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2019年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项
涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）
1．（4分） 的绝对值为
A． B． C． D．2
2．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、
华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形
的是
A． B． C． D．
3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合
收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是
A． B． C． D．
4．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其
中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A． B．
第1页（共28页）C． D．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4， ．若该组数据的中位数是3，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（4分）下列说法正确的是
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
8．（4分）如图，四边形 的对角线相交于点 ，且点 是 的中点，若 ，
， ，则四边形 的面积为
A．40 B．24 C．20 D．15
9．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓
库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等
于 ，各基地之间的距离之比 （因条件限制，只有图示中的
五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最
低，则修建总仓库的最佳位置为
第2页（共28页）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（4分）若关于 的不等式组 有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
11．（4分）分解因式： ．
12．（4分）方程 的解为 ．
13．（4分）使代数式 有意义的 取值范围是 ．
14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 90 88 92 94 91
乙 90 91 93 94 92
根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．
15．（4分）已知 ， 是 的平分线，点 为 上一点，过 作直线
，垂足为点 ，且直线 交 于点 ，如图所示．若 ，则 ．
16．（4分）如图，已知点 是 的重心，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，
交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．设三角形 ，四边形 的面积分
第3页（共28页）别为 ， ，则 ．
17．（4分）如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，过 作直线 轴，垂足
为 ，则以 为直径的圆与直线 的交点坐标是 ．
18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，
其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；
图二是二项和的乘方 的展开式（按 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方
的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将
的展开式按 的升幂排列得： ．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ．
第4页（共28页）三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
19．（8分）计算： ．
20．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶 测得 处的俯角为 ， 处的俯
角为 ，乙在山下测得 ， 之间的距离为400米．已知 ， ， 在同一水平面的同一直
线上，求山高 ．（可能用到的数据： ，
22．（10分）在一段长为1000的笔直道路 上，甲、乙两名运动员均从 点出发进行往返跑
训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距 点的距离 （米 与其出发的时间 （分钟）的函数
图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达 点后立即按原速返回．
（1）当 为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
23．（10分）如图，已知 是 的外接圆，且 为 的直径，在劣弧 上取一点 ，
使 ，将 沿 对折，得到 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，劣弧 的弧长为 ，求 的半径．
第5页（共28页）24．（10分）如图，已知抛物线经过两点 ， ，且其对称轴为直线 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上点 与点 之间的动点（不包括点 ，点 ，求 的面积的最大
值，并求出此时点 的坐标．
25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使
用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易
损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损
零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损
零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零
件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进
行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
第6页（共28页）26．（12分）（1）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，将平行四边形
分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留
分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图 所示剪开，恰好能拼成如图 所示的矩形，则
的值是多少？
（3）四边形 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为 ，若把它按如图 所示的方式
剪开，分成四部分，重新拼成如图 所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为
．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
第7页（共28页）2019 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项
涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）
1．（4分） 的绝对值为
A． B． C． D．2
【考点】15：绝对值
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解： 的绝对值为：2．
故选： ．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、
华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形
的是
A． B． C． D．
【考点】 ：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合．
3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合
收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是
A． B． C． D．
第8页（共28页）【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为 ，
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其
中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A． B．
C． D．
【考点】 ：简单组合体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察
实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线
的表示．
第9页（共28页）【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；78：二次根式的加减法；35：合并同类
项
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解： 、原式不能合并，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式不能合并，不符合题意，
故选： ．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘多
项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4， ．若该组数据的中位数是3，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】 ：中位数
【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4， 共有6个数，最中间的数只能为 和4，然后
