文档内容
2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，
在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）
1．（3分）|（﹣3）﹣5|等于（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2D．8
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平
方公里．90021用科学记数法表示为（ ）
A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6
5．（3分）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（
）
A．65° B．50° C．55° D．60°
6．（3分）能使式子 + 成立的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥2C．1≤x≤2 D．x≤2
7．（3分）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径
的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概
率为（ ）
第1页（共30页）A．B．C．D．
8．（3分）下面几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点A（1，y ）、B（3，y ）是反比例函数y= 图象上的两点，则y 、y 的大小关
1 2 1 2
系是（ ）
A．y ＞y B．y =y C．y ＜y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
10．（3分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交
点O处，若折痕EF=2 ，则∠A=（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
11．（3分）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的
解析式为（ ）
A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8
12．（3分）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）
第2页（共30页）13．（3分）分解因式：xy2+8xy+16x= ．
14．（3分）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是 ．
15．（3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P（' ﹣y+1，
x+2），我们把点P（' ﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P 的终结点为
1
P ，点P 的终结点为P ，点P 的终结点为P ，这样依次得到P 、P 、P 、P 、…P 、…，
2 2 3 3 4 1 2 3 4 n
若点P 的坐标为（2，0），则点P 的坐标为 ．
1 2017
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明
证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）
17．（6分）（ ﹣ ）÷ ，其中a=2017°+（﹣ ）﹣1+ tan30°．
18．（6分）已知平行四边形ABCD．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．
19．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，
学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型
A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的
学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．
请根据图中提供的数据解答下列问题：
（1）求此次抽查的学生人数；
（2）将图2补充完整，并求图1中的x；
（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测
试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）
第3页（共30页）20．（10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已
知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同
学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，
cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
21．（10分）如图，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段
AB为边在第一象限作等边△ABC．
（1）若点C在反比例函数y= 的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）点P（2 ，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB
相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，
请加以说明．
22．（10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳
第4页（共30页）沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购
买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据
（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
23．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为
D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
24．（12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作
AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C= ，则
S = BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C，
△ABC
即S = absin∠C
△ABC
同理S = bcsin∠A
△ABC
S = acsin∠B
△ABC
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S 和DE2．
△DEF
解：S = EF×DFsin∠F= ；
△DEF
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ．
第5页（共30页）（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以
AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为
S 、S 、S 、S ，求证：S +S =S +S ．
1 2 3 4 1 2 3 4
25．（12分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、
D、E分别是OA、OB、AB的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是
否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG
为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．
26．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴
于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
第6页（共30页）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P
在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存
在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
第7页（共30页）2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，
在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）
1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2D．8
【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．
【解答】解：|（﹣3）﹣5|
=|﹣3﹣5|
=|﹣8|
=8，
故选D．
【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的
计算方法．
2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键
第8页（共30页）是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面
积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（ ）
A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、不是同类项不能合并，故B错误；
C、x2•x3=x5，故C错误；
D、（x2）3=x6，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和
法则是解题的关键．
5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，
则∠2等于（ ）
第9页（共30页）A．65° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出
∠2的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，
∴∠3=90°﹣35°=55°，
又∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．
6．（3分）（2017•赤峰）能使式子 + 成立的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥2C．1≤x≤2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：1≤x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方
数是非负数．
7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是
第10页（共30页）以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴
影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S ，进而得出
△CEB
答案．
【解答】解：如图所示：连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S = S = S ，
△CEB △BEC 正方形ABCD
故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S
△CEB
是解题关键．
8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
第11页（共30页）【解答】解：从正面看 ，
故选：C．
【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y ）、B（3，y ）是反比例函数y= 图象上的两点，则
1 2
