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2017 年广西贺州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2C．D．
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）一条关于数学学习方法的微博在一周内转发了318000次，将318000用
科学记数法可以表示为（ ）
A．3.18×105B．31.8×105C．318×104D．3.18×104
5．（3分）现有相同个数的甲、乙两组数据，经计算得： = ，且S 2=0.35，S
甲 乙
2=0.25，比较这两组数据的稳定性，下列说法正确的是（ ）
A．甲比较稳定 B．乙比较稳定
C．甲、乙一样稳定D．无法确定
6．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．正五边形B．平行四边形 C．矩形D．等边三角形
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与四边形
BCED的面积比为（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3 D．1：4
8．（3分）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面
上的投影不可能是（ ）
第1页（共23页）A． B． C． D．
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
10．（3分）一次函数y=ax+a（a为常数，a≠0）与反比例函数y=（a为常数，a≠0）
在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，= = ，点E是点D关于AB的
对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；
③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（3分）将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 ，按下列方式进行排列：
，2， ，2 ， ；
2 ， ，4，3 ，2 ；
…
若2的位置记为（1，2），2 的位置记为（2，1），则 这个数的位置记为（ ）
A．（5，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（3，5）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
第2页（共23页）13．（3分）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）为了调查某市中小学生对“营养午餐”的满意程度，适合采用的调查
方式是 ．（填“全面调查”或“抽样调查”）
15．（3分）将多项式2mx2﹣8mx+8m分解因式的结果是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=1，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向
旋转到△A B C的位置，点A 刚好落在BC的延长线上，求点A从开始到结束所经
1 1 1
过的路径长为（结果保留π） ．
17．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：2：3，其中正确
的结论有 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点
F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到
△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：（﹣1）2017+ ﹣（π﹣3）0+2cos30°．
第3页（共23页）20．（6分）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x= +1．
21．（8分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参
加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和
标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果
所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
22．（8分）如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的
水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线
与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处
与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
23．（8分）政府为了美化人民公园，计划对公园某区域进行改造，这项工程先由
甲工程队施工10天完成了工程的 ，为了加快工程进度，乙工程队也加入施工，甲、
乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程，求乙工程队单独完成这项工程需要
几天．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2 ，求四边形ABCD的面积．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点
D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．
第4页（共23页）26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），
抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x
轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角
三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共23页）2017 年广西贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•贺州） 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2C．D．
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．
2．（3分）（2017•贺州）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
【解答】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选：D．
【点评】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一
边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
3．（3分）（2017•贺州）下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义求解即可．
【解答】解：、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．
4．（3分）（2017•贺州）一条关于数学学习方法的微博在一周内转发了318000次，
第6页（共23页）将318000用科学记数法可以表示为（ ）
A．3.18×105B．31.8×105C．318×104D．3.18×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：将318000用科学记数法可以表示为3.18×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2017•贺州）现有相同个数的甲、乙两组数据，经计算得： = ，且S
甲
2=0.35，S 2=0.25，比较这两组数据的稳定性，下列说法正确的是（ ）
乙
A．甲比较稳定 B．乙比较稳定
C．甲、乙一样稳定D．无法确定
【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成
立解答即可．
【解答】解：∵S 2＞S 2，
甲 乙
∴乙比较稳定，
故选：B．
【点评】本题考查的是平均数和方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差
越大，波动性越大，反之也成立是解题的关键．
6．（3分）（2017•贺州）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A．正五边形B．平行四边形 C．矩形D．等边三角形
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
第7页（共23页）D、等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
7．（3分）（2017•贺州）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE
与四边形BCED的面积比为（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3 D．1：4
【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证
出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，
即可得出结果．
【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积=（ ）2=1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中
位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
8．（3分）（2017•贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角
形木框在地面上的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
第8页（共23页）【分析】根据看等边三角形木框的方向即可得出答案．
