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2019年广西梧州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
4．（3分）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．（3分）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
7．（3分）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
8．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，
BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
第1页（共24页）A．12 B．13 C．14 D．15
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，
82．下列关于这组数据的描述不正确的是（ ）
A．众数是108 B．中位数是105
C．平均数是101 D．方差是93
11．（3分）如图，在半径为 的 O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝
1，则CD的长是（ ） ⊙
A．2 B．2 C．2 D．4
12．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x ，x（x ＜x ），则
1 2 1 2
下列结论正确的是（ ）
A．x ＜﹣1＜2＜x B．﹣1＜x ＜2＜x C．﹣1＜x ＜x ＜2 D．x ＜﹣1＜x ＜2
1 2 1 2 1 2 1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（3分）计算： ＝ ．
14．（3分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，
第2页（共24页）且FG＝2cm，则BC的长度是 cm．
15．（3分）化简： ﹣a＝ ．
16．（3分）如图， ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于
点H，则∠BH▱F＝ 度．
17．（3分）如图，已知半径为1的 O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，
∠CAB＝20°，则阴影部分的扇⊙形OAC面积是 ．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋
转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）
19．（6分）计算：﹣5×2+3÷ ﹣（﹣1）．
第3页（共24页）20．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝﹣2．
21．（6分）解方程： +1＝ ．
22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次
从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两
个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣ 上的概率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ．
（1）求AD的长；
（2）求sin 的值．
α
24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为
100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单
价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并
求出最大利润．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线
于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
第4页（共24页）26．（12分）如图，已知 A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣ x+c过点A，与 A交于B、
⊙ ⊙
C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝
AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k x﹣1与 A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
1
⊙
第5页（共24页）2019 年广西梧州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义，a的倒数是 （a≠0），据此即可求解．
【解答】解：﹣6的倒数是：﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，理解定义是关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
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【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答
案．
【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故此选项错误；
B、2x+3x＝5x，故此选项错误；
C、（2x）2＝4x2，正确；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运
算法则是解题关键．
3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【考点】U1：简单几何体的三视图；U3：由三视图判断几何体．
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第6页（共24页）【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，
易判断该几何体是一个圆柱．
【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体
只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力．由三视图想象几何
体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面
的形状，然后综合起来考虑整体形状．
4．（3分）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【考点】F2：正比例函数的定义．
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【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出
答案．
【解答】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；
B、y＝ ，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义，正确把
握相关定义是解题关键．
5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】IG：钟面角．
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【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
第7页（共24页）【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键．
6．（3分）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7．（3分）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内
角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键
是直接根据内角和公式计算可得内角和．
8．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，
BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
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【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
第8页（共24页）【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题
关键．
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解
集，表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
由 得：x＞﹣3；
由①得：x≤2，
∴②不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，求出不等式
组的解集是解本题的关键．
10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，
82．下列关于这组数据的描述不正确的是（ ）
A．众数是108 B．中位数是105
C．平均数是101 D．方差是93
第9页（共24页）【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
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【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中
位数、平均数和方差，即可得出结论．
【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，
∴众数是108，中位数为 ＝105，平均数为 ＝101，
方差为 [（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣
101）2]≈94.3≠93；
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差、平均数、中位数、众数；熟练掌握方差、平均数、中位数、众数
的定义是解题关键．
11．（3分）如图，在半径为 的 O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝
1，则CD的长是（ ） ⊙
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF
＝CF，AG＝BG＝ AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝ ＝
2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝ OG＝2 ，求出∠OEF＝
30°，由直角三角形的性质得出OF＝ OE＝ ，由勾股定理得出DF═ ，即可得出答
案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
第10页（共24页）则DF＝CF，AG＝BG＝ AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝ ＝ ＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝ OG＝2 ，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝ OE＝ ，
在Rt△ODF中，DF＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝2DF＝2 ；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x ，x（x ＜x ），则
1 2 1 2
下列结论正确的是（ ）
A．x ＜﹣1＜2＜x B．﹣1＜x ＜2＜x C．﹣1＜x ＜x ＜2 D．x ＜﹣1＜x ＜2
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x ，x 看作是二次函数m＝
1 2
（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，
即可以求出x 与x ，当函数值m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分所对应的x的取
1 2
值范围，再根据x ＜x ，做出判断．
1 2
【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x ，x ，可以看作二次函数
1 2
第11页（共24页）m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，
∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：
当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；
又∵x ＜x
1 2
∴x ＝﹣1，x ＝2；
1 2
∴x ＜﹣1＜2＜x ，
1 2
故选：A．
【点评】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为
x ，x 的问题转化为二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（3分）计算： ＝ 2 ．
【考点】24：立方根．
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【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴ ＝2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方
等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”
其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
14．（3分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，
且FG＝2cm，则BC的长度是 8 cm．
第12页（共24页）【考点】KX：三角形中位线定理．
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【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝ DE，DE＝ BC．
