文档内容
2017 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．D．3
2．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个
数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108
3．（3分）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式组 的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1D．x＜3
5．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，
∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A．54° B．62° C．64° D．74°
6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿
掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长
为（ ）
第1页（共29页）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延
长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A．29° B．32° C．42° D．58°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，
0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y=（k
＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．B．C． D．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）计算： × = ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是
．
11．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点
1 2
D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
第2页（共29页）12．（3分）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径
作圆弧，交BC于点D，则 的长为 ．（结果保留π）
13．（3分）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们
称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH
都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，
DE=8，则AB的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐
标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与
△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
第3页（共29页）三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
15．（6分）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．
16．（6分）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球
除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放
回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方
法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．
17．（6分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，
求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，
cos31°=0.857，tan31°=0.60）
18．（7分）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的
单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买
跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．
19．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕
点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．
20．（7分）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学们某
天的睡眠时长（t 小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：
6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名同学的调查
问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问
题：
（1）求n的值；
第4页（共29页）（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．
21．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装
甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工
作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两
车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函
数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
22．（9分）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：
DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判
断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH
是菱形？你添加的条件是： ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角
线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积
和为 ．
第5页（共29页）23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折
线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每
秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的
速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时
间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的
中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段
CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部
分的面积比为1：2时t的值．
24．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们
对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两
个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y= ．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上
时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值；
第6页（共29页）（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1），连结MN．直接
写出线段MN与二
次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
第7页（共29页）2017 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•长春）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．D．3
【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．
【解答】解：3的相反数是﹣3
故选A．
【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个
数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
2．（3分）（2017•长春）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，
67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
第8页（共29页）A． B． C． D．
【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．
【解答】解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是 ，
故选D
【点评】此题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题关键．
4．（3分）（2017•长春）不等式组 的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1D．x＜3
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出每个解集的公共部分即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为x≤1，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等
式组的解集是解此题的关键．
5．（3分）（2017•长春）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若
∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A．54° B．62° C．64° D．74°
【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结
论．
第9页（共29页）【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=54°，
∵∠A=62°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是
解题的关键．
6．（3分）（2017•长春）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两
块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块
矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长
2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a﹣2b+2b×2
=3a﹣2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的
关系．
7．（3分）（2017•长春）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切
线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
第10页（共29页）A．29° B．32° C．42° D．58°
【分析】作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，由等腰三角形的
性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=54°，接下来，由切线的性质可证明
∠OCD=90°，最后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．
【解答】解：作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，
∵OA=OB′，
∴∠AB′C=∠OAB′=29°．
∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB′=58°．
∵CD是⊙的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠D=90°﹣58°=32°．
故选B．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、
三角形的内角和定理，求得∠ABC=∠OAB′=29°是解题的关键．
8．（3分）（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的
坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．
若函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
第11页（共29页）A．B．C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出点B的横坐标，再由DB：DC=3：1得出点C的
横坐标，由∠BAO=60°，得∠COD，即可得出点C坐标，即可得出k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴BC=4，
∵DB：DC=3：1，
∴B（﹣3，OD），C（1，OD），
∵∠BAO=60°，
∴∠COD=30°，
∴OD= ，
∴C（1， ），
∴k= ，
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数
图象上点的坐标特征是解题的关键．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）（2017•长春）计算： × = ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解： × = ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则 = 是
本题的关键，是一道基础题．
10．（3分）（2017•长春）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根
第12页（共29页）则a的值是 4 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣4a=0，解之即可得出a
值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是
解题的关键．
11．（3分）（2017•长春）如图，直线a∥b∥c，直线l ，l 与这三条平行线分别交于
1 2
点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 6 ．
【分析】由a∥b∥c，可得 = ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ = ，
∴ = ，
∴EF=6，
故答案为6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线
段成比例定理，属于中考常考题型．
第13页（共29页）12．（3分）（2017•长春）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，
BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则 的长为 ．（结果保留π）
【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数，再代入弧长公
式计算即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠B=∠C= （180°﹣100°）=40°，
∵AB=4，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也
考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
13．（3分）（2017•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》
时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD
和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三
角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 1 0 ．
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2
∴BF=BG﹣BF=6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB= = =10．
第14页（共29页）故答案是：10．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长
度．
14．（3分）（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若
△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 3 ） ．
【分析】根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD
的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可
得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．
【解答】解：如图 ，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 ，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A（4，3），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
第15页（共29页）解得 ，
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
x =2x ﹣x =2﹣4=﹣2，
A′ P A
y =2y ﹣y =0﹣3=﹣3，
A′ A′ A
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关
键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
15．（6分）（2017•长春）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最
简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，