【解答】解：竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面
不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
故选：B．
【点评】本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结
论是解此题的关键．
9．（3分）（2017•贺州）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x+4≤13，得：x≤3，
解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
此题的关键．
10．（3分）（2017•贺州）一次函数y=ax+a（a为常数，a≠0）与反比例函数y=（a为
常数，a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性
质进行判断即可．
第9页（共23页）【解答】解：当a＞0时，一次函数y=ax+a，经过一二三象限，反比例函数图象位于
一、三象限，
当a＜0时，一次函数y=ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象
限．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性
质是解题的关键．
11．（3分）（2017•贺州）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，= = ，点E是
点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=
∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【 分 析 】 根 据 = = 和 点 E 是 点 D 关 于 AB 的 对 称 点 ， 求 出
∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M
和A重合时∠MDE=60°
即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出
DF长，即可判断④．
【解答】解：∵ = = ，点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正确；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
第10页（共23页）做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM
的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称﹣最短问题等知识点，能灵活运用圆周角
定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．
12．（3分）（2017•贺州）将一组数 ，2，，2 ， ，…，2 ，按下列方式进行排列：
，2， ，2 ， ；
2 ， ，4，3 ，2 ；
…
若2的位置记为（1，2），2 的位置记为（2，1），则 这个数的位置记为（ ）
A．（5，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（3，5）
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【解答】解：这组数据可表示为： 、 、 、 、 ；
、 、 、 、 ；
…
∵19×2=38，
∴ 为第4行，第4个数字．
故选：B．
第11页（共23页）【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2017•贺州）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 且 x ≠ 1
．
【分析】直接利用二次根式的定义、分式的有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：2x﹣1≥0，x﹣1≠0，
解得：x≥ 且x≠1．
故答案为：x≥ 且x≠1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14．（3分）（2017•贺州）为了调查某市中小学生对“营养午餐”的满意程度，适
合采用的调查方式是 抽样调查 ．（填“全面调查”或“抽样调查”）
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽
样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：了调查某市中小学生对“营养午餐”的满意程度，
因为人员多、所费人力、物力和时间较多
所以适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根
据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进
行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事
关重大的调查往往选用普查．
15．（3分）（2017•贺州）将多项式2mx2﹣8mx+8m分解因式的结果是 2m （ x﹣2 ）
2 ．
【分析】原式提取2m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2m（x2﹣4x+4）=2m（x﹣2）2，
故答案为：2m（x﹣2）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
第12页（共23页）是解本题的关键．
16．（3分）（2017•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=1，将Rt△ABC绕点C
按顺时针方向旋转到△A B C的位置，点A 刚好落在BC的延长线上，求点A从开
1 1 1
始到结束所经过的路径长为（结果保留π） π ．
【分析】利用余弦的概念求出AC，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠A=60°，
AC= =2，∠ACB=30°，
∴∠ACA =150°，
1
点A从开始到结束所经过的路径长为以C为圆心、2为半径的弧，即 = π，
故答案为： π．
【点评】本题考查的是点的轨迹以及弧长的计算，掌握弧长公式、旋转变换的性质、
正确找出点的运动轨迹是解题的关键．
17．（3分）（2017•贺州）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所
示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：
2：3，其中正确的结论有 ①④⑤ ．
【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位
置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△；根据当x=﹣2时，y＜0；抛物线
与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），即可得出结论．
【解答】解：①∵开口向下
第13页（共23页）∴a＜0
∵与y轴交于正半轴
∴c＞0
∵对称轴在y轴右侧
∴b＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数的对称轴是直线x=1，即二次函数的顶点的横坐标为x=﹣ =1，
∴2a+b=0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
∵b=﹣2a，
∴可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=﹣2时，y＜0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＜0，故④正确；
∵二次函数的图象和x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x=1，
∴另一个交点的坐标是（3，0），
∴设y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1）=ax2﹣2ax﹣3a，
即a=a，b=﹣2a，c=﹣3a，
∴a：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=﹣1：2：3，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求
2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
18．（3分）（2017•贺州）如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF
交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转
90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为 6 ．
第14页（共23页）【分析】由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来再证明∠GAE=∠FAE，
由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在
Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中 ，
∴△GAE≌△FAE．
∵AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、
全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构
造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）（2017•贺州）计算：（﹣1）2017+ ﹣（π﹣3）0+2cos30°．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值
分别化简求出答案．
【解答】解：原式=﹣1+3﹣1+2×
=1+ ．
第15页（共23页）【点评】此题主要考查了算术平方根的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角
函数值，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）（2017•贺州）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x= +1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式= •
