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2019年江西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）计算 ÷（﹣ ）的结果为（ ）
A．a B．﹣a C． D．
3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
5．（3分）已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
1 2
A．反比例函数y 的解析式是y ＝﹣
2 2
第1页（共29页）B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y ＜y
1 2
D．正比例函数y 与反比例函数y 都随x的增大而增大
1 2
6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形
的方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：x2﹣1＝ ．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如
果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形
的边长为1，由勾股定理得对角线长为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 ．
9．（3分）设x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x +x +x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝
°．
11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑
马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速
度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：
．
12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若
DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．
第2页（共29页）三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（ ﹣2）0；
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
14．（6分）解不等式组： 并在数轴上表示它的解集．
15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕
迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别
用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗
匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一
张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣ ，0），（ ，1），连接AB，以AB为边向上作等边三
角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
第3页（共29页）四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随
机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 参加英语听力训练人数
周一 周 周 周 周
二 三 四 五
七年级 15 20 a 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
（1）填空：a＝ ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少
人进行英语听力训练．
19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接
第4页（共29页）BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B
为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD
＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
填空：∠BAO＝ °．
①求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
②（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
第5页（共29页）数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
用含x的代数式表示：AD的长是 cm，BD的长是 cm；
①y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
②活动二
（2） 列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm①） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08
描点：根据表中数值，继续描出 中剩余的两个点（x，y）．
②连线：在平面直角坐标系中，请①用平滑的曲线画出该函数的图象．
③数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
22．（9分）在图1，2，3中，已知 ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形
AEFG，且∠EAG＝120°． ▱
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝ °；
（2）如图2，连接AF．
填空：∠FAD ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
①求证：点F在∠ABC的平分线上；
②
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求 的值．
六、（本大题共12分）
第6页（共29页）23．（12分）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y ＝﹣x2﹣x+1，y ＝﹣x2﹣2x+1，y ＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是 ；
1 2 3
抛物线y ，y ，y 都经过点C（0，1）；
1 2 3
①
抛物线y ，y 的对称轴由抛物线y 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
2 3 1
②
抛物线y ，y ，y 与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
1 2 3
③形成概念
（2）把满足y ＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
n
知识应用
在（2）中，如图2．
“系列平移抛物线”的顶点依次为P ，P ，P ，…，P ，用含n的代数式表示顶点P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y
1 2 3 n n
①与横坐标x之间的关系式；
“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C ，C ，C ，…， ，其横坐标分别为﹣k﹣1，
1 2 3 n
②﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等∁，直接写出相邻两点之间的
距离；若不相等，说明理由．
在 中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，连接 n A n ，C n﹣1 A n﹣1 ，判断 n A n ，C n﹣1 A n﹣1 是
③否平行②？并说明理由． ∁ ∁
第7页（共29页）2019 年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：2的相反数为：﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的知识，属于基础题，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）计算 ÷（﹣ ）的结果为（ ）
A．a B．﹣a C． D．
【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式＝ •（﹣a2）＝﹣a，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．
3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
第8页（共29页）故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的
百分数．
5．（3分）已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）
1 2
A．反比例函数y 的解析式是y ＝﹣
2 2
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y ＜y
1 2
D．正比例函数y 与反比例函数y 都随x的增大而增大
1 2
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解答】解：∵正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A（2，4），
1 2
第9页（共29页）∴正比例函数y ＝2x，反比例函数y ＝
1 2
∴两个函数图象的另一个角点为（﹣2，﹣4）
∴A，B选项错误
∵正比例函数y ＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y ＝ 中，在每个象限内y随x的增大而减小，
1 2
∴D选项错误
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y ＜y
1 2
∴选项C正确
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关
键．
6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形
的方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．
【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．
第10页（共29页）故选：D．
【点评】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：x2﹣1＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如
果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形
的边长为1，由勾股定理得对角线长为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 1. 4 ．
【分析】根据估算方法可求解．
【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长＝ ＝1.4
故答案为：1.4
【点评】本题考查了正方形的性质，读懂题意是本题的关键．
9．（3分）设x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x +x +x x ＝ 0 ．
1 2 1 2 1 2
