文档内容
第 3 节 带电粒子在匀强磁场中的运动
【目录】
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................2
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：带电粒子在匀强磁场中的运动........................................................................................................2
知识点2：带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期................................................................................4
知识点3：带电粒子垂直进入不同形状磁场区域的运动规律........................................................................5
【巩固训练】.............................................................................................................................................................13
【学习目标】
1．知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场会在磁场中做匀速圆周运动，能推导出匀速圆周运
动的半径公式和周期公式，能解释有关的现象，解决有关实际问题。
2．经历实验验证带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动以及其运动半径与磁感应强度的大小和入射
速度的大小有关的过程，体会物理理论必须经过实验检验。
3．知道洛伦兹力作用下带电粒子做匀速圆周运动的周期与速度无关，能够联想其可能的应用。能用洛伦
兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
重点：
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并能用来分析有关问题。
难点：
1．粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。【思维导图】
【知识梳理】
知识点 1：带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹
（1）思考：带电粒子垂直射入匀强磁场时，其受力情况是怎样的？
设一电子（质量为9.0×10-31kg，电荷量为-1.6×10-19C）以1m/s的速度垂直进入一个磁感应强度为1T
的匀强磁场。g取10m/s2。求其所受洛伦兹力和重力的大小各为多少？
洛伦兹力F ＝____________________
洛
重力G＝____________________
由此可知，重力__________洛伦兹力。即在分析带电粒子在磁场中运动的相关问题时，带电粒子所受
重力的影响可__________。
（2）思考：垂直进入磁场的带电粒子，其运动轨迹是怎样的？
由于洛伦兹力始终__________于电荷的运动方向，只能改变运动电荷的__________，不改变运动电荷
的__________，对运动电荷永远__________，所以，当垂直进入磁场时，带电粒子做__________运动，
__________充当向心力。
2．演示实验：观察带电粒子的运动轨迹。【例1】物体做圆周运动时，需要有外力作为向心力，当带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，作为向心
力的是（ ）
A．库仑力 B．洛伦兹力 C．安培力 D．万有引力
【变式1】如图所示，一个带正电的粒子沿x轴正向射入匀强磁场中，它所受到的洛伦兹力方向沿y轴正
向，则磁场方向（ ）
A．一定沿z轴正向
B．一定沿z轴负向
C．一定与xOy平面平行且向下
D．一定与xOz平面平行且向下
【变式2】某同学在学完地磁场和洛伦兹力的知识后，想到了这样一个问题：若把地磁场简化为一根通有
恒定电流螺线管形成的磁场，有一带电粒子从外太空以一定的速度进入地磁场，若仅考虑洛伦兹力，则带
电粒子可能做匀速圆周运动的位置在（ ）
A．南极附近 B．北极附近 C．赤道附近 D．某一经线【变式3】一带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，不受磁场影响的物理量是（ ）
A．速度 B．加速度
C．位移 D．动能
知识点 2：带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
（1）半径公式：
∵洛伦兹力充当__________
∴__________
解得__________
由此可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的__________、__________成正比，与
__________、__________成反比。对于某种粒子，若其速度大小不变，当磁感应强度减小时，粒子圆轨迹
的半径__________；若磁感应强度不变，当其速度变大时，粒子圆轨迹的半径__________。
（2）周期公式：
方法一： 方法二：
∵洛伦兹力充当__________ 由周期的定义式__________
∴__________ 又∵𝑟= 𝑚𝑣
𝑞𝐵
又∵𝑟= 𝑚𝑣
𝑞𝐵 ∴__________
解得__________
