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2017 年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．﹣5 C．D．
2．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是
（ ）
A．折线图 B．条形图 C．直方图 D．扇形图
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（ ）
A．1B．1.2 C．0.9 D．1.4
6．（3分）近似数5.0×102精确到（ ）
A．十分位 B．个位 C．十位D．百位
7．（3分）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费
180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相
同的情况下，他该付广告费（ ）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取
值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
第1页（共27页）9．（3分）下列命题中，假命题有（ ）
①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行
⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．
A．4个B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，
AC=x，S =y，则y与x的函数关系图象大致是（ ）
△PAB
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）不等式组 的整数解是 ．
12．（3分）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B= ．
13．（3分）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、
宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上
小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是 ．
14．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+ 是完全平方式，则a的值是 ．
第2页（共27页）15．（3分）在 ▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，
若AD=11，EF=5，则AB= ．
16．（3分）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点
的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直
线l′的函数关系式为 ．
17．（3分）如图，直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= 的图
象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点 D．若
AD=AC，则点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）
18．（5分）计算：（π﹣2017）0+6sin60°﹣|5﹣ |﹣（ ）﹣2．
19．（5分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．
20．（6分）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计
划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快 ，比原计划提前24min到达乙地
求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
21．（6分）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成
面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则
小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树
状图或列表法说明理由．
第3页（共27页）22．（8分）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位
置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高
7cm．求：
（1）单摆的长度（ ≈1.7）；
（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．
23．（8分）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩
达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学
生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．
（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：
组 平均 中位 方 合格 优秀
别 分 数 差 率 率
甲 6.8 a 3. 90% 30%
组 76
乙 b 7.5 1. 80% 20%
组 96
（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”
观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙
组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写
出两条支持乙组同学观点的理由．
第4页（共27页）24．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D为 的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D
作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．
25．（10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，
称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，
称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行
四边形为n阶准菱形，如图1， ▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则 ▱ABCD为1阶准菱形．
（1）猜想与计算：
邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知 ▱ABCD的邻边长分
别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出 ▱ABCD是 阶准菱形．
（2）操作与推理：
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把 ▱ABCD沿BE折叠（点E在
AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是
菱形．
第5页（共27页）26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，
2），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若
存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
第6页（共27页）2017 年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•通辽）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．﹣5 C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2017•通辽）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．（3分）（2017•通辽）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合
用的统计图是（ ）
A．折线图 B．条形图 C．直方图 D．扇形图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图
中得到具体的数据；
第7页（共27页）折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显
示各组之间频数的差别．
【解答】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占
的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选D．
【点评】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题
的关键．
4．（3分）（2017•通辽）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义等知识点，能熟记中心对
称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．
5．（3分）（2017•通辽）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差
是（ ）
A．1B．1.2 C．0.9 D．1.4
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，
第8页（共27页）∴（10+9+a+12+9）÷5=10，
解得：a=10，
∴这组数据的方差是 [（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）
2]=1.2．
故选B．
【点评】本题考查方差和平均数：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为，则方
1 2 n
差S2= [（x ﹣）2+（x ﹣）2+…+（x ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
1 2 n
波动性越大，反之也成立．
6．（3分）（2017•通辽）近似数5.0×102精确到（ ）
A．十分位 B．个位 C．十位D．百位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数5.0×102精确到十位．
故选C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确
度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一
个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
7．（3分）（2017•通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面
要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版
面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平
方厘米的广告费即可求出答案．
【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50= 元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15× =1620元
故选（C）
【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属
于基础题型．