=
当x= +1时，
原式=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
21．（8分）（2017•贺州）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来
决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，
3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出
一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式
求解即可；
（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．
【解答】解：
（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）= ；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）= ，P（小李）= ， ≠ ，
第16页（共23页）∴规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的
概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
22．（8分）（2017•贺州）如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员
在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A
处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该
生命迹象C处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，由三角形外角的性质可得出
∠ACB=30°，进而可得出BC=AB=4米，在Rt△CDB中利用锐角三角函数的定义即
可求出CD的值．
【解答】解：过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，
∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠CAB=∠ACB=30°，
∴BC=AB=4米，
在Rt△CDB中，BC=4米，∠CBD=60°，sin∠CBD= ，
∴sin60°= ，
∴CD=4sin60°=4× =2 ≈3.5（米），
故该生命迹象所在位置的深度约为3.5米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三
第17页（共23页）角形是解答此题的关键．
23．（8分）（2017•贺州）政府为了美化人民公园，计划对公园某区域进行改造，这
项工程先由甲工程队施工10天完成了工程的 ，为了加快工程进度，乙工程队也
加入施工，甲、乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程，求乙工程队单独完成
这项工程需要几天．
【分析】可设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据等量关系：甲、乙两个工
程队合作10天完成了剩余的工程，即工程总量的1﹣ ，依此列出方程求解即可．
【解答】解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，依题意有
（ + ）×10=1﹣ ，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程需要20天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．
24．（8分）（2017•贺州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，
AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2 ，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角平分线的定义得
到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠CBD，根据全等三角形的性质得到
AO=OC，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OD= BD= ，根据勾股定理得到OC= =2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
第18页（共23页）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=DO，
在△AOD与△COB中， ，
∴△AOD≌△COB，
∴AO=OC，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD= BD= ，
∴OC= =2，
∵AC=4，
∴S = AC•BD=4 ．
菱形ABCD
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，菱形的面积的计算，全等三角
形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关
键．
25．（10分）（2017•贺州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分
线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质和已知条件可证得OD∥EF，则可证得结论；
（2）过D作DG⊥AE于点G，连接CD，则可证得△ADF≌△ADG、△CDF≌△BDG，
第19页（共23页）则可求得AB的长，可求得圆的半径．
【解答】（1）证明：
如图1，连接OD，
∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠ADO=∠DAC，
∴AF∥OD，
∴AF⊥EF；
（2）解：
如图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD，
∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，
∴BD=CD，DG=DF，
在Rt△ADF和Rt△ADG中
第20页（共23页）∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），
同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，
∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，
∴AB=AG+BG=8+2=10，
∴⊙O的半径OA= AB=5．
【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，掌握过切点的半径与切线垂直
是解题的关键，注意全等三角形的应用．
26．（12分）（2017•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，
0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x
轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角
三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B
的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解
析式，设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），然后列出EF关
于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；
第21页（共23页）（3）过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，
先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求
得对应的x的值，从而可求得点P、P′、P″的坐标．
【解答】解：（1）∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），
∴AC=5．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=5．
∴B（﹣4，﹣5）．
将点A和点B的坐标代入得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1所示：
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得： ，解得：k=1，b=﹣
1．
所以直线AB的解析式为y=x﹣1．
设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．
∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+ ）2+ ．
∴当t=﹣ 时，FE取最大值 ，此时，点E的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
（3）存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．
理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交
抛物线P′、P″．
第22页（共23页）由（2）可知点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣ ，
∴点E（﹣ ，﹣ ）、F（﹣ ， ）．
①当﹣t2﹣2t+3= 时，解得：x=﹣ 或x=﹣ （舍去）．
∴点P的坐标为（﹣ ， ）．
②当﹣t2﹣2t+3=﹣ 时，解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ ．
∴点P′（﹣1﹣ ，﹣ ），P″（﹣1+ ，﹣ ）．
综上所述，点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣1﹣ ，﹣ ）或P″（﹣1+ ，﹣ ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出EF的长
关于t的函数关系式是解题的关键．
第23页（共23页）