根据它们的中位数为3，即可求出 的值．
【解答】解：数据1，4，3，2，4， 中共有6个数，
该组数据的中位数是3，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
第10页（共28页）个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则
中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（4分）下列说法正确的是
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
【考点】 ：点到直线的距离； ：矩形的判定； ：全等三角形的判定
【分析】根据去全等三角形的判定方法得出 不正确；由矩形的判定方法得出 不正确；由补
角的定义得出 不正确；由点到直线的距离的定义得出 正确；即可得出结论．
【解答】解： ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；
．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；
．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 ；不正确；
．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；
熟记各个判定方法和定义是解题的关键．
8．（4分）如图，四边形 的对角线相交于点 ，且点 是 的中点，若 ，
， ，则四边形 的面积为
A．40 B．24 C．20 D．15
【考点】 ：菱形的判定与性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】根据等腰三角形的性质得到 ， ，得到 ，推出四边形
是菱形，根据勾股定理得到 ，于是得到结论．
【解答】解： ，点 是 的中点，
， ，
，
，
，
第11页（共28页），
，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
四边形 的面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正
确的识别图形是解题的关键．
9．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓
库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等
于 ，各基地之间的距离之比 （因条件限制，只有图示中的
五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最
低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】95：二元一次方程的应用
【分析】设甲基地的产量为 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为 吨、 吨、 吨，设
千米，则 、 、 、 分别为 千米、 千米、 千米、 千米，设运输的运费每吨
为 元 千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为： ；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为： ；
第12页（共28页）③设在丙处建总仓库，则运费最少为： ；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为： ；
进行比较运费最少的即可．
【解答】解： 甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于 ，
设甲基地的产量为 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为 吨、 吨、 吨，
各基地之间的距离之比 ，
设 千米，则 、 、 、 分别为 千米、 千米、 千米、 千米，
设运输的运费每吨为 元 千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为： ；
②设在乙处建总仓库，
， ，
，
则运费最少为： ；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为： ；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为： ；
由以上可得建在甲处最合适，
故选： ．
【点评】本题考查了三元一次方程的应用；设出未知数，求出各个运费是解题的关键．
10．（4分）若关于 的不等式组 有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】 ：解一元一次不等式组； ：一元一次不等式组的整数解
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出 ，然后分别取
，0， ，得出整数解的个数，即可求解．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
第13页（共28页）不等式组有解，
，
解得 ，
如果 ，则不等式组的解集为 ，整数解为 ，有1个；
如果 ，则不等式组的解集为 ，整数解为 ，2，有2个；
如果 ，则不等式组的解集为 ，整数解为 ，1，2，3，有4个；
故选： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
11．（4分）分解因式： ．
【考点】54：因式分解 运用公式法
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这
两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；
（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
12．（4分）方程 的解为 ．
【考点】 ：解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到方
程的解．
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
第14页（共28页）经检验 是分式方程的解，
故答案为：
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（4分）使代数式 有意义的 取值范围是 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解： 代数式 有意义，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 90 88 92 94 91
乙 90 91 93 94 92
根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 乙 ．
【考点】 ：方差
【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同
学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：甲同学的平均数是： （分 ，
甲同学的方差是： ，
乙同学的平均数是： （分 ，
乙同学的方差是： ，
，方差小的为乙，
成绩较好且比较稳定的同学是乙．
故答案为：乙．
第15页（共28页）【点评】本题考查方差的定义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
性越大，反之也成立．
15．（4分）已知 ， 是 的平分线，点 为 上一点，过 作直线
，垂足为点 ，且直线 交 于点 ，如图所示．若 ，则 4 ．
【考点】 ：角平分线的性质
【分析】过点 作 ，垂足为 ，则 ，在 中，利用三角形内角和
定理可求出 ，在 中，由 角所对的直角边等于斜边的一半可求出
的长，此题得解．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示．
是 的平分线，
．
在 中， ， ，
，即 ．
在 中， ， ，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用
角平分线的性质及 角所对的直角边等于斜边的一半，求出 的长是解题的关键．
16．（4分）如图，已知点 是 的重心，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，
第16页（共28页）交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．设三角形 ，四边形 的面积分
别为 ， ，则 ．
【考点】 ：相似三角形的判定与性质； ：三角形的重心
【分析】由三角形的重心定理得出 ，得出 ，由平行线得出 ，
得出 ，即可得出结果．
【解答】解： 点 是 的重心，
，
，
，
，
， ，
；
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定
理，证明三角形相似是解题的关键．
17．（4分）如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，过 作直线 轴，垂足
为 ，则以 为直径的圆与直线 的交点坐标是 和 ．
第17页（共28页）【考点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】求得交点 、 的坐标，即可求得直径 的长度和 点的坐标，从而求得 的长度，
利用勾股定理求得 ，结合 的坐标即可求得以 为直径的圆与直线 的交
点坐标．
【解答】解：由 求得 或 ，
， ，
，
设 的中点为 ，以 为直径的 与直线 的交点为 、 ，
过 点作 轴于 ，交 于 ，连接 ，
是 的中点，
， ，
，
轴，垂足为 ，
轴，
，
，
在 中， ，
， ．
以 为直径的圆与直线 的交点坐标是 和 ，
故答案为 和 ．
第18页（共28页）【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的交点问题，垂径定理，
勾股定理的应用，求得圆心的坐标是解题的关键．
18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，
其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；
图二是二项和的乘方 的展开式（按 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方
的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将
的展开式按 的升幂排列得： ．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若 ，则 10 5 ；
