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2019年上海市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2 B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝
2．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正
确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
6．（4分）已知 A与 B外切， C与 A、 B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么 C
的半径长是（⊙ ⊙） ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
第1页（共26页）A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
7．（4分）计算：（2a2）2＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ ．
9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
11．（4分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数
大于4的概率是 ．
12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二
斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共
盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置
的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是
y℃，那么y关于x的函数解析式是 ．
14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家
庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100
千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该
小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．
15．（4分）如图，已知直线1 ∥l ，含30°角的三角板的直角顶点C在l 上，30°角的顶点A在
1 2 1
l 上，如果边AB与l 的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 度．
2 1
第2页（共26页）16．（4分）如图，在正边形ABCDEF中，设 ＝ ， ＝ ，那么向量 用向量 、 表示为
．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在
点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是 ．
18．（4分）在△ABC和△A B C 中，已知∠C＝∠C ＝90°，AC＝A C ＝3，BC＝4，B C ＝2，点
1 1 1 1 1 1 1 1
D、D 分别在边AB、A B 上，且△ACD≌△C A D ，那么AD的长是 ．
1 1 1 1 1 1
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣1|﹣ × + ﹣8
20．（10分）解方程： ﹣ ＝1
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝ x，且经
过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
第3页（共26页）22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后
备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在
AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
23．（12分）已知：如图，AB、AC是 O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结
BD并延长交 O于点E，联结C⊙D并延长交 O于点F．
（1）求证：B⊙D＝CD； ⊙
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．
第4页（共26页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
①平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴
②与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作
AE⊥ AD ， 交 BD 的 延 长 线 于 点 E ．
（1）求证：∠E═ ∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 的
第5页（共26页）值．
第6页（共26页）2019 年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2 B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝
【考点】4I：整式的混合运算．
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【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝5x，故A错误；
（C）原式＝6x2，故C错误；
（D）原式＝ ，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题
型．
2．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题
型．
3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【考点】F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质．
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【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，
第7页（共26页）在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选
项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选
项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性
质是关键．
4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正
确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．
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【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为 ×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为 ×（[ 6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]
＝2，
第8页（共26页）∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
【点评】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离
散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查
了中位数．
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大．
6．（4分）已知 A与 B外切， C与 A、 B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么 C
的半径长是（⊙ ⊙） ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．11 B．10 C．9 D．8
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】如图，设 A， B， C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图⊙，设 ⊙A， ⊙B， C的半径为x，y，z．
⊙ ⊙ ⊙
第9页（共26页）由题意： ，
解得 ，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属
于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
7．（4分）计算：（2a2）2＝ 4 a 4 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解答】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．
【点评】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8．（4分）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ 0 ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
【考点】22：算术平方根．
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【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵正方形的面积是3，
∴它的边长是 ．
故答案为：
【点评】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 m ＞
．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等
第10页（共26页）式即可求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，
∴m＞ ．
故填空答案：m＞ ．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11．（4分）一枚⇔材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数
大于4的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
∴掷的点数大于4的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果
数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二
斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共
盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2
斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
第11页（共26页）则 ，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y＝ ．
答：1大桶加1小桶共盛 斛米．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置
的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是
y℃，那么y关于x的函数解析式是 y ＝﹣ 6 x + 2 ．
【考点】E3：函数关系式．
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【分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y
与x的关系式．
【解答】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．
故答案为：y＝﹣6x+2．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温
＝地面的气温﹣降低的气温．
14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家
庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100
千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该
小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 9 0 千克．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以 可得答案．
第12页（共26页）【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 ×100×15%＝90（千
克），
故答案为：90．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大
小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．
15．（4分）如图，已知直线1 ∥l ，含30°角的三角板的直角顶点C在l 上，30°角的顶点A在
1 2 1
l 上，如果边AB与l 的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 12 0 度．
2 1
【考点】JA：平行线的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
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【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠DCA＝∠DAC＝30°，再利
用三角形外角性质得到∠2＝60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数．
