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2019年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x3﹣5x3＝﹣2x B．8x3÷4x＝2x
C． ＝ D． + ＝
3．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF
等于（ ）
A．75° B．90° C．105° D．115°
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10
场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
第1页（共31页）C． D．
6．（3分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半
径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝
3，CG＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
8．（3分）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程（s 米）与时
间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．乙队率先到达终点
B．甲队比乙队多走了126米
C．在47.8秒时，两队所走路程相等
D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢
9．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面
爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
第2页（共31页）A．3 B． C．3 D．3
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON
分别交 BC、CD于点 E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点 G．给出下列结论：
△COE≌△DOF； △OGE∽△FGC； 四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的
① ② ③
； DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（ ）
④
A． B． C． D．
二、填空①题②：③本大④题共8小题，①其②中③11-14题每小题3分①，②15④-18题每小题3分③，④共28分．只要
求填写最后结果．
11．（3分）2019年1月12日，“五指山”舰正式入列服役，是我国第六艘071型综合登陆舰
艇，满载排水量超过20000吨，20000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ ．
13．（3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯
的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表
所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是 ．
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 12 22 10 5 3
14．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2 ，则它的周长是 ．
第3页（共31页）15．（4分）不等式组 的解集为 ．
16．（4分）如图，AC是 O的弦，AC＝5，点B是 O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、
N分别是AC、BC的⊙中点，则MN的最大值是⊙ ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角
形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ x和y＝﹣ x的图象分别为直线l ，l ，
1 2
过l 上的点A（1， ）作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点
1 1 2 2 2 1 3
A 作x轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的横坐标为 ．
3 2 4 2019
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
第4页（共31页）19．（8分）（1）计算：（ ）﹣1+（3.14﹣ ）0+|2 ﹣ |+2sin45°﹣ ；
π
（2）化简求值：（ ﹣ ）÷ ，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作
为b的值，代入求值．
20．（8分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘
画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，
组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不
完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中
随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．
21．（8分）如图，AB是 O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在 O上，且AC＝CD，
∠ACD＝120°． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为3，求图中阴影部分的面积．
⊙
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝ 相交于A（﹣2，a）、B两点，
第5页（共31页）BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
23．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子
产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知
每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司
每天可获利32000元？
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中
点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 ．
（1）问题发现 α
当 ＝0°时， ＝ ； 当 ＝180°时， ＝ ．
① α ② α
（2）拓展探究
试判断：当0°≤ ＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
α
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点
第6页（共31页）P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线
DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请
说明理由．
第7页（共31页）2019 年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
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【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x3﹣5x3＝﹣2x B．8x3÷4x＝2x
C． ＝ D． + ＝
【考点】35：合并同类项；4H：整式的除法；66：约分；78：二次根式的加减法．
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【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式除以单项式、分式的约分、二次根式的加减
运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、3x3﹣5x3＝﹣2x3，故此选项错误；
B、8x3÷4x＝2x2，故此选项错误；
C、 ＝ ，正确；
D、 + 无法计算，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式除以单项式、分式的约分、二次根式的加
减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF
等于（ ）
第8页（共31页）A．75° B．90° C．105° D．115°
【考点】J9：平行线的判定．
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【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，
即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
第9页（共31页）C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
5．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10
场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在10场比赛中得到16分，列方程组即可．
【解答】解：设这个队胜x场，负y场，
根据题意，得 ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
6．（3分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a2+b2＞19的
情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2＞19的有4种结果，
∴a2+b2＞19的概率是 ＝ ，
第10页（共31页）故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半
径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝
3，CG＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．
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【分析】利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，再证明BF＝
CF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．
【解答】解：由作法得GF垂直平分BC，
∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∴BF＝CF，
∴CF为斜边AB上的中线，
∵AB＝ ＝5，
∴CF＝ AB＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
第11页（共31页）8．（3分）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程（s 米）与时
间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．乙队率先到达终点
B．甲队比乙队多走了126米
C．在47.8秒时，两队所走路程相等
D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断．
【解答】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率
先到达终点，本选项错误；
B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，本选项错误；
C、由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均无174米，本选项正确；