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵x 、x 是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝1，x ×x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x +x +x x ＝1﹣1＝0．
1 2 1 2
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x
1 2 1 2 1 2
＝ ．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝
20 °．
第11页（共29页）【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20
【点评】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．
11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑
马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速
度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：
．
【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得： ，
故答案为： ，
【点评】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答．
12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若
DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 （ 2 ， 0 ）或（ 2 ﹣ 2 ， 0 ）或（ 2+ 2 ， 0 ） ．
【分析】先由已知得出D（4，1），D（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．
1 2
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）
∴AB∥y轴
∵点D在直线AB上，DA＝1
∴D （4，1），D （4，﹣1）
1 2
如图：
第12页（共29页）（Ⅰ）当点D在D 处时，要使CP⊥DP，即使△COP ≌△P AD
1 1 1 1
∴
即
解得：OP ＝2
1
∴P （2，0）
1
（Ⅱ）当点D在D 处时，
2
∵C（0，4），D （4，﹣1）
2
∴CD 的中点E（2， ）
2
∵CP⊥DP
∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点
设P（x，0），则PE＝CE
即
解得：x＝2±2
∴P （2﹣2 ，0），P （2+2 ，0）
2 3
综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2 ，0）或（2+2 ，0）．
【点评】本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的相关知识，本题比较复杂
难度较大．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
第13页（共29页）13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（ ﹣2）0；
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）
【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（ ﹣2）0
＝1+2+1
＝4；
（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的
值是解（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解（2）的关键．
14．（6分）解不等式组： 并在数轴上表示它的解集．
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解： ，
解 得：x＞﹣2，
解①得：x≤﹣1，
故②不等式组的解为：﹣2＜x≤1，
第14页（共29页）在数轴上表示出不等式组的解集为：
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕
迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断
EF∥BC；
（2）在（1）基础上分别延长AE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理
可判断DBC＝45°．
【解答】解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠BCD为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质
和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基
本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别
用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗
匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一
张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
第15页（共29页）（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
故答案为 ．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B
的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣ ，0），（ ，1），连接AB，以AB为边向上作等边三
角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长
即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标
（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴
第16页（共29页）∵点A坐标为（﹣ ，0），点B坐标为（ ，1）
∴|AB|＝ ＝2
∵BH＝1
∴sin∠BAH＝ ＝
∴∠BAH＝30°
∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC＝2
∴∠CAB+∠BAH＝90°
∴点C的纵坐标为2
∴点C的坐标为（ ，2）
（2）由（1）知点C的坐标为（ ，2），点B的坐标为（ ，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b
则 ，解得
故直线BC的函数解析式为y＝ x+
【点评】此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得
点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随
机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 参加英语听力训练人数
第17页（共29页）周一 周 周 周 周
二 三 四 五
七年级 15 20 a 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
（1）填空：a＝ 2 5 ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 2 7 14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少
人进行英语听力训练．
【分析】（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名×周一至
周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
∴八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为 （35+44+51+60+60）＝50，
第18页（共29页）∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480× ＝400（人）．
【点评】此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接
BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到
CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；
（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，证得∠ABE＝∠DAE，等量代换即
可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
第19页（共29页）理由：如图2，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBA+∠BAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠DAE，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠DAE，
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B
为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD
＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
填空：∠BAO＝ 16 0 °．
①求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
②（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
第20页（共29页）【分析】（1） 过点A作AG∥BC，根据平行线的性质解答便可；
过点A作AF①⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；
（②2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角
三角形求得∠MBC便可．
【解答】解：（1） 过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，
①
∵BC∥OE，
∴AG∥OE，
∴∠GAO＝∠AOE＝90°，
∴∠BAO＝90°+70°＝160°，
故答案为：160；
过点A作AF⊥BC于点F，如图2，
②
则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；
（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，
第21页（共29页）则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，
∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），
∴sin∠MBC＝ ，
∴∠MBC＝36.8°，
∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角
形．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
用含x的代数式表示：AD的长是 （ 6+ x ） cm，BD的长是 （ 6 ﹣ x ） cm；
①
y与x的函数关系式是 y ＝ ，自变量x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 6 ．
②
活动二