y 、y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y =y C．y ＜y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．
【解答】解：∵反比例函数y= 中的9＞0，
∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，y ）、B（3，y ）都位于第一象限，且1＜3，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系
数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．
10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落
在对角线的交点O处，若折痕EF=2 ，则∠A=（ ）
A．120° B．100° C．60° D．30°
【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分
AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的
长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而
∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．
【解答】解：
第12页（共30页）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，
∴BD=2EF=4 ，
∴BO=2 ，
∴AO= =2，
∴AO= AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAD=120°．
故选A．
【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的
运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决
问题的关键．
11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长
度，所得直线的解析式为（ ）
A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8
【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．
第13页（共30页）【解答】解：由题意，得
y=2x﹣3+8，
即y=2x+5，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题
关键．
12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．
【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，
∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3
∵25=1×25，或25=5×5，
∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；
②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；
∴x+y=18或10，
故选 A．
【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解
题的关键．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x= x （ y + 4 ） 2 ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3
项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：xy2+8xy+16x
=x（y2+8y+16）
=x（y+4）2．
故答案为：x（y+4）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多
项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考
第14页（共30页）虑运用公式法分解．
14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是 m ＜ 2 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得
出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是 1 6
．
【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平
均数，再相加即可．
【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；
数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；
平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；
5+5+6=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数是指在一组数据中所有
数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数
最多的数据，注意众数可以不止一个．
16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点
P（' ﹣y+1，x+2），我们把点P（' ﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P 的终
1
结点为P ，点P 的终结点为P ，点P 的终结点为P ，这样依次得到P 、P 、P 、
2 2 3 3 4 1 2 3
第15页（共30页）P 、…P 、…，若点P 的坐标为（2，0），则点P 的坐标为 （ 2 ， 0 ） ．
4 n 1 2017
【分析】求得点P 、P 、P 、P 的值，即可发现其中规律，即可解题．
2 3 4 5
【解答】解：P 坐标为（2，0），则P 坐标为（1，4），P 坐标为（﹣3，3），P 坐标为（﹣
1 2 3 4
2，﹣1），P 坐标为（2，0），
5
∴P 的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，
n
∵2017=2016+1=4×504+1，
∴P 坐标与P 点重合，
2017 1
故答案为（2，0）．
【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到P 坐标得规律是解题
n
的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明
证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）
17．（6分）（2017•赤峰）（ ﹣ ）÷ ，其中a=2017°+（﹣ ）﹣1+ tan30°．
【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．
【解答】解：原式= × ﹣ ×
= ﹣
=
由于a=2017°+（﹣ ）﹣1+ tan30°，
∴a=1﹣5+3=﹣1
∴原式=﹣ =﹣2
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基
础题型．
18．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．
第16页（共30页）【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；
（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由
AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AF平分∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴CE=CF．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题
的关键．
19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一
定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调
查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生
D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的
统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：
（1）求此次抽查的学生人数；
（2）将图2补充完整，并求图1中的x；
第17页（共30页）（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测
试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）
【分析】（1）根据百分比= 计算即可；
（2）求出B、C的人数画出条形图即可；
（3）利用树状图，即可解决问题；
【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．
（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，
条形图如图所示，
（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为 = ．
【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
第18页（共30页）20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如
图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为
8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由．（提示：
sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB
的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．
【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
理由：作AD⊥BC于点D，
∵∠C=50°，AC=20cm，
∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，
CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，
∵BC=18cm，
∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，
∴AB= = ，
∵17= ＜ ，
∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．
第19页（共30页）21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点
A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．
（1）若点C在反比例函数y= 的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）点P（2 ，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB
相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，
请加以说明．
【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可
求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利
用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可
求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
【解答】解：
（1）在y=﹣ x+1中，令y=0可解得x= ，令x=0可得y=1，
