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2019年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡
上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣ C．﹣2019 D．
2．（3分） 的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
3．（3分）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中
预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中
7300万用科学记数法表示为（ ）
A．73×106 B．7.3×103 C．7.3×107 D．0.73×108
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1
6．（3分）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形
的面积为（ ）
第1页（共31页）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
7．（3分）如图，等边三角形ABC内接于 O，若 O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于
（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．2
π π π
8．（3分）现有以下命题：
斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；
①一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；
②通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双
曲线y＝ 在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
第2页（共31页）10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结
论： abc＜0；
c+①2a＜0；
②9a﹣3b+c＝0；
③a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
④4ac﹣b2＜0．
⑤其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
11．（3分）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是
℃．
12．（3分）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：
日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日
次品数量（个） 1 0 2 a
若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点
E，且AE平分∠BAC，则AB的长为 ．
第3页（共31页）14．（3分）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积
为 ．
15．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．
16．（3分）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面
朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方
程 ﹣1＝ 无解的概率为 ．
17．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝
AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则
A′C长度的最小值是 ．
三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：﹣14﹣| ﹣1|+（ ﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣ ）﹣1
19．（6分）先化简，再求值．
÷ + ，请从不等式组 的整数解中选择一个你喜欢的求值．
20．（5分）两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午
第4页（共31页）某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？
（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将
四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从
剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸
牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分
别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查
结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级
最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现
第5页（共31页）有124个毽子，能否够用？请说明理由．
23．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长
DC至F点，使CF＝CD，连⊙接AF． ⊙
（1）判断直线AF与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝ ，求AE的长．
24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小
说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．
根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每
天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数
关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后
可获得最大利润为1960元，求a的值．
25．（9分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，
得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
第6页（共31页）（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
如图2，求证：BE⊥DQ；
①如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
②
26．（12分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点
A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC ＝
2S△DCM ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
时，直接写出满足条件的点P的坐标．
第7页（共31页）2019 年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡
上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣ C．﹣2019 D．
【考点】14：相反数．
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【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分） 的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
【考点】21：平方根；22：算术平方根．
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【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．
【解答】解： ＝4，± ＝±2，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．
3．（3分）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中
预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中
7300万用科学记数法表示为（ ）
A．73×106 B．7.3×103 C．7.3×107 D．0.73×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：其中7300万用科学记数法表示为7.3×107．
第8页（共31页）故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．
【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合题意；
B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；
C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；
D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的关键是
要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和左侧面的形状想
象主视图、俯视图和左视图．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
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【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
第9页（共31页）【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解
答，难度不大．
6．（3分）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形
的面积为（ ）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；L8：菱形的性质．
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【分析】利用因式分解法解方程得到x ＝5，x ＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角
1 2
形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后
计算
菱形的面积．
【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x ＝5，x ＝3，
1 2
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2 ＝6，
∴菱形的面积＝ ×6×8＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方
程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三
边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
7．（3分）如图，等边三角形ABC内接于 O，若 O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于
（ ） ⊙ ⊙
第10页（共31页）A． B． C． D．2
π π π
【考点】KK：等边三角形的性质；MA：三角形的外接圆与外心；MO：扇形面积的计算．
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【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC＝120°，S△AOB ＝S△AOC ，然后根据
扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOC 进行计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S△AOB ＝S△AOC ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC ＝ ＝ ．
π
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．
8．（3分）现有以下命题：
斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；