【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解
题的关键．
15．（3分）化简： ﹣a＝ a ﹣ 4 ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣a＝ ﹣a
＝2a﹣4﹣a
＝a﹣4．
故答案为：a﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确分解因式是解题关键．
16．（3分）如图， ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于
点H，则∠BH▱F＝ 6 1 度．
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
第13页（共24页）则∠EDH＝29°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．
故答案为：61．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠EDH＝29°
是解题关键．
17．（3分）如图，已知半径为1的 O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，
⊙
∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．
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【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质
得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，
∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝65°，
∴∠AOC＝50°，
∴阴影部分的扇形OAC面积＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC
是解题的关键．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋
转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ﹣ 1 ．
第14页（共24页）【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，
∠ACD＝∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OB＝
AB＝1，OA＝ OB＝ ，得出AC＝2 ，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝
∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝2 ﹣2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出
PE＝ CE＝ ﹣1，PC＝ PE＝3﹣ ，即可得出结果．
【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，
AC⊥BD，
∴OB＝ AB＝1，
∴OA＝ OB＝ ，
∴AC＝2 ，
由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2 ﹣2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP+∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PE＝ CE＝ ﹣1，PC＝ PE＝3﹣ ，
∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣ ）＝ ﹣1；
第15页（共24页）故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性
质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）
19．（6分）计算：﹣5×2+3÷ ﹣（﹣1）．
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣10+9+1
＝0．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝a2﹣2a2
＝﹣a2，
当a＝﹣2时，原式＝﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
21．（6分）解方程： +1＝ ．
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：x2+2+x﹣2＝6，
第16页（共24页）则x2+x﹣6＝0，
（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣3，
1 2
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，故x＝2不是方程的根，
x＝﹣3是分式方程的解．
【点评】此题主要考查了分式方程的解法，正确去分母、检验是解题关键．
22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次
从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两
个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣ 上的概率．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．
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【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足
y＝ 的点的个数，由概率公式可求．
【解答】解：（1）用树状图表示为：
点M（x，y）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．
（2）在点M的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y＝﹣ 上，
∴P＝ ；
因此，点M（x，y）在双曲线y＝﹣ 上的概率为 ．
【点评】考查用树状图或列表法求随机事件发生的概率，树状图或列表法注意事件发生的
等可能性．
第17页（共24页）23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ．
（1）求AD的长；
（2）求sin 的值．
α
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，
进而由勾股定理求AD；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
【解答】解：（1）∵tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝ ；
（2）过点作DE⊥AB于点E，
第18页（共24页）∵tanB＝ ，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣ （舍），或y＝ ，
∴ ，
∴sin ＝ ．
α
【点评】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键
是构造直角三角形．
24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为
100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单
价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并
求出最大利润．
【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷售价，即可求得售价的范
围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：
由题意
（1）y＝（x﹣5）（100﹣ ×5）＝﹣10x2+210x﹣800
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240
解得，x ＝8，x ＝13
1 2
第19页（共24页）∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13
（3）∵每件文具利润不超过80%
∴ ，得x≤9
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5
∵对称轴为x＝10.5
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数
的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函
数的最值不一定在x＝ 时取得．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线
于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出
第20页（共24页）△ADE∽△FCE，则 ，可求出DE长；
（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则 ，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据
DF∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．
【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，
∴∠DAF＝∠ACF，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠FAC＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∵AB＝4，BC＝3，
∴ ＝ ＝5，
∴CF＝5，
∵AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，
∴ ，
设DE＝x，则 ，
解得x＝
∴ ；
（2）∵AD∥FH，AF∥DH，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD＝FH＝3，
∴CH＝2，BH＝5，
∵AD∥BH，
∴△ADG∽△HBG，
∴ ，
第21页（共24页）∴ ，
∴DG＝ ，
∵DE＝ ，
∴ ＝ ，
∴EG∥BC，
∴∠1＝∠AHC，
又∵DF∥AH，
∴∠AHC＝∠DFC，
∠1＝∠DFC．
【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与
性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．（12分）如图，已知 A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣ x+c过点A，与 A交于B、
⊙ ⊙
C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝
AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k x﹣1与 A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
1
⊙
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）证明RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），即可求解；
（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为（x， x+1），由AD＝AE，即可求解；
第22页（共24页）（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，
∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，
∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，
∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），
∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，
故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），
将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣ x+c并解得：
a＝ ，c＝11，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x+11；
（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝ x+1，则点D（﹣2，0），
点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），
则AB＝ ，AD＝5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为（x， x+1），
∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（ x+1）2，
解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），
故点E（6，4），
把x＝6代入y＝ x2﹣ x+11＝4，
故点E在抛物线上；
（3） 当切点在x轴下方时，
设直线①y＝k
1
x﹣1与 A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接
GA， ⊙
第23页（共24页）AH＝AB＝ ，GA＝ ，
∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，
∴ ，即： ，
解得：KO＝2或﹣ （舍去﹣ ），
故点K（﹣2，0），
把点K、G坐标代入y＝k x﹣1并解得：
1
直线的表达式为：y＝﹣ x﹣1；
当切点在x轴上方时，
②直线的表达式为：y＝2x﹣1；
故满足条件的直线解析式为：y＝﹣ x﹣1或y＝2x﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的切线性质、三角形相似等，
其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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日期：2019/8/5 10:21:50；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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