D、由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析
得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面
爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
第12页（共31页）A．3 B． C．3 D．3
【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题；U3：由三视图判断几何体．
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【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段
BF是最短路程．
【解答】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
∵ ＝4 ，
π
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6× ＝3 ，
∴最短路线长为3 ．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的
思维．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON
分别交 BC、CD于点 E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点 G．给出下列结论：
△COE≌△DOF； △OGE∽△FGC； 四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的
① ② ③
； DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（ ）
④
第13页（共31页）A． B． C． D．
【考点①】②KD③：④全等三角形的①判定②与③性质；LG：正方形①的②判④定与性质；S9：相③似④三角形的判定
与性质．
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【分析】 由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；
证明①点 O、E、C、F 四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得
②OGE∽△FGC便可；
先证明S△COE ＝S△DOF ，∴ 便可；
③
证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，
④得OG•AC＝BE2+DF2便可．
【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，A①C⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故 正确；
①∵∠EOF＝∠ECF＝90°，
②∴点O、E、C、F四点共圆，
∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，
∴OGE∽△FGC，
故 正确；
②∵△COE≌△DOF，
③∴S△COE ＝S△DOF ，
∴ ，
第14页（共31页）故 正确；
③）∵△COE≌△DOF，
④∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝∠OCE＝45°，
∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC＝OG：OE，
∴OG•OC＝OE2，
∵OC＝ AC，OE＝ EF，
∴OG•AC＝EF2，
∵CE＝DF，BC＝CD，
∴BE＝CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴BE2+DF2＝EF2，
∴OG•AC＝BE2+DF2，
故 错误，
故④选：B．
【点评】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，
相似三角形的对应边成比例．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要
求填写最后结果．
11．（3分）2019年1月12日，“五指山”舰正式入列服役，是我国第六艘071型综合登陆舰
艇，满载排水量超过20000吨，20000用科学记数法表示为 2×1 0 4 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据
此判断即可．
【解答】解：20000用科学记数法表示为2×104．
故答案是：2×104．
第15页（共31页）【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ （ x ﹣ 1 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），
故答案为：（x﹣1）（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯
的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表
所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是 1 ．
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 12 22 10 5 3
【考点】W4：中位数．
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【分析】由统计表可知总人数为52，得到中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个
数和第27个数都是1，即可确定出中位数为1．
【解答】解：由统计表可知共有：12+22+10+5+3＝52人，中位数应为第26与第27个的平均
数，
而第26个数和第27个数都是1，则中位数是1．
故答案为：1．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中
间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．
14．（3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2 ，则它的周长是 6 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理．
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【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三
角形的周长公式计算即可．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
第16页（共31页）∴AD＝ AB＝ ，
由勾股定理得，BD＝ ＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的周长为：6+2 +2 ＝6+4 ，
故答案为：6+4 ．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分
别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．（4分）不等式组 的解集为 ﹣ 7 ≤ x ＜ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
解不等式 ≤ ，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，
故答案为：﹣7≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（4分）如图，AC是 O的弦，AC＝5，点B是 O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、
⊙ ⊙
N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 ．
第17页（共31页）【考点】KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理．
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【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直
径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝ AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交 O于点B′，连接CB′，
∵AB′是 O的直⊙径，
∴∠ACB′⊙＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝ ＝ ＝5 ，
∴MN最大 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合
运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角
形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 （ ） ．
第18页（共31页）【考点】KK：等边三角形的性质；L8：菱形的性质；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】设CE和x轴交于H，根据等边三角形的性质可知CH＝1，根据勾股定理即可求出
AH的长，再根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质可求DH、AO的长，所以OD可
求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
【解答】解：如图，
∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，
∴CH＝1，
∴AH＝ ，
∵∠ABO＝∠DCH＝30°，
∴DH＝AO＝ ，
∴OD＝ ﹣ ﹣ ＝ ，
∴点D的坐标是（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、点关于x
轴对称的特点以及勾股定理的运用．
第19页（共31页）18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ x和y＝﹣ x的图象分别为直线l ，l ，
1 2
过l 上的点A（1， ）作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点
1 1 2 2 2 1 3
A 作x轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的横坐标为 ﹣ 3 100 9 ．
3 2 4 2019
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
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【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此
规律即可得出结论．
【解答】解：由题意可得，
A（1， ），A（1，﹣ ），A（﹣3，﹣ ），A（﹣3，3 ），A（9，3 ），A（9，﹣9
1 2 3 4 5 6
），…，
可得A 的横坐标为（﹣3）n
2n+1
∵2019＝2×1009+1，
∴点A 的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，
2019
故答案为：﹣31009．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目
中点的横坐标的变化规律．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）（1）计算：（ ）﹣1+（3.14﹣ ）0+|2 ﹣ |+2sin45°﹣ ；
π
（2）化简求值：（ ﹣ ）÷ ，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作
第20页（共31页）为b的值，代入求值．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊
角的三角函数值．