（3）平行入射的带电粒子（v∥B）在匀强磁场中做__________。
（4）带电粒子的运动方向与磁场方向夹角为θ时，粒子在平行磁场方向做__________，在垂直磁场方向
做__________。两种运动的合运动是____________________。
【例2】航天员登月后，通过电子在月球磁场中的运动轨迹来推算磁场的强弱分
布。如图分别是探测器处于月球a、b、c、d四个不同位置时电子运动轨迹的组
合图，若每次电子的出射速率相同，且与磁场方向垂直，则a、b、c、d中磁场
最弱的位置为（ ）
A．a B．b C．c D．d【变式1】实验观察到，静止在匀强磁场中A点的原子核发生β衰变，衰变产生的新核与β粒子恰在纸面
内做匀速圆周运动，粒子的轨迹如图所示，其中粒子在轨迹1是按顺时针方向运动，则（ ）
A．轨迹1是新核的，粒子在轨迹2是按顺时针方向活动
B．轨迹2是新核的，粒子在轨迹2是按顺时针方向运动
C．轨迹1是新核的，粒子在轨迹2是按逆时针方向运动
D．轨迹2是新核的，粒子在轨迹2是按逆时针方向运动
【变式2】一带电粒子经加速电压U加速后进入匀强磁场区域，现仅将加速电压增大到原来的2倍后，粒
子再次进入匀强磁场，则（ ）
A．运动的轨道半径变为原来的2倍 B．运动的动能变为原来的2倍
C．运动周期变为原来的 2倍 D．运动的角速度变为原来的 2倍
【变式3】图甲为洛伦兹力演示仪的实物图，乙图为其结构示意图。演示仪中有一对彼此平行的共轴串联
的圆形线圈（励磁线圈），通过电流时，两线圈之间产生沿线圈轴向、方向垂直纸面向内的匀强磁场。圆
球形玻璃泡内有电子枪，电子枪发射电子，电子在磁场中做匀速圆周运动。电子速度的大小可由电子枪的
加速电压来调节，磁场强弱可由励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是（ ）
A．仅使励磁线圈中电流为零，电子枪中飞出的电子将做匀加速直线运动
B．乙图中电子发射时向右运动，若要正常观察电子运动径迹，励磁线圈中电流方向应该为逆时针（垂
直纸面向里看）
C．仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的半径将变大
D．仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的半径将变小
知识点 3：带电粒子垂直进入不同形状磁场区域的运动规律
（1）解决此类问题的关键：确定__________；一定__________，二定__________，三定__________。（2）确定圆心：
利用v⊥R，或F 指向圆心 利用弦的中垂线
洛
✓ 已知入射速度方向和出射速度方向，通过入射 ✓ 已知入射方向和出射点的位置，通过入射点作
点和出射点分别作入射方向和出射方向的 入射方向的__________，连接入射点和出射点，
__________，两条__________的交点就是圆弧 作其__________，这两条线的交点就是圆弧轨
轨道的圆心。 道的圆心。
✓ 已知两处的洛伦兹力方向，则沿洛伦兹力方向
作延长线，两条延长线的__________就是圆弧
轨道的圆心。
（3）确定半径和角：
①几种角的关系：偏向角φ，回旋角α，弦切角θ。𝜑_____ 𝛼_____2𝜃_____ 𝜔𝑡，θ与θ’__________。
②单边界问题：
__________ __________ __________
带电粒子进、出磁场具有对称性。③平行边界问题：
__________ __________ __________ __________
④圆形边界问题：
__________ __________ __________
沿半径方向入射的粒子一定沿__________方向射出。
同种带电粒子以相同速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若入射点与出射点的连线为
𝜃
____________________，则轨迹的弧长__________，偏向角、回旋角有__________：sin =
2
__________。
（4）确定运动时间：
✓ 完整圆周运动的周期：____________________
✓ 部分圆周运动的飞行时间：____________________【例3】（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的𝑂𝑥𝑦直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN
到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿𝑂𝑥𝑦平面向x轴上方各个方向均
𝑞𝐵𝑑
匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为 。不计粒子的重力、空
𝑚
气阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2𝑑
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 3𝑑
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
π𝑚
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
6𝑞𝐵
【变式1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同
的同种离子，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑离子间的相互
作用，则磁场中有离子经过的区域（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．【变式2】MN是足够长水平放置的荧光屏，右侧空间是存在竖直向下的匀
