文档内容
2019年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ）
A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1
4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度
至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
5．（2分）如图，在 O中， 所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为 上一点，∠AOP＝55°，则
∠POB的度数为⊙（ ）
第1页（共29页）A．30° B．45° C．55° D．60°
6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游
人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其
中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：a2﹣1＝ ．
8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是 ．
9．（3分）计算： • ＝ ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个
即可）．
11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED
＝50°，则∠B＝ °．
第2页（共29页）12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边
AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长
为90m，则这栋楼的高度为 m．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE
为邻边的 ODCE的顶点C在 上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是
（结果保留▱ ）．
π
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝ ．
16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装
有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，
从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色
的概率．
17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
第3页（共29页）（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值．
18．（5分）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于
点F，连接BE、▱DF．求证：△ABE≌△CDF．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图 ，图 均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图 中已
画出线段A①B，在图② 中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求①画图：
（1）在图 中，以②AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图①中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，
∠CGD＝∠②CHD＝90°．
20．（7分）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签
上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹
签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是
（填写序号）．
（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．
21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒
AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确
到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
第4页（共29页）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该
地区居民“获取信息的最主要途径”．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是 ；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、
广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统
计图，请根据统计图回答下列问题：
这次接受调查的居民人数为 人；
①统计图中人数最多的选项为 ；
②请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的
③总人数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续
以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与
各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
第5页（共29页）（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．
24．（8分）性质探究
如图 ，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 ．
理解①运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4 ，则它的面积为 ；
（2）如图 ，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．
求证：∠②EFG+∠EHG＝∠FGH；
①在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段
②MN的长．
类比拓展
顶角为2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含 的式子表示）．
α α
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接
AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s
的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，
点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，∠EAD＝ °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝ cm时，直接写出x的值．
第6页（共29页）26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为
h．
求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
①当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
②
第7页（共29页）2019 年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】13：数轴．
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【分析】直接利用数轴得出结果即可．
【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键．
2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ）
A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1
第8页（共29页）【考点】2A：实数大小比较．
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【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小
于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．
【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；
B．a﹣1＜a，选项正确；
C．a×1＝a，选项错误；
D．a÷1＝a，选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的
大小变化规律．基础题．
4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度
至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
【考点】R3：旋转对称图形．
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【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关
键．
5．（2分）如图，在 O中， 所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为 上一点，∠AOP＝55°，则
∠POB的度数为⊙（ ）
第9页（共29页）A．30° B．45° C．55° D．60°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．
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【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝45°，
故选：B．
【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角
等于它所对的圆周角的2信倍．
6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游
人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其
中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【考点】IB：直线的性质：两点确定一条直线；IC：线段的性质：两点之间线段最短；J4：垂线
段最短；J8：平行公理及推论．
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【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间
第10页（共29页）线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：a2﹣1＝ （ a + 1 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝
（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是 x ＞ 1 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．
【解答】解：∵3x﹣2＞1，
∴3x＞3，
∴x＞1，
∴原不等式的解集为：x＞1．
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
9．（3分）计算： • ＝ ．
【考点】6A：分式的乘除法．
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【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．
【解答】解： • ＝ ，
故答案为： ．
第11页（共29页）【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 5（ 答案不唯一，
只有 c ≥ 0 即可） （写出一个即可）．
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
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【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不
等式就可以求出c的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，
∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．
11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED
＝50°，则∠B＝ 6 0 °．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可
得到∠B的度数．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠CED＝∠C＝50°，
又∵∠BAC＝70°，
∴△ABC中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边
AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 2 0 ．
第12页（共29页）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝ AB＝5，再根据折叠的
性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．
【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE＝BE＝ AB＝5，
由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长
为90m，则这栋楼的高度为 5 4 m．
【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影．
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【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴ ＝ ，解得h＝54（m）．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的
关键．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE
为邻边的 ODCE的顶点C在 上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是 2 5
﹣ 4 8 （▱结果保留 ）． π
π
第13页（共29页）【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．
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【分析】连接OC，根据同样只统计得到 ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．
根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形▱的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴ ODCE是矩形，
∴▱∠ODC＝90°．
∵OD＝8，OE＝6，
∴OC＝10，
∴阴影部分图形的面积＝ ﹣8×6＝25 ﹣48．
π
故答案为：25 ﹣48．
π
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线
是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝ ．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，
把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，
当 时，原式＝5．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第14页（共29页）16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装
有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，
从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色
的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，
由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，
则取出的扇子和手绢都是红色的概率为 ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；