（2） 列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm①） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2 2.47 3 4.29 5.08 6
第22页（共29页）描点：根据表中数值，继续描出 中剩余的两个点（x，y）．
②连线：在平面直角坐标系中，请①用平滑的曲线画出该函数的图象．
③数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
【分析】（1） 利用线段的和差定义计算即可．
利用平行线分①线段成比例定理解决问题即可．
②（2） 利用函数关系式计算即可．
描出①点（0，6），（3，2）即可．
②由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
③（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1） 如图3中，由题意AC＝OA＝ AB＝6（cm），
①
∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
故答案为：（6+x），（6﹣x）．
作BG⊥OF于G．
②∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
第23页（共29页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ （0≤x≤6），
故答案为：y＝ ，0≤x≤6．
（2） 当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故答案①为2，6．
点（0，6），点（3，2）如图所示．
②函数图象如图所示．
③
（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．
性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（9分）在图1，2，3中，已知 ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形
AEFG，且∠EAG＝120°． ▱
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝ 6 0 °；
第24页（共29页）（2）如图2，连接AF．
填空：∠FAD ＝ ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
①求证：点F在∠ABC的平分线上；
②
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求 的值．
【分析】（1）根据菱形的性质计算；
（2） 证明∠DAB＝∠FAE＝60°，根据角的运算解答；
作F①M⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明△AFN≌△EFM，根据全等三角形的性质得到FN＝FM，根据
②角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到GH＝2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，
∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，
故答案为：60°；
（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D①AB＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠FAE＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
故答案为：＝；
作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，
②则∠FNB＝∠FMB＝90°，
∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，
∴∠AFN＝∠EFM，
∵EF＝EA，∠FAE＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴FA＝FE，
在△AFN和△EFM中，
，
∴△AFN≌△EFM（AAS），
∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，
第25页（共29页）∴点F在∠ABC的平分线上；
（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠FGE＝∠AGE＝30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，
∴∠GAH＝90°，又∠AGE＝30°，
∴GH＝2AH，
∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝AH＝GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，
∴BC＝AD，
∴BC＝GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，
∴平行四边形ABEH为菱形，
∴AB＝AH＝HE，
∴GE＝3AB，
∴ ＝3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全
等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
第26页（共29页）六、（本大题共12分）
23．（12分）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y ＝﹣x2﹣x+1，y ＝﹣x2﹣2x+1，y ＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是 ；
1 2 3
抛物线y 1 ，y 2 ，y 3 都经过点C（0，1）； ①②③
①
抛物线y ，y 的对称轴由抛物线y 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
2 3 1
②
抛物线y ，y ，y 与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
1 2 3
③形成概念
（2）把满足y ＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
n
知识应用
在（2）中，如图2．
“系列平移抛物线”的顶点依次为P ，P ，P ，…，P ，用含n的代数式表示顶点P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y
1 2 3 n n
①与横坐标x之间的关系式；
“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C ，C ，C ，…， ，其横坐标分别为﹣k﹣1，
1 2 3 n
②﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等∁，直接写出相邻两点之间的
距离；若不相等，说明理由．
在 中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，连接 n A n ，C n﹣1 A n﹣1 ，判断 n A n ，C n﹣1 A n﹣1 是
③否平行②？并说明理由． ∁ ∁
【分析】（1） 当x＝0时，分别代入抛物线y ，y ，y ，即可得y ＝y ＝y ＝1；
1 2 3 1 2 3
①
y ＝﹣x2﹣2x+1，y ＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣ ，y ＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣ ，
2 3 1
②
当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣1；﹣x2﹣2x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣2；﹣x2﹣3x+1＝1，可得x＝0
③或x＝﹣3；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2） y ＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣ ， ），可得y＝x2+1；
n
①
横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，纵坐标分别为﹣
② 第27页（共29页）k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，相邻两点间距离分别为 ；
当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，可求A（﹣1，1），A（﹣2，1），A（﹣3，1），…，A（﹣n，1），C（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C
1 2 3 n 1 2
③（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C （﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…， （﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1）；
3 n
【解答】解：（1） 当x＝0时，分别代入抛物线y
1
，y
2
，y 3∁，即可得y
1
＝y
2
＝y
3
＝1； 正确；
① ①
y ＝﹣x2﹣2x+1，y ＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣ ，
2 3
②
y ＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣ ，
1
由x＝﹣ 向左移动 得到x＝﹣1，再向左移动 得到x＝﹣ ，
正确；
②当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，
③∴x＝0或x＝﹣1；
﹣x2﹣2x+1＝1，
∴x＝0或x＝﹣2；
﹣x2﹣3x+1＝1，
∴x＝0或x＝﹣3；
∴相邻两点之间的距离都是1，
正确；
③故答案为 ；
①②③
（2） y ＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣ ， ），
n
①
令x＝﹣ ，y＝ ，
∴y＝x2+1；
∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），
②当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，
∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，
∴相邻两点间距离分别为 ；
∴相邻两点之间的距离都相等；
当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，
③∴x＝0或x＝﹣n，
第28页（共29页）∴A （﹣1，1），A （﹣2，1），A （﹣3，1），…，A （﹣n，1），
1 2 3 n
C（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…， （﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），
1 2 3 n
∁
∵ ＝k+1， ＝k+1， ＝k+1，…， ＝k+1，
∴ n A n ∥C n﹣1 A n﹣1 ；
【点∁评】本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，抛物线上点
的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．
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日期：2019/6/26 17:59:23；用户：冯锡眉；邮箱：zxfengxm@xyh.com；学号：22634181
第29页（共29页）