∴A（ ，0），B（0，1），
∴tan∠BAO= = = ，
∴∠BAO=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°，
在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，
∴AC=2，
∴C（ ，2），
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
第20页（共30页）∴k=2× =2 ，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）∵P（2 ，m）在第一象限，
∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = ，PD=m，
当△ADP∽△AOB时，则有 = ，即 = ，解得m=1，此时P点坐标为（2 ，1）；
当△PDA∽△AOB时，则有 = ，即 = ，解得m=3，此时P点坐标为（2 ，3）；
把P（2 ，3）代入y= 可得3≠ ，
∴P（2 ，3）不在反比例函数图象上，
把P（2 ，1）代入反比例函数解析式得1= ，
∴P（2 ，1）在反比例函数图象上；
综上可知P点坐标为（2 ，1）．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三
角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点
坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键
注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫
工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树
苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据
（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树
苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗
的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得： = ，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
第21页（共30页）答：梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，
依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：梨树苗至少购买850棵．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题
的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．
23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，
BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到
∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到
∠OAM=90°，于是得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到
∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2 ，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
第22页（共30页）∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切线；
（2）∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2 ，
∴S =S ﹣S = （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣ ．
阴影 梯形OADC 扇形OAC
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，
b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C= ，则
S = BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C，
△ABC
即S = absin∠C
△ABC
同理S = bcsin∠A
△ABC
S = acsin∠B
△ABC
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
第23页（共30页）b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S 和DE2．
△DEF
解：S = EF×DFsin∠F= 6 ；
△DEF
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 4 9 ．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以
AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为
S 、S 、S 、S ，求证：S +S =S +S ．
1 2 3 4 1 2 3 4
【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可
得出结论；
方法2、先用正弦定理得出S ，S ，S ，S ，最后用余弦定理即可得出结论．
1 2 3 4
【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S = EF×DFsin∠F= ×3×8×sin60°=6 ，
△DEF
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，
故答案为：6 ，49；
（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，
第24页（共30页）∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，
两边同时乘以 sin60°得， AB2sin60°= AC2sin60°+ BC2sin60°﹣ AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S = AC•BCsin60°，S = AB2sin60°，S = BC2sin60°，S = AC2sin60°，
1 2 3 4
∴S =S +S ﹣S ，
2 4 3 1
∴S +S =S +S ，
1 2 3 4
方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴S = absin∠C= absin60°= ab
1
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S = c•c•sin60°= c2，S = a•a•sin60°= a2，S4= b•b•sin60°= b2，
2 3
∴S +S = （ab+c2），S +S = （a2+b2），
1 2 3 4
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，
∴a2+b2=c2+ab，
∴S +S =S +S ．
1 2 3 4
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是
理解新定义，会用新定义解决问题．
25．（12分）（2017•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角
三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是
否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG
为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．
第25页（共30页）【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后
用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；
（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，
∠GOA=∠GAO，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，
∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，
∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，
∴点P，O，Q在同一条直线上，
∵∠APO=∠BQO=90°，
∴AP∥BQ，
∴∠PAE=∠FBE，
∵点E是AB中点，
∴AE=BE，
∵∠AEP=∠BEF，
∴△APE≌△BFE，
∴PE=EF，
∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，
∴EP=EQ；
第26页（共30页）（2）成立，
证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，
∴CE∥OB，CE= OB，
∴∠DOC=∠ECA，
∵点D是Rt△OQB斜边中点，
∴DQ= OB，
∴CE=DQ，
同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，
∴∠ECA=∠BDE，
∵∠PCE=∠EDQ，
∴△EPC≌△QED，
∴EP=EQ；
（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰
直角三角形，
∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，
∴GB=GO=GA，
∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，
设∠GOB=x，∠GOA=y，
∴x+x+y+y+60°=360°
∴x+y=150°，
∴∠AOB=150°．
第27页（共30页）【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构
造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分
别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．
26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B
两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P
在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存
在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则
可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大
值；
第28页（共30页）（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示
出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标
的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，PM有最大值 ；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2 时，即QH=HG=2 ，
第29页（共30页）∴QG= ×2 =4，
∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直
角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛
物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中
构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性
较强，难度适中．
第30页（共30页）