①一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；
②通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】分别利用全等三角形的性质、平移的性质、随机事件等知识分别判断后即可确定
正确的选项．
【解答】解： 斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题；
一个图形①和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一
②直线上，错误，是假命题；
第11页（共31页）通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命
④题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
⑤真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、平移的性
质、随机事件等知识，难度不大．
9．（3分）关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双
曲线y＝ 在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】FE：一次函数与二元一次方程（组）；G2：反比例函数的图象．
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【分析】关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y确定k的取值范围，然后
根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可．
【解答】解：二元一次方程组 中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
第12页（共31页）即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线y＝ 的两个分支位于一三象限，B选项符合，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键
是根据题意确定k的取值范围．
10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结
论： abc＜0；
c+①2a＜0；
②9a﹣3b+c＝0；
③a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
④4ac﹣b2＜0．
⑤其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解： 由抛物线可知：a＞0，c＜0，
①
对称轴x＝﹣ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故 正确；
①
由对称轴可知：﹣ ＝﹣1，
②
∴b＝2a，
第13页（共31页）∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故 正确；
②
（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
③∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故 正确；
当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b③+c，
④∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故 错误；
④
抛物线与x轴有两个交点，
⑤∴△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故 正确；
故选：A． ⑤
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，
以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
11．（3分）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是
27 ℃．
第14页（共31页）【考点】VD：折线统计图；W4：中位数．
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【分析】先找出这7天的最高气温，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：24，25，
26，27，28，28，29，故中位数为27℃，
故答案为27．
【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．（3分）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：
日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日
次品数量（个） 1 0 2 a
若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于 ．
【考点】W5：众数；W7：方差．
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【分析】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多
且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均
数，叫做这组数据的方差．
【解答】解：∵出现次品数量的唯一众数为1，
∴a＝1，
∴ ，
∴S2＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式是解题的关键．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点
第15页（共31页）E，且AE平分∠BAC，则AB的长为 ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
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【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO＝AB＝BO
＝DO，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴64+AB2＝4AB2，
∴AB＝
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性
质是本题的关键．
14．（3分）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积
为 3.7 5 cm 2 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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第16页（共31页）【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即
可．
【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知 ＝ ，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．
再根据相似的性质可知 ＝ ，
解得：y＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），
所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．
故答案为：3.75cm2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
15．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 6 或 2 或 4 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
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【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．
【解答】解： 如图1
当AB＝AC＝5①，AD＝4，
则BD＝CD＝3，
∴底边长为6；
如图2．
②当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝3，
∴BD＝2，
∴BC＝ ＝2 ，
∴此时底边长为2 ；
第17页（共31页）如图3：
③当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝ ＝3，
∴BD＝8，
∴BC＝4 ，
∴此时底边长为4 ．
故答案为：6或2 或4 ．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
16．（3分）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面
朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方
程 ﹣1＝ 无解的概率为 ．
【考点】B2：分式方程的解；X4：概率公式．
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【分析】由分式方程，得m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）x＝1或﹣2时，分式方程无解，x＝1时，
m＝2，x＝﹣2时，m＝0，所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为 ．
【解答】解：由分式方程，得
m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）
第18页（共31页）x＝1或﹣2时，分式方程无解，
x＝1时，m＝2，
x＝﹣2时，m＝0，
所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为 ．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
17．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝
AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则
A′C长度的最小值是 ﹣ 1 ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，
AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．
【解答】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
∵AM＝ AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
∴HD＝ MD＝1，HM＝ HD＝
∴CH＝4
第19页（共31页）∴MC＝ ＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝ ﹣1
故答案为： ﹣1
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定A'C长度有最小值时，点A'的
位置是本题的关键．
三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：﹣14﹣| ﹣1|+（ ﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣ ）﹣1
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的
性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（ ﹣1）+1+2× +2
＝﹣1﹣ +1+1+ +2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值．
÷ + ，请从不等式组 的整数解中选择一个你喜欢的求值．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后由不等式组 ，可以
求得x的取值范围，再从中选取一个使得原分式有意义的整数x代入化简后的式子即可
解答本题．
第20页（共31页）【解答】解： ÷ +
＝
＝
＝
＝ ，
由不等式组 ，得﹣3＜x≤2，
∴当x＝2时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确
分式化简求值的方法．
20．（5分）两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午
某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？
（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
【考点】T8：解直角三角形的应用；U5：平行投影．
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【分析】设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，解Rt△BFH，求出BH≈17，