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【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减法；
（2）先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2019+1+ +2× ﹣2
＝2020+2 ﹣ + ﹣2
＝2020；
（2）原式＝ •
＝
＝ ，
当a＝﹣1时，取b＝2，
原式＝ ＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘
画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，
组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不
完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中
随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．
第21页（共31页）【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的
10%，得出算式即可得出结果；
（2）由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补
全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，画出树状图，即可得出答
案．
【解答】解：（1）∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，
占整个被抽取到学生总数的10%，
∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%＝200（人）；
（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：200×17.5%＝35（人），
报名“舞蹈”类的人数为：200×25%＝50（人）；
补全条形统计图如下：
（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，
∴扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为： ×360°＝126°；
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为 ＝ ．
第22页（共31页）【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练
掌握．
21．（8分）如图，AB是 O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在 O上，且AC＝CD，
∠ACD＝120°． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为3，求图中阴影部分的面积．
⊙
【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．
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【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°．
第23页（共31页）∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，
∴CD是 O的切线．
（2）解：⊙∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC ＝ ，
在Rt△OCD中，CD＝OC ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为 ．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝ 相交于A（﹣2，a）、B两点，
BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由
于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到 ×2×a＝2，解得a＝2，则可确定
A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝ 中即可求出m，n；
（2）根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
第24页（共31页）【解答】解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝ 相交于A（﹣2，a）、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B（2，﹣a），
∴C（2，0）；
∵S△AOC ＝2，
∴ ×2×a＝2，解得a＝2，
∴A（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝ 得﹣2m＝2，2＝ ，解得m＝﹣1，n＝﹣4；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴ ，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
23．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子
产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知
每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司
每天可获利32000元？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利
润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x ＝x ＝180．
1 2
第25页（共31页）180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中
点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 ．
（1）问题发现 α
当 ＝0°时， ＝ ； 当 ＝180°时， ＝ ．
① α ② α
（2）拓展探究
试判断：当0°≤ ＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
α
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1） 当 ＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据
① α
点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的 值是多少．
＝180°时，可得AB∥DE，然后根据 ＝ ，求出 的值是多少即可．
②α
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据 ＝ ＝ ，判断出△ECA∽△DCB，然后由
相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形： 如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时， 如图3﹣2中，当点E在
线段AB上时，分①别求解即可． ②
【解答】解：（1） 当 ＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B①＝90°α，
第26页（共31页）∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE＝ AC＝ ，BD＝ BC＝1，
∴ ＝ ．
如图1﹣1中，
②
当 ＝180°时，
可得α AB∥DE，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ， ．
① ②
（2）如图2，
当0°≤ ＜360°时， 的大小没有变化，
α
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵ ＝ ＝ ，
第27页（共31页）∴△ECA∽△DCB，
∴ ＝ ＝ ．．
（3） 如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，
①
在Rt△BCE中，CE＝ ，BC＝2，
∴BE＝ ＝ ＝1，
∴AE＝AB+BE＝5，
∵ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ．
如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，
②
易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，
∵ ＝ ，
∴BD＝ ，
综上所述，满足条件的BD的长为 或 ．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的
性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨
论的思想思考问题，属于中考压轴题．
第28页（共31页）25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点
P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线
DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请
说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；
（2）连接OP，由S＝S△AOC +S△OCP +S△OBP ，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次
函数的最值问题求出点P的坐标；
（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由
△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可
求得G点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2+x﹣4；
（2）如图1，连接OP，设点P（x， ），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，
由题意得C（0，﹣4），
∴S＝S△AOC +S△OCP +S△OBP
第29页（共31页）＝ + ，
＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，
＝﹣x2﹣4x+12，
＝﹣（x+2）2+16．
∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，
∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，
此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．
（3） ，
∴顶点M（﹣1，﹣ ）．
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣ ），
∴ ，
∴直线AM的解析式为y＝ ﹣3．
在Rt△AOC中， ＝2 ．
∵D为AC的中点，
第30页（共31页）∴ ，
∵△ADE∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝5，
∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，
∴E（﹣3，0），
由图可知D（1，﹣2）
设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴直线DE的解析式为y＝﹣ ﹣ ．
∴ ，
解得： ，
∴G（ ）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数
法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的
最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/8/3 9:36:48；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
第31页（共31页）