第9页（共27页）8．（3分）（2017•通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数
根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不
等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，
∴ ，
解得：k＞﹣1．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式
的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等
式组是解题的关键．
9．（3分）（2017•通辽）下列命题中，假命题有（ ）
①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行
⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．
A．4个B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据线段的性质公理判断①；
根据角平分线的性质判断②；
根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④；
连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三
角形的性质得出结论．依此判断⑤．
【解答】解：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；
②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题
④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；
第10页（共27页）⑤如图，连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴ = ，
∴PA•PB=PC•PD，
故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质公理，角平分线的性质，垂线的性质，平行公理的
推论，点相交弦定理，是基础知识，需熟练掌握．
10．（3分）（2017•通辽）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若
线段AB=6，AC=x，S =y，则y与x的函数关系图象大致是（ ）
△PAB
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件推出△APC∽△PBC，根据相似三角形的性质得到PC= ，根
据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
第11页（共27页）∴△APC∽△PBC，
∴ ，
∵AB=6，AC=x，
∴BC=6﹣x，
∴PC2=x（6﹣x），
∴PC= ，
∴y= AB•PC=3 =3 ，
故选D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
三角形面积的计算，正确的判定函数的图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）（2017•通辽）不等式组 的整数解是 0 ， 1 ， 2 ．
【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，再求得整数解即可．
【解答】解：解不等式一得，x＞﹣1，
解不等式二得，x≤2，
不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
不等式组的整数解为0，1，2，
故答案为0，1，2．
【点评】本题考查了不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关
键．
12．（3分）（2017•通辽）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=
36° ．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，再根据角平分线的定
义，即可得到∠ECD=∠BCD，进而得出∠B=∠A．
第12页（共27页）【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，
又∵CD平分∠ECB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠B=∠A=36°，
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：
两直线平行，同位角相等，内错角相等．
13．（3分）（2017•通辽）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉
武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同
的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概
率是 ．
【分析】先找出唐朝以后出生的人物，然后依据概率公式计算即可．
【解答】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生
的有2人．
∴在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率= ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是概率公式，在上述5人中，确定出唐朝以后出生的人数
是解题的关键．
14．（3分）（2017•通辽）若关于x的二次三项式x2+ax+ 是完全平方式，则a的值是
± 1 ．
【分析】这里首末两项是x和 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和
积的2倍，故﹣a=±1，求解即可
【解答】解：中间一项为加上或减去x和 积的2倍，
故a=±1，
解得a=±1，
故答案为：±1．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2
第13页（共27页）倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．（3分）（2017•通辽）在 ▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC
交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= 8 或 3 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由 DF 平分∠ADC，得到
∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，
同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分
两种情况，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在 ▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
第14页（共27页）【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，
解答本题的关键是判断出AB=BE=CF=CD．
16．（3分）（2017•通辽）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标
系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个
单位后所得直线l′的函数关系式为 y = x﹣ ．
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作
AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可
得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴ OB•AB=5，
∴AB= ，
第15页（共27页）∴OC= ，
由此可知直线l经过（3， ），
设直线方程为y=kx，
则 =3k，
k= ，
∴直线l解析式为y= x，
∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y= x﹣ ；
故答案为：y= x﹣ ．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方
形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得
到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
17．（3分）（2017•通辽）如图，直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例
函数y= 的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于
点D．若AD=AC，则点D的坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ．
【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣ ），解直角三角形得到
∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD= ，AC= ，于是得到C（﹣3+ ，
﹣ ），列方程即可得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，
第16页（共27页）∴A（﹣3，0），B（0，﹣ ），
∴tan∠OAB= = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAE=30°，
设D（﹣3， ），
∵AD⊥x轴，
∴AD= ，
∵AD=AC，
∴AC= ，
∴CE= ，AE= ，
∴C（﹣3+ ，﹣ ），
∵C在反比例函数y= 的图象上，
∴（﹣3+ ）•（﹣ ）=k，
∴k=﹣6 ，
∴D（﹣3，2 ），
故答案为：（﹣3，2 ）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，反比例函
数图象上点的坐标特征，正确的点A、B、C的坐标解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）
18．（5分）（2017•通辽）计算：（π﹣2017）0+6sin60°﹣|5﹣ |﹣（ ）﹣2．
【分析】根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的
性质化简即可解决问题．
【解答】解：原式=1+6× ﹣3 +5﹣4
=2．
第17页（共27页）【点评】本题考查零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数
幂的性质等知识，熟练掌握基本概念是解题关键．
19．（5分）（2017•通辽）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x从0，1，2，3四个数
中适当选取．
【分析】首先化简（1﹣ ）÷ ，然后根据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适
当选取，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1﹣ ）÷
= ×
=
∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，
∴x≠1，2，3，
当x=0时，
原式= =﹣
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，
再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
20．（6分）（2017•通辽）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一
小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快 ，比原计划提前