解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）直接利用x＝4代入求出答案．
【解答】解：（1）y是x的反例函数，
第15页（共29页）所以，设 ，
当x＝2时，y＝6．
所以，k＝xy＝12，
所以， ；
（2）当x＝4时，y＝3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
18．（5分）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于
点F，连接BE、▱DF．求证：△ABE≌△CDF．
【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
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【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C
在△ABE和△CDF中， ，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方
法是解题关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图 ，图 均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图 中已
画出线段A①B，在图② 中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求①画图：
（1）在图 中，以②AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图①中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，
∠CGD＝∠②CHD＝90°．
第16页（共29页）【考点】LA：菱形的判定与性质；N4：作图—应用与设计作图．
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【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）如图，四边形CGDH即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签
上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹
签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是
（ 2 ） （填写序号）．
（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】问题解决 设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组： ，解方程组
即可；
反思归纳 由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．
【解答】问题解决
第17页（共29页）解：设竹签有x根，山楂有y个，
由题意得： ，
解得： ，
答：竹签有20根，山楂有104个；
反思归纳
解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d＝b，
故答案为：（2）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方
程组是解题的关键．
21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒
AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确
到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，
则∠AFC＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，
∵cos∠CAF＝ ，
∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，
∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），
答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．
第18页（共29页）【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数
的定义，本题属于中等题型．
22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该
地区居民“获取信息的最主要途径”．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是 方案三 ；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、
广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统
计图，请根据统计图回答下列问题：
这次接受调查的居民人数为 100 0 人；
①统计图中人数最多的选项为 手机 ；
②请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的
③总人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W5：众数．
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【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；
（2） 把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；
第19页（共29页）
①从统计图中找出人数最多的选项即可；
②用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人
③数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，
故答案为：方案三；
（2） 这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000人；
统计①图中人数最多的选项为手机；
②
80× ＝52.8万人，
③
答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数
52.8万人．
故答案为：1000，手机．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续
以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与
各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）m＝ 4 ，n＝ 12 0 ；
（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把x＝3代入（2）的结论即可．
【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣2（280÷3.5）＝120；
第20页（共29页）故答案为：4；120；
（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），
因为图象经过（2，120），
所以2k＝120，
解得k＝60，
所以y关于x的函数解析式为y＝60x，
设y关于x的函数解析式为y＝k x+b（2≤x≤4），
1
因为图象经过（2，120），（4，0）两点，
所以 ，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60x+240（2≤x≤4）；
（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．
所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．
【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函
数的解析式．
24．（8分）性质探究
如图 ，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 ．
理解①运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4 ，则它的面积为 4 ；
（2）如图 ，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．
求证：∠②EFG+∠EHG＝∠FGH；
①在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段
②MN的长．
类比拓展
顶角为2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 2si n （用含 的式子表示）．
α α α
第21页（共29页）【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】性质探究
作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠A＝∠B
＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，AD＝ CD，得出AB＝2AD＝2 CD，即可
得出结果；
理解运用
（1）同上得出则AC＝2CD，AD＝ CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2 CD＝8+4
，解得：CD＝2，得出AB＝4 ，由三角形面积公式即可得出结果；
（2） 由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG
＝∠①EGF+∠EGH＝∠FGH即可；
连接 FH，作 EP⊥FH 于 P，由等腰三角形的性质得出 PF＝PH，由 得：
②∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰①三角形
的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝ EF＝5，PF＝ PE＝5 ，得
出FH＝2PF＝10 ，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；
类比拓展
作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝ ∠BAC＝ ，由三角函数
α
得出BD＝AB×sin ，得出BC＝2BD＝2AB×sin ，即可得出结果．
【解答】性质探究α α
解：作CD⊥AB于D，如图 所示：
则∠ADC＝∠BDC＝90°， ①
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝2CD，AD＝ CD，
∴AB＝2AD＝2 CD，
∴ ＝ ＝ ；
第22页（共29页）故答案为： ；
理解运用
（1）解：如图 所示：
同上得：AC＝2①CD，AD＝ CD，
∵AC+BC+AB＝8+4 ，
∴4CD+2 CD＝8+4 ，
解得：CD＝2，
∴AB＝4 ，
∴△ABC的面积＝ AB×CD＝ ×4 ×2＝4 ；
故答案为：4
（2） 证明：∵EF＝EG＝EH，
∴∠E①FG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，
∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；
解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图 所示：
②则PF＝PH，由 得：∠EFG+∠EHG＝②∠FGH＝120°，
∴∠FEH＝360°①﹣120°﹣120°＝120°，
∵EF＝EH，
∴∠EFH＝30°，
∴PE＝ EF＝5，
∴PF＝ PE＝5 ，
∴FH＝2PF＝10 ，
∵点M、N分别是FG、GH的中点，
∴MN是△FGH的中位线，
∴MN＝ FH＝5 ；
类比拓展
解：如图 所示：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC③，
∴BD＝CD，∠BAD＝ ∠BAC＝ ，
α
第23页（共29页）∵sin ＝ ，
α
∴BD＝AB×sin ，
∴BC＝2BD＝2αAB×sin ，
α
∴ ＝ ＝2sin ；
α
故答案为：2sin ．
α
【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中
位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角
形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接
AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s
的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，
点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝ 4 5 °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝ cm时，直接写出x的值．
第24页（共29页）【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝ ＝3 cm，∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD＝90°
∴∠DAE＝45°
故答案为：3 ，45
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP＝ x，∠DAE＝45°，PF⊥AD
∴PF＝x＝AF，
∴y＝S△PQA ＝ ×AQ×PF＝x2，
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4
第25页（共29页）∴DF＝4﹣x，
∴y＝ x2+ （2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8
当3＜x≤ 时，如图，点P与点E重合．
∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm
∴y＝ （1+4）×3﹣ （7﹣2x）×1＝x+4
（3）当0＜x≤2时
∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝ cm
∴ x＝
∴x＝
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
第26页（共29页）∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x
∵MP2+MQ2＝PQ2，
∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝
∵△＜0
∴方程无解
当3＜x≤ 时，
∵PQ2＝CP2+CQ2，
∴ ＝1+（7﹣2x）2，
∴x＝
综上所述：x＝ 或
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为
h．
求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
①当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
②
第27页（共29页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；
（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的
面积有最大值；
（3）） 当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣
4）＝①1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；
当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），
②
△BCP的面积＝ 8×4﹣ 5×1﹣ （4+1）×3＝6；
【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，
得k＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4；
抛物线顶点为（1，﹣4），
当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
S＝ ＝8；
（3） 当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；
当1＜①m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；
当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；
当h＝9时
②若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；
第28页（共29页）若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴△BCP的面积＝ 8×4﹣ 5×1﹣ （4+1）×3＝6；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，
数形结合，分类讨论是解题的关键．
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日期：2019/7/29 11:44:25；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
第29页（共29页）