强磁场。EF是长为L的挡板水平放置，E端固定在荧光屏上，∠
FEM=60°，其俯视图如图所示。在荧光屏上的P点发射一质量为m、电荷
量为q、速度大小为v的带正电的粒子，已知E、P两点间距为L，速度方
向与PN之间的夹角为30°，不计粒子重力。为使粒子能够绕过挡板打在荧
光屏上，磁场的磁感应强度最大为（ ）
3𝑚𝑣
A．
3𝑞𝐿
2 3𝑚𝑣
B．
3𝑞𝐿
𝑚𝑣
C．
2𝑞𝐿
𝑚𝑣
D．
𝑞𝐿
【变式3】如图，在边界MN上方足够大的空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场。两粒子1H核与2H核同时
1 1
从MN上P点以相同的动能沿纸面飞入磁场，又同时从另一位置Q（图中未画出）飞出磁场。不计粒子重
力及二者间的相互作用。二者在P点处速度方向间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例4】如图所示，宽为L、长为2L的矩形MNPQ区域内（包含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度的大小为B，一带负电的粒子，沿MN方向以速度𝑣 从M点射入磁场，从P点射出磁场，不计粒
0
子受到的重力，则粒子的比荷为（ ）
2𝑣 3𝑣 𝑣 2𝑣
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
9𝐿𝐵 8𝐿𝐵 3𝐿𝐵 5𝐿𝐵【变式1】如图所示为一宽度为d的匀强磁场，一束电子以垂直于磁感应强度B
且与磁场右边界的垂线成θ=60°角的速度v射入磁场，其穿出磁场时速度方向恰
好和左边界垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．电子在磁场中做圆周运动的半径为2d
2 3𝜋𝑑
B．电子在磁场中运动的时间为
9𝑣
2 3𝐵𝑑
C．电子的比荷为
3𝑣
D．若增大电子的速度，则电子在磁场运动时间增大
【变式2】如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为
m、电荷量为e的质子从A 点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子
速度的最大值为（ ）
2e𝑑B e𝑑B 2 3e𝑑B 3e𝑑B
A． B． C． D．
3𝑚 𝑚 3𝑚 2𝑚
【变式3】如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，相同的两个带电粒子分别以不同的速率从S点沿SP
方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v 与MN垂直；穿过b点的粒子速度v 与MN成60°角，不
1 2
计粒子重力。则两粒子在磁场中运动的速度之比v ：v 为（ ）
1 2
A．4：3 B．1：2
C．2：3 D．3：2【例5】（2025·北京西城·三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质
量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆
心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空
气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大
B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长
C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多
D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大
【变式1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀
强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转𝜃=60∘
后从F点射出磁场。忽略粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
3𝑣
B．粒子的比荷为
3𝑅𝐵
2 3𝜋𝑅
C．粒子在磁场中运动的时间为
3𝑣
D．在其他条件不变的情况下，从C点入射的速度v越大，偏转角θ越大【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面
向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同
的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v =v，粒子Q的入射速度
1
1
为𝑣 = 3𝑣，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为 圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下
2 4
列说法正确的是（ ）
A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期
3𝑘𝑣
C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为3:2
𝐵
【变式3】（2025·四川成都·二模）如图所示，在水平面内存在一半径为2R和半径为R的两个同心圆，半
径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直水平面、方向相
