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2019年湖北省孝感市中考数学试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39
2．（3分）如图，直线l ∥l ，直线l 与l ，l 分别交于点A，C，BC⊥l 交l 于点B，若∠1＝70°，
1 2 3 1 2 3 1
则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．（3分）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x5＝x2 B．（xy2）2＝xy4
C．x2•x5＝x10 D．（ + ）（ ﹣ ）＝b﹣a
6．（3分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠
杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻
第1页（共28页）力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂（l 单位：m）的函数解析式正确
的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
7．（3分）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则
P'的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
9．（3分）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存
水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水
放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：
min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝
4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
第2页（共28页）A． B． C． D．
二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250
000 000用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）方程 ＝ 的解为 ．
13．（3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角
为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ 米．
14．（3分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周
内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；
C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是 ．
第3页（共28页）15．（3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用
圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面
积S 来近似估计 O的面积S，设 O的半径为1，则S﹣S ＝ ．
1 1
⊙ ⊙
16．（3分）如图，双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝ （x＞0）交AB，
BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面
积为 ．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）
17．（6分）计算：| ﹣1|﹣2sin60°+（ ）﹣1+ ．
18．（8分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
第4页（共28页）19．（7分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数
字不同外，其它完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；
然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，
已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），请
用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于 GB
①
的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以
②
点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线
于点D，交射线CK于点E．
第5页（共28页）请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根
x ，x ．
1 2
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x ，x 满足x 2+x 2﹣x x ＝16，求a的值．
1 2 1 2 1 2
22．（10分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体
机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，
且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一
体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不
低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
23．（10分）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆 O交于点D，与AC
交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G⊙．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
第6页（共28页）24．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，抛物线的解
析式为 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的
①坐标．
如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴
②
于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣ m（0＜m＜2）时，试比较f的
对应函数值f 和f 的大小．
1 2
第7页（共28页）2019 年湖北省孝感市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39
【考点】19：有理数的加法．
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【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣19+20＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（3分）如图，直线l ∥l ，直线l 与l ，l 分别交于点A，C，BC⊥l 交l 于点B，若∠1＝70°，
1 2 3 1 2 3 1
则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠1＝∠CAB＝70°，
∵BC⊥l 交l 于点B，
3 1
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
3．（3分）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
第8页（共28页）A． B．
C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
【考点】O1：命题与定理；V2：全面调查与抽样调查；W5：众数；W7：方差；X1：随机事件．
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【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可．
【解答】解：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项
A不合题意；
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项C符
合题意；
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意．
故选：C．
第9页（共28页）【点评】本题主要考查了随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查的方式，属于
基础题．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x5＝x2 B．（xy2）2＝xy4
C．x2•x5＝x10 D．（ + ）（ ﹣ ）＝b﹣a
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；79：二次根式
的混合运算．
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【分析】根据同底数幂的除法法则判断A；根据积的乘方法则判断B；根据同底数幂的乘法
法则判断C；根据平方差公式以及二次根式的性质判断D．
【解答】解：A、x7÷x5＝x2，故本选项正确；
B、（xy2）2＝x2y4，故本选项错误；
C、x2•x5＝x7，故本选项错误；
D、（ + ）（ ﹣ ）＝a﹣b，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方
法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键．
6．（3分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠
杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻
力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂（l 单位：m）的函数解析式正确
的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【考点】GA：反比例函数的应用．
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【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力
臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
第10页（共28页）7．（3分）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【考点】98：解二元一次方程组．
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【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
【解答】解： ，
﹣ ×2得，2y＝7，解得 ，
② ①
把 代入 得， +y＝1，解得 ，
①
∴ ＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则
P'的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把
△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，
∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
第11页（共28页）∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°
得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形
的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，
180°．
9．（3分）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存
水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水
放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：
min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可．
【解答】解：∵从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
第12页（共28页）∴水量逐渐减少为0，
综上，A选项符合，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机
的结合起来，难度不大．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝
4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
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【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余
弦可得CG的长，可得结论．
【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝ ，
第13页（共28页）∴ ，CG＝ ，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣ ＝ ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函
数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．
二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250
000 000用科学记数法可表示为 1.25×1 0 9 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）方程 ＝ 的解为 x ＝ 1 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：两边同时乘2x（x+3），得
x+3＝4x，
解得x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的根．
【点评】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求
出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根
很关键．
13．（3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角
为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ （ 2 0 ﹣ 2 0 ） 米．
第14页（共28页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得
到答案．
【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝ ，
则BD＝PD•tan∠BPD＝20 ，
在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，
∴CD＝PD＝20，
∴BC＝BD﹣CD＝20 ﹣20，
故答案为：（20 ﹣20）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周
内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；
C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是 108 ° ．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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第15页（共28页）【分析】先由A类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数求