24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．
【解答】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：
=1+ + ，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根，
答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关
键．
21．（6分）（2017•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每
第18页（共27页）个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字
之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方
公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公
式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等
即可．
【解答】解：这个游戏对双方是公平的．
如图，
∴一共有6种情况，和大于4的有3种，
∴P（和大于4）= = ，
∴这个游戏对双方是公平的．
【点评】本题考查的是游戏的公平性，熟记概率公式是解答此题的关键．
22．（8分）（2017•通辽）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，
在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A
比点B高7cm．求：
（1）单摆的长度（ ≈1.7）；
（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．
第19页（共27页）【分析】（1）作AP⊥OC、BQ⊥OC，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，
根据三角函数得OP=OAcos∠AOP= x、OQ=OBcos∠BOQ= x，由PQ=OQ﹣OP可得
关于x的方程，解之可得；
（2）由（1）知∠AOB=90°、OA=OB=7+7 ，利用弧长公式求解可得．
【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，
∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，
∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，
设OA=OB=x，
则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP= x，
在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ= x，
由PQ=OQ﹣OP可得 x﹣ x=7，
解得：x=7+7 ≈18.9（cm），
答：单摆的长度约为18.9cm；
（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7 ，
∴∠AOB=90°，
则从点A摆动到点B经过的路径长为 ≈29.295，
答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意构建直角
三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关
键．
23．（8分）（2017•通辽）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均
为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，
甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．
第20页（共27页）（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：
组 平均 中位 方 合格 优秀
别 分 数 差 率 率
甲 6.8 a 3. 90% 30%
组 76
乙 b 7.5 1. 80% 20%
组 96
（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”
观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙
组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写
出两条支持乙组同学观点的理由．
【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和甲权平均数的定义求解可得；
（2）根据中位数的意义求解可得；
（3）可从平均数和方差两方面阐述即可．
【解答】解：（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、
9、9、10，
∴其中位数a=6，
乙组学生成绩的平均分b= =7.2；
（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于全班中上游，
∴小英属于甲组学生；
（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；
②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．
【点评】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平
第21页（共27页）均数、中位数及方差的定义是解题的关键．
24．（9分）（2017•通辽）如图，AB为⊙O的直径，D为 的中点，连接OD交弦AC于
点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S =S ，推出S =S ，求出△ODE的
△AFO △CFD 四边形ACDE △ODE
面积即可．
【解答】（1）证明：∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接DC，
∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD，
在△AFO和△CFD中，
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S =S ，
△AFO △CFD
∴S =S
四边形ACDE △ODE
第22页（共27页）在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE= =4 ，
∴S =S = ×OD×DE= ×4×4 =8 ．
四边形ACDE △ODE
【点评】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）（2017•通辽）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的
一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下
一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，
则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1， ▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则 ▱ABCD为
1阶准菱形．
（1）猜想与计算：
邻边长分别为3和5的平行四边形是 3 阶准菱形；已知 ▱ABCD的邻边长分别
为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出 ▱ABCD是 1 2 阶准菱形．
（2）操作与推理：
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把 ▱ABCD沿BE折叠（点E在
AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是
菱形．
【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；
（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
第23页（共27页）利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的
菱形，
故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：
如图2，
∵b=5r，
∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，
利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边
长为1的菱形，
故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：
故答案为：3，12
（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，
第24页（共27页）以及平行四边形的准菱形的理解和应用，解（1）的关键是理解准菱形的意义，解
（2）的关键是掌握判断菱形的方法，是一道中考常考题．
26．（12分）（2017•通辽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣
2，0），B（2，2），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若
存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；
（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴
于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；
（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形
相似列比例式可得P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，
，
解得： ，
∴抛物线函数表达式为：y=﹣ x2+ x+2；
（2）y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；
∴对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
第25页（共27页）∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
∴C与B关于x=1对称，
∴CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，
∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，
∴AB= =2 ，
AC= =2 ，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；
答：△ACD的周长的最小值是2 +2 ，
（3）存在，
分两种情况：
①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，
过P作PD⊥y轴于D，
设P（1，y），
则△CGP∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴CG=1，
∴OG=2﹣1=1，
∴P（1，1）；
②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，
设P（1，y），
则△PEA∽△AOC，
∴ ，
∴ = ，
∴PE=3，
∴P（1，﹣3）；
综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．
第26页（共27页）【点评】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数
的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第3问采用了分类讨论的
思想，与三角形相似结合，列比例式可解决问题．
第27页（共27页）