那么FC＝HD＝BD﹣BH≈13，由 ≈4.3，可得此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5
层．
【解答】解：设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
第21页（共31页）由题意知，AC＝BD＝3×10＝30m，FH＝CD＝30m，∠BFH＝∠ ＝30°，
α
在Rt△BFH中，tan∠BFH＝ ＝ ＝ ，
∴BH＝30× ＝10 ≈10×1.7＝17，
∴FC＝HD＝BD﹣BH≈30﹣17＝13，
∵ ≈4.3，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，难度一般，解答本题的关键是利用直
角三角形的性质和三角函数解答．
21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将
四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从
剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸
牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
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【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的
第22页（共31页）结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ；
故答案为： ；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是
中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝ ＝ ≠ ，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对
称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是
关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分
别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查
结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级
最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 1 5 6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
第23页（共31页）（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现
有124个毽子，能否够用？请说明理由．
【考点】V5：用样本估计总体；VA：统计表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数
的百分数，又知九年级最喜欢排球的人数为10人，所以求出九年级最喜欢运动的人数，再
由七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生，得出本次调查共抽取的学生数；
（2）先根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数，从而能求出八、九年级最喜欢跳绳的人数，然
后求出最喜欢跳绳的学生数，补全统计表和统计图即可；
（3）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总
数的百分比为：1﹣30%﹣16%﹣24%﹣10%＝20%，
又知九年级最喜欢排球的人数为10人，
∴九年级最喜欢运动的人数有10÷20%＝50（人），
∴本次调查抽取的学生数为：50×3＝150（人）．
（2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有50﹣7﹣8﹣6﹣14＝15人，
那么八年级最喜欢跳绳的人数有15﹣5＝10人，
最喜欢踢毽的学生有50﹣12﹣10﹣10﹣5═13人，
九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝ ＝20%，
第24页（共31页）补全统计表和统计图如图所示；
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 15 6
（3）不够用，理由：1800× ÷4＝126，
∵126＞124，
∴不够用．
故答案为：15．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表以及用样本估计总体的知识，此题综
合性较强，难度适中．
23．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长
DC至F点，使CF＝CD，连⊙接AF． ⊙
（1）判断直线AF与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝ ，求AE的长．
【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MB：直线与圆的位置关系；T7：解
第25页（共31页）直角三角形．
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【分析】（1）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到
∠CAN＝∠EAC，∠E＝∠EAC，得到∠B＝∠FAC，等量代换得到∠FAC+∠BAC＝90°，求
得OA⊥AF，于是得到结论；
（2）过点C作CM⊥AE，根据三角函数的定义得到 ＝ ，设CM＝3x，则AM＝4x，根据
勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）直线AF是 O的切线，理由是：
∵AB为 O直径， ⊙
∴∠ACB⊙＝90°，
∴AC⊥BC，
∵CF＝CD，
∴∠CAF＝∠EAC，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在 O上，
∴直线AF是⊙ O的切线；
⊙
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE＝ ，
∴ ＝ ，
∵AC＝10，
∴设CM＝3x，则AM＝4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
第26页（共31页）解得x＝2，
∴AM＝8，
∵AC＝CE，
∴AE＝2AE＝2×8＝16．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识比较
简单．
24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小
说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．
根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每
天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数
关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后
可获得最大利润为1960元，求a的值．
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝
﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+ a，若0＜a＜6，则
30 a，则当x＝35+ a时，w取得最大值，解方程得到a ＝2，a ＝58，于是得到a＝
1 2
2．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．
w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）
第27页（共31页）对称轴为x＝35+ a，且0＜a≤6，则30 a≤38，
则当x＝35+ a时，w取得最大值，
∴（35+ a﹣20﹣a）[﹣10x（35+ a）+500]＝1960
∴a ＝2，a ＝58（不合题意舍去），
1 2
∴a＝2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减
性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
25．（9分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，
得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
如图2，求证：BE⊥DQ；
①如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
②
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP＝∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2） 根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
根据①等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，判断△DEP的形
②状．
【解答】（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
第28页（共31页）∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2） 如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠C①BF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
∵△BCP为等边三角形，
②∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，
同理：∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方
形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．
26．（12分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点
A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC ＝
2S△DCM ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
时，直接写出满足条件的点P的坐标．
第29页（共31页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC ＝2S△DCM ，则S△DAC ＝ DH（x
C
﹣x
A
）＝ （﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝ （9﹣
1）（1﹣x）×2，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8… ，
则点B（3，5）， ①
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），
过点D作y轴的平行线交AB于点H，
第30页（共31页）设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），
∵S△DAC ＝2S△DCM ，
则S△DAC ＝ DH（x
C
﹣x
A
）＝ （﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝ （9﹣1）（1﹣x）×2，
解得：x＝﹣1或5（舍去5），
故点D（﹣1，5）；
（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，
当AM是平行四边形的一条边时，
①点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，
即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝6或﹣4，
故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；
当AM是平行四边形的对角线时，
②由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝1 ，
故点P（1 ，2）或（1﹣ ，2）；
综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1 ，2）或（1﹣ ，2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积
计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/8/5 10:51:50；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
第31页（共31页）