出B类别人数，继而用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：∵被调查的总人数为9÷15%＝60（人），
∴B类别人数为60﹣（9+21+12）＝18（人），
则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°× ＝108°，
故答案为：108°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．
15．（3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用
圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面
积S 来近似估计 O的面积S，设 O的半径为1，则S﹣S ＝ 0.1 4 ．
1 1
⊙ ⊙
【考点】1O：数学常识；MM：正多边形和圆．
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【分析】根据圆的面积公式得到 O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S ＝
1
⊙
12× ×1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
【解答】解：∵ O的半径为1，
∴ O的面积S＝⊙3.14，
⊙
∴圆的内接正十二边形的中心角为 ＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝ OA＝ ，
∴圆的内接正十二边形的面积S ＝12× ×1× ＝3，
1
∴则S﹣S ＝0.14，
1
故答案为：0.14．
第16页（共28页）【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
16．（3分）如图，双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝ （x＞0）交AB，
BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面
积为 ．
【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象
上点的坐标特征．
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【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k
＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m， n），F（ m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形
面积公式得到S△BEF ＝ BE•BF＝ mn＝ ．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m•3n，
∴mn＝1，
第17页（共28页）∵双曲线y＝ （x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
∴双曲线y＝ （x＞0），
∴E（3m， n），F（ m，3n），
∴BE＝3n﹣ n＝ n，BF＝3m﹣ m＝ m，
∴S△BEF ＝ BE•BF＝ mn＝
故答案为 ．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形
面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）
17．（6分）计算：| ﹣1|﹣2sin60°+（ ）﹣1+ ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及立方
根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2× +6﹣3＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理
即可得出结论．
【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
第18页（共28页）在Rt△ACB和Rt△BDA中， ，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形
的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
19．（7分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数
字不同外，其它完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；
然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，
已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），请
用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．
【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）在﹣2，﹣1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ，
故答案为： ．
第19页（共28页）（2）列表如下：
﹣2 ﹣1 0 1
﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣1，﹣2） （0，﹣2） （1，﹣2）
﹣1 （﹣2，﹣1） （﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1）
0 （﹣2，0） （﹣1，0） （0，0） （1，0）
1 （﹣2，1） （﹣1，1） （0，1） （1，1）
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的
有：
（﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为 ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于 GB
①
的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以
②
点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线
于点D，交射线CK于点E．
第20页（共28页）请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 CD ＝ CE ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；N3：作图—复杂作图；T7：
解直角三角形．
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【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3
＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝ ＝13，知
sin∠DAF＝ ＝ ，即 ＝ ，解之求得x＝ ，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
第21页（共28页）∵ ，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝ ＝13，
∴sin∠DAF＝ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝ ＝ × ＝ ．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂
线和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质等知识点．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根
x ，x ．
1 2
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x ，x 满足x 2+x 2﹣x x ＝16，求a的值．
1 2 1 2 1 2
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．
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【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数
根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x +x ＝2（a﹣1），x x ＝a2﹣a﹣2，代入x 2+x 2﹣x x ＝16，解方程即可得到结论．
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实
数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x +x ＝2（a﹣1），x x ＝a2﹣a﹣2，
1 2 1 2
∵x 2+x 2﹣x x ＝16，
1 2 1 2
第22页（共28页）∴（x +x ）2﹣3x x ＝16，
1 2 1 2
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a ＝﹣1，a ＝6，
1 2
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范
围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
22．（10分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体
机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，
且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一
体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不
低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，
且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答
案；
（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元，
由题意可得： ，
解得： ，
答：今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；
（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100﹣m）套，
由题意可得：1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m，
解得：m≤600，
设明年需投入W万元，
W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m）
＝﹣0.3m+1980，
第23页（共28页）∵﹣0.3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤600，
∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的
应用，正确找出等量关系是解题关键．
23．（10分）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆 O交于点D，与AC
交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G⊙．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MI：三角形的内切圆与内心．
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【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝
∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；
（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；
（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD﹣DI即可．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝ ∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
第24页（共28页）∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三
角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了圆周角定理和三角形的外心．
24．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ，点B的坐标为 （ 4 ， 0 ） ，线段AC的长为 2 ，抛
物线的解析式为 y ＝ x 2 ﹣ x ﹣ 4 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的
①坐标．
如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴
②
于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣ m（0＜m＜2）时，试比较f的
第25页（共28页）对应函数值f 和f 的大小．
1 2
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝ ，即可求解；
（2）分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即
可．
（3）证明△EPH∽△CAO，∴ ，即： ，则EP＝ PH，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣x﹣4，
令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），
则AC＝2 ，
故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2 、y＝ x2﹣x﹣4；
（2） 当BC是平行四边形的一条边时，
①
第26页（共28页）如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，
设：点P（n， n2﹣n﹣4），点Q（m，0），
则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，
即：n+4＝m， n2﹣n﹣4+4＝0，
解得：m＝4或6（舍去4），
即点Q（6，0）；
当BC是平行四边形的对角线时，
②
设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝ m2﹣m﹣4，
由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，
解得：s＝2或4（舍去4），
故点Q（2，0）；
故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；
（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，
第27页（共28页）∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，
∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，
∴△EPH∽△CAO，∴ ，即： ，
则EP＝ PH，
设点P（t，y ），点H（x ，y ），
P H P
则 t2﹣t﹣4＝x ﹣4，
H
则x ＝ t2﹣t，
H
f＝ PH＝[t﹣（ t2﹣t）]＝﹣ （t2﹣4t），
当t＝m时，f ＝ （m2﹣4m），
1
当t＝4﹣ m时，f ＝﹣ （ m2﹣2m），
2
则f ﹣f ＝﹣ m（m﹣ ），
1 2
则0＜m＜2，∴f ﹣f ＞0，
1 2
f ＞f ．
1 2
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积
计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．
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日期：2019/7/29 11:52:54；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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