（2）若 ，则 ．
【考点】 ：完全平方公式；43：多项式； ：数学常识；37：规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据图形中的规律即可求出 的展开式中第三项的系数为前14个数的和；
（2）根据 的特殊值代入要解答，即把 代入时，得到结论．
【解答】解：（1）由图2知： 的第三项系数为0，
的第三项的系数为：1，
的第三项的系数为： ，
的第三项的系数为： ，
第19页（共28页）发现 的第三项系数为： ；
的第三项系数为 ；
的第三项系数为 ；
不难发现 的第三项系数为 ，
，则 ．
故答案为：105；
（2） ．
当 时， ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，
再表示展开式：对应 中，相同字母 的指数是从高到低，相同字母 的指数是从低到
高．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
19．（8分）计算： ．
【考点】 ：实数的运算； ：特殊角的三角函数值
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即
可．
【解答】解：
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运
算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括
第20页（共28页）号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实
数范围内仍然适用．
20．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】 ：分式的化简求值
【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将 的值代入化简后的式子即
可解答本题．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶 测得 处的俯角为 ， 处的俯
角为 ，乙在山下测得 ， 之间的距离为400米．已知 ， ， 在同一水平面的同一直
线上，求山高 ．（可能用到的数据： ，
【考点】 ：解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【分析】设 ，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：设 ，
由题意可知： ， ，
，
第21页（共28页），
在 中，
，
，
解得： ，
山高 为546.4米
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的
解法，本题属于中等题型．
22．（10分）在一段长为1000的笔直道路 上，甲、乙两名运动员均从 点出发进行往返跑
训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距 点的距离 （米 与其出发的时间 （分钟）的函数
图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达 点后立即按原速返回．
（1）当 为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
【考点】 ：一次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当 为何值时，两人第一次相遇；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．
【解答】解：（1）甲的速度为： 米 分钟，
令 ，
解得， ，
答：当 为0.75分钟时，两人第一次相遇；
（2）当 时，
乙行驶的路程为： ，
甲乙第二次相遇的时间为： （分钟），
第22页（共28页）则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为： （米 ，
答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形
结合的思想解答．
23．（10分）如图，已知 是 的外接圆，且 为 的直径，在劣弧 上取一点 ，
使 ，将 沿 对折，得到 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，劣弧 的弧长为 ，求 的半径．
【考点】 ：翻折变换（折叠问题）； ：弧长的计算； ：三角形的外接圆与外心； ：
切线的判定与性质； ：圆周角定理
【分析】（1）在 中，根据三角形内角和为 ，则 ，即可求解；
（2）证明四边形 为矩形， ，而 ，则 ，即
，即可求解．
【解答】解：（1） ， ，
设： ， ，
则 中，根据三角形内角和为 ，
第23页（共28页），
，
是 的切线；
（2）过点 作 ，延长 交 于点 ，
则 ， 四边形 为矩形，
设： ，则 ，
则 ，而 ，
则 ， ，
为等边三角形，即 ，
，
解得： ，
故圆的半径为3．
【点评】本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综
合性较强，难度较大．
24．（10分）如图，已知抛物线经过两点 ， ，且其对称轴为直线 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上点 与点 之间的动点（不包括点 ，点 ，求 的面积的最大
值，并求出此时点 的坐标．
【考点】 ：二次函数图象上点的坐标特征； ：二次函数的性质； ：待定系数法求二次
函数解析式； ：二次函数的最值
【分析】（1）因为对称轴是直线 ，所以得到点 的对称点是 ，因此利用交点
第24页（共28页）式 ，求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数
值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1） 抛物线对称轴是直线 且经过点
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点
设抛物线的解析式为
即：
把 代入得：
抛物线的解析式为： ．
（2）设直线 的解析式为 ，
， ，
，
直线 为 ，
作 轴于 ，交直线 于 ，
设 ，则 ，
，
．
当 时， ， ，
的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ，
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题
关键，又利用了二次函数的性质．
25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使
用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易
第25页（共28页）损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损
零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损
零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零
件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进
行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
【考点】 ：列表法与树状图法； ：概率公式； ：条形统计图； ：加权平均数
【分析】（1）共抽查100台机器，更换8个零件的有20台，更换9个零件的有50台，更换11
个零件的有20台，可以计算出更换10个零件的有 台，进而补全统计图；
（2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的100台机器中更换9个零件的频率即可；
②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案．
【解答】解：（1） ，补全的条形统计图如图所示：
（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为： ；
②购买机器的同时购买8个该易损零件 元，
购买机器的同时购买9个该易损零件 元，
购买机器的同时购买10个该易损零件 元，
购买机器的同时购买11个该易损零件 元，
因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．
第26页（共28页）【点评】考查条形统计图的制作方法，理解条形统计图的特点以及加权平均数的意义等知识，
用样本估计总体时统计中常用的方法，要深刻领会和应用．
26．（12分）（1）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，将平行四边形
分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留
分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图 所示剪开，恰好能拼成如图 所示的矩形，则
的值是多少？
（3）四边形 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为 ，若把它按如图 所示的方式
剪开，分成四部分，重新拼成如图 所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为
．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
【考点】 ：图形的剪拼； ：矩形的判定与性质； ：勾股定理； ：正方形的性质
【分析】（1）过 作 于 ，将 进行平移即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）依题意有
，
解得 ， （负值舍去），
第27页（共28页）经检验， 是原方程的解．
故 的值是 ；
（3） ，
直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，
故重新拼成的图形的面积会增加．
【点评】考查了图形的剪拼，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，注意（3）中直角梯形与
原来图形的直角梯形不一致．
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日期：2019/8/3 10:15:32；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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