时▱，Ⅱ． PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的▱高从而计算面积．
▱
第24页（共30页）（4）当过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中
点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角▱形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列
方程计算t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝ ＝ ＝25．
∴ ，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP•sin∠CAB＝ ＝3t．
故答案为： 25； 3t．
（2）当 P①QMN为②矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥A▱B，
∴PQ∥AB，
∴ ，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴ ，
解得t＝ ，
即当 PQMN为矩形时t＝ ．
▱
（3）当 PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解▱图（3）1所示． PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
▱
由（1）题可知：cosA＝sinB＝ ，cosB＝ ，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t，
∵． PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜▱3t≤12﹣4t，
∴0＜t ．
第25页（共30页）∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t 时， PQMN与△ABC重叠部分图形为 PQMN，S与t之间的函数关系式
▱ ▱
为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM， PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
▱
即：0＜12﹣4t＜3t，解得： ，
PQMN 与 △ ABC 重 叠 部 分 图 形 为 梯 形 PQMG 的 面 积 S ＝ ＝
▱
＝ ．
综上所述：当0＜t 时，S＝﹣3t2+48t．当 ，S＝ ．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与A▱B交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN•cot∠PKN＝3t ＝ ，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝ ，HR＝ ，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝ ．
∴KH＝HR•cot∠HKR＝ ＝ ，
∵NK+KH＝NH，
∴ ，
解得：t＝ ，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
第26页（共30页）∴HQ＝QR•sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝ ，解得t＝ ．
综上所述：当t＝ 或 时，点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点，
▱
第27页（共30页）【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似
三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
24．（12分）已知函数y＝ （n为常数）
（1）当n＝5，
点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
①求此函数的最大值．
（②2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只
有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1） 将P（4，b）代入y＝﹣ x2+ x+ ； 当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
① ②
当x＜5时，当x＝ 时有最大值为 ；故函数的最大值为 ；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝ ，所以 ＜n≤4时，图象与线段AB只
有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣ x2+ x+ 中，得到n＝2，n＝ ，
所以2≤n＜ 时图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞ ， 当x＝ 时，y＝﹣ + + ＝ + ＝4时，n＝4或n＝﹣8（舍
①
去），得n＝4；
第28页（共30页）当x＝n时，y＝﹣ + + ≥4，得n≥8；
②
n＜0时，n＜ ， 当x＝n时，y＝﹣ + + ≤﹣4，得n≤﹣4，得n≤﹣8；
③
当﹣x2+nx+n＝4有唯一解时，n＝﹣2﹣2 或n＝﹣2+2 （舍去），得n＝﹣2﹣2 ．
④【解答】解：（1）当n＝5时，
y＝ ，
将P（4，b）代入y＝﹣ x2+ x+ ，
①
∴b＝ ；
当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
②
当x＜5时，当x＝ 时有最大值为 ；
∴函数的最大值为 ；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝ ，
∴ ＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y＝﹣ x2+ x+ 中，
∴n＝ ，
∴2≤n＜ 时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述： ＜n≤4，2≤n＜ 时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞ ，
第29页（共30页）当x＝n时，y＝n2+n2+n＝n，
①
当x＝ 时，y＝﹣ + + ＝ + ，
当 + ＝4时，n＝4或n＝﹣8（舍去），
∴n＝4；
当x＝n时，y＝﹣ + + ，
②
当 ≥4，
∴n≥8；
n＜0时，n＜ ，
当x＝n时，y＝﹣ + + ，
③
当 ≤﹣4，n≤﹣4，此时y＝﹣x2+nx+n到x轴距离是4的点由4个，
∴n≤﹣8；
当﹣x2+nx+n＝4有唯一解时，n＝﹣2﹣2 或n＝﹣2+2 （舍去）
④∴n＝﹣2﹣2 ；
∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≥8或n＝4或n≤﹣8或n＝﹣2﹣2 ；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据给出的分段函数画出函数图象，数形
结合解决问题时关键．
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