【解答】解：∵D是斜边AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵1 ∥l ，
1 2
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120．
【点评】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．
第13页（共26页）16．（4分）如图，在正边形ABCDEF中，设 ＝ ， ＝ ，那么向量 用向量 、 表示为
2 + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】连接CF．利用三角形法则： ＝ + ，求出 即可．
【解答】解：连接CF．
∵多边形ABCDEF是正六边形，
AB∥CF，CF＝2BA，
∴ ＝2 ，
∵ ＝ + ，
∴ ＝2 + ，
故答案为2 + ．
【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，
属于中考常考题型．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在
点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是 2 ．
第14页（共26页）【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．
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【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得
到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝ ＝2．
【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝ ∠AEF，
∵正方形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE＝DE＝ AD＝ AB，
∴DE＝FE，
∴∠EDF＝∠EFD，
又∵∠AEF是△DEF的外角，
∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，
∴∠EDF＝ ∠AEF，
∴∠AEB＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（4分）在△ABC和△A B C 中，已知∠C＝∠C ＝90°，AC＝A C ＝3，BC＝4，B C ＝2，点
1 1 1 1 1 1 1 1
D、D 分别在边AB、A B 上，且△ACD≌△C A D ，那么AD的长是 ．
1 1 1 1 1 1
【考点】KA：全等三角形的性质．
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【分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出
C D ＝AD＝x，∠A C D ＝∠A，∠A D C ＝∠CDA，即可求得∠C D B ＝∠BDC，根据等
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
第15页（共26页）角的余角相等求得∠B C D ＝∠B，即可证得△C B D∽△BCD，根据其性质得出 ＝
1 1 1 1 1
2，解得求出AD的长．
【解答】解：如图，∵在△ABC和△A B C 中，∠C＝∠C ＝90°，AC＝A C ＝3，BC＝4，B C
1 1 1 1 1 1 1 1
＝2，
∴AB＝ ＝5，
设AD＝x，则BD＝5﹣x，
∵△ACD≌△C A D ，
1 1 1
∴C D ＝AD＝x，∠A C D ＝∠A，∠A D C ＝∠CDA，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠C D B ＝∠BDC，
1 1 1
∵∠B＝90°﹣∠A，∠B C D ＝90°﹣∠A C D ，
1 1 1 1 1 1
∴∠B C D ＝∠B，
1 1 1
∴△C B D∽△BCD，
1 1
∴ ＝ ，即 ＝2，
解得x＝ ，
∴AD的长为 ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得
△C B D∽△BCD是解题的关键．
1 1
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣1|﹣ × + ﹣8
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂．
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【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
第16页（共26页）【解答】解：| ﹣1|﹣ × + ﹣8
＝ ﹣1﹣2 +2+ ﹣4
＝﹣3
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算
律在实数范围内仍然适用．
20．（10分）解方程： ﹣ ＝1
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝ x，且经
过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
第17页（共26页）【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；FF：两条直线相交或平行问题．
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【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结
论．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝ x，
∴k＝ ，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3＝ +b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝ x+2；
（2）由y＝ x+2，令y＝0，得 x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（﹣4，y），
∵AC＝BC，
∴ ＝ ，
∴y＝﹣ ，
经检验：y＝﹣ 是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，﹣ ）．
【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题
意是解题的关键．
22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后
备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在
第18页（共26页）AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
【考点】LB：矩形的性质；T8：解直角三角形的应用．
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【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出
AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝
90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及
D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得
出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利
用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45 厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45 +70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45 +70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
第19页（共26页）∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE＝ ＝30 厘米，
∴EE′＝30 厘米．
答：E、E′两点的距离是30 厘米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾
股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出
AE的长度．
23．（12分）已知：如图，AB、AC是 O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结
BD并延长交 O于点E，联结C⊙D并延长交 O于点F．
（1）求证：B⊙D＝CD； ⊙
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．
第20页（共26页）【考点】L9：菱形的判定；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的
判定与性质．
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【分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段
垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据
菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，
∵AB、AC是 O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂⊙直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，
第21页（共26页）∵AB2＝AO•AD，
∴ ＝ ，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分
线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
①平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴
②与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
第22页（共26页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2） 设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解； 新抛物线顶点B为
“不①动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴②的交点C（m，0），四
边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，
即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2） 设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，
解得：①t＝0或3，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），
②∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），
∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，
∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．
第23页（共26页）【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定
义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．
25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作
AE⊥ AD ， 交 BD 的 延 长 线 于 点 E ．
（1）求证：∠E═ ∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 的
值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣ ∠C即可解决问题．
（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°， ＝ ，由BD：
DE＝2：3，可得cos∠ABC＝ ＝ ＝ ．
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为
∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
第24页（共26页）∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC，同理∠ABD＝ ∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE＝ （∠ABC+∠BAC）＝90°﹣ ∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°﹣ ∠C）＝ ∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°， ＝ ，
∵BD：DE＝2：3，
第25页（共26页）∴cos∠ABC＝ ＝ ＝ ．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
①
∵∠E＝ ∠C，
∴∠ABC＝∠E＝ ∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时 ＝2﹣ ．
当∠C＝∠DAE＝90°时，∠ ∠C＝45°，
②
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时 ＝2﹣ ．
综上所述，∠ABC＝30°或45°， ＝2﹣ 或2﹣ ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，
锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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