当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2═36．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
16．（6分）（2017•长春）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，
b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，
记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图
（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况
数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
a b c
a （a，a） （b，a） （c，a）
第16页（共29页）b （a，b） （b，b） （c，b）
c （a，c） （b，c） （c，c）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，
则P= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
17．（6分）（2017•长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB
的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：
sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的
定义，即可求出BC的长．
【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹
角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角
即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，
实质也是解直角三角形问题．
18．（7分）（2017•长春）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．
已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费
900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．
【分析】首先设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，根据题意可得等量关系：
750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30，依此列出方程，再解方程可
第17页（共29页）得答案．
【解答】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，
依题意得： ﹣ =30，
解方程，得x=15．
经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．
答：跳绳的单价是15元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．
19．（7分）（2017•长春）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一
点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F
的度数．
【分析】由菱形的性质有BC=CD，∠BCD=∠A=110°，根据旋转的性质知CE=CF，
∠ECF=∠BCD=110°，于是得到∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，根据全等三角形的判
定证得△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，
由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，
∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠E=86°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，由
旋转的性质得到CE=CF，∠ECF=∠BCD是解题的关键．
20．（7分）（2017•长春）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，
第18页（共29页）将同学们某天的睡眠时长（t 小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：
7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名
同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息
解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．
【分析】（1）将各频数相加即可；
（2）先计算不足7小时（即最后两组：D和E组），两组的百分比，与总人数600的
积就是结果．
【解答】解：（1）n=12+24+15+6+3=60；
（2）（6+3）÷60×600=90，
答：估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）（2017•长春）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工
完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按
停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．
设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与
x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 8 0 件；这批服装的总件数为 1140 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
第19页（共29页）【分析】（1）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加工服
装件数，再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数+乙车间加工的件数，即可
求出这批服装的总件数；
（2）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件数，
根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间，即可求出乙车间修好设
备时间，再根据加工的服装总件数=120+工作效率×工作时间，即可求出乙车间
维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间，求出甲车间加工服装数量y与
x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于1000，求出x值，此题得解．
【解答】解：（1）甲车间每小时加工服装件数为720÷9=80（件），
这批服装的总件数为720+420=1140（件）．
故答案为：80；1140．
（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60（件），
乙车间修好设备的时间为9﹣（420﹣120）÷60=4（时）．
∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60
（x﹣4）=60x﹣120（4≤x≤9）．
（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x，
当80x+60x﹣120=1000时，x=8．
答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根
据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工
服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，找出甲车间加工服装数量
y与x之间的函数关系式．
22．（9分）（2017•长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中
第20页（共29页）点，可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判
断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH
是菱形？你添加的条件是： AC=BD ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角
线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积
和为 ．
【分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出
四边形EFGH的形状；
【应用】（1）同【探究】的方法判断出EF= AC，即可判断出EF=FG，即可得出结论；
（2）先判断出S =4S ，同理：S =4S ，进而得出S = ，再判断出
△BCD △CFG △ABD △AEH 四边形EFGH
OM=ON，进而得出S = S 即可．
阴影 四边形EFGH
【解答】解：【探究】平行四边形．
理由：如图1，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
【应用】（1）添加AC=BD，
理由：连接AC，BD，同（1）知，EF= AC，
同【探究】的方法得，FG= BD，
第21页（共29页）∵AC=BD，
∴EF=FG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴ ▱EFGH是菱形；
故答案为AC=BD；
（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，
∵F，G是BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD，
∴△CFG∽△CBD，
∴ ，
∴S =4S ，
△BCD △CFG
同理：S =4S ，
△ABD △AEH
∵四边形ABCD面积为5，
∴S +S =5，
△BCD △ABD
∴S +S = ，
△CFG △AEH
同理：S +S = ，
△DHG △BEF
∴S =S ﹣（S +S +S +S ）=5﹣ = ，
四边形EFGH 四边形ABCD △CFG △AEH △DHG △BEF
设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，
∵FG∥BD，FG= BD，
∴CM=OM= OC，
同理：AN=ON= OA，
∵OA=OC，
∴OM=ON，
易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，
∴S = S = ，
阴影 四边形EFGH
故答案为 ．
第22页（共29页）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判
定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出HG∥AC，
HG= AC，解【应用】的关键是判断出S = ，是一道基础题目．
四边形EFGH
23．（10分）（2017•长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点
A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，
在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个
单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点
P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的
中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段
CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部
分的面积比为1：2时t的值．
第23页（共29页）【分析】（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC﹣CQ即可解决问题；
（2）分两种情形列出方程求解即可；
（3）①分三种情形a、如图1中，当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF．b、如图2
中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分
是五边形MNPBQ．分别求解即可；
②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积
比为1：2．b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比
为1：2．分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= = =8，
∵CQ= t，
∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）．
（2）①当PQ∥BC时， = ，
∴ = ，
∴t= s．
②当PQ∥AB时， = ，
∴ = ，
∴t=3，
综上所述，t= s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．
（3）①如图1中，a、当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF．
第24页（共29页）S=PE•EQ=3t•（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t．
b、如图2中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．
S=S ﹣S =（16t2﹣24t）﹣ • [5t﹣（8﹣ t）]• [5t﹣（8﹣ t0]=﹣ ．
四边形PEQF △PFN
C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．
S=S ﹣S = t•[6﹣3（t﹣2）]﹣ •[ t﹣4（t﹣2）]• [ t﹣4（t﹣2）]=﹣
四边形PBQF △FNM
t2+30t﹣24．
②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
第25页（共29页）则有（4﹣4t）：（4﹣ t）=1：2，解得t= s，
b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，
∴（4t﹣4）：（4﹣ t）=1：3，
解得t= s，
综上所述，当t= s或 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判
定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当
x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我
们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=
．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上
第26页（共29页）时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1），连结MN．直接
写出线段MN与二
次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y= ，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣
ax+3求解即可；
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数为y= ，①分为m＜0和m≥0两种情
况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+ ，然
后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ ，求得此时的最
大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；
（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2
个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y= ，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3
得：5a+3=8，解得：a=1．
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数为y=
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，解得：m=2+（舍去）或
m=2﹣ ．
当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣ 得：﹣m2+4m﹣ = ，解得：m=2+ 或m=2
﹣ ．
综上所述：m=2﹣ 或m=2+ 或m=2﹣ ．
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+ ，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小
∴此时y的最大值为 ．
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ ，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小
值为﹣ ，当x=2时，有最大值，最大值y= ．
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值为 ，最小值为
﹣ ；
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公
第27页（共29页）共点．
所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共
点
∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n=1，解得：n=﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2
个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共
点．
∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），
第28页（共29页）∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共
点．
∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣ ，1），
∴ +2﹣n=1，解得：n= ．
∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共
点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ ．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数
的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数 y=﹣
x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是
解题的关键．
第29页（共29页）