反的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B。位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射
𝑞𝐵𝑅
速率为 的正粒子，粒子的电荷量为q，质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R的圆形内，环形区
𝑚
域磁感应强度大小至少为（ ）
3 5 3 4
A． 𝐵 B． 𝐵 C． 𝐵 D． 𝐵
5 3 4 3【巩固训练】
1．如图所示，真空中竖直放置一长直细金属导线MN，电流向上。空间中做一与导线同轴的半径为R的柱
面。光滑绝缘管ab水平放置，端点a、b分别在柱面上。半径略小于绝缘管内径的带正电小球自a点以速
度v 向b点运动过程中，下列说法正确的是（ ）
0
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向向上
2．云雾室也称云室（cloud chamber）是一种早期的核辐射探测器，也是最早的带电粒子径迹探测器。因
发明者为英国物理学家威尔逊，一般称为威尔逊云室。如图所示，将大量正、负带电粒子以大小相同的速
度喷入云雾室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。已知云雾室中匀强磁场方向
垂直纸面向里，只考虑带电粒子在匀强磁场中受到的洛伦兹力。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子①受到的洛伦兹力不变提供向心力
B．粒子②一定带负电
C．粒子①和②的质量一定相等
D．粒子①和②的比荷一定相等3．一长度为L的绝缘空心管MN水平放置在光滑水平桌面上，空心管内壁光滑，M端有一个质量为m、
电荷量为+q的带电小球。空心管右侧某一区域内分布着垂直于桌面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁
场，其边界与空心管平行。空心管和小球以垂直于空心管的速度v水平向右匀速运动，进入磁场后空心管
在外力作用下仍保持速度v不变，下列说法正确的是（ ）
A．洛伦兹力对小球做正功 B．空心管对小球不做功
C．在离开空心管前，小球做匀加速直线运动 D．在离开空心管瞬间，小球的速度为𝑣 1+ 2𝑞𝐵𝐿
𝑚𝑣
4．如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一段静止的长为L的通电导线，磁场方向垂直于导
线。设单位长度导线中有n个自由电荷，每个自由电荷的电荷量都为q，它们沿导线定向移动的平均速率
为v。下列说法正确的是（ ）
A．导线中的电流大小为𝑛𝑞𝑣
B．这段导线受到的安培力大小为𝑛𝑞𝑣𝐵
C．沿导线方向电场的电场强度大小为𝑣𝐵
D．导线中每个自由电荷受到的平均阻力大小为𝑞𝑣𝐵
5．我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”，如图甲所示。极
光是宇宙中高速运动的带电粒子受地磁场影响，与空气分子作用的发光现象。若宇宙粒子带正电，因入射
速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如图乙所示（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距∆x）。
下列说法正确的是（ ）A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半经会越来越大
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的运动半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以顺时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距
∆x不变
6．（多选）初速度为𝑣 的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运
0
动方向如图所示，则正确的是（ ）
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，轨迹半径不变
D．电子将向右偏转，轨迹半径增大
7．（多选）质量和电荷量都相等的带电粒子P和Q（均不计重力），以不同的速率经小孔S垂直进入匀
强磁场，运行的半圆轨迹如图中两个虚线所示，下列表述正确的是（ ）A．P带负电、Q带正电
B．P的速率大于Q的速率
C．洛伦兹力对P做负功对Q做正功
D．P的运行时间大于Q的运行时间
8．（多选）（24-25高二上·北京·期中）如图所示，矩形虚线框𝑀𝑁𝑃𝑄内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸
面向里。𝑎、𝑏、𝑐是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从𝑃𝑄边上的中点沿垂直于磁场的方向射入
磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子𝑎带正电
B．粒子𝑐的动能最大
C．粒子𝑏在磁场中运动的时间最长
D．粒子𝑏在磁场中运动时的向心力最大
9．（多选）（24-25高二上·河南郑州·期中）下列关于四种仪器的说法正确的是（ ）
A．甲图中只加大加速极电压，使速度v变大时，电子打在玻璃泡右侧上的位置将上移
B．乙图中若带正电粒子能以速度v 从O到A沿直线通过，则带负电粒子不能以速度v 从O到A沿直
0 0
线通过
C．丙图中载流子为负电荷的霍尔元件有如图所示的电流和磁场时，N侧电势低
D．丁图中长、宽、高分别为a、b、c的电磁流量计在如图所示的匀强磁场中，若流量Q恒定，前后两
个金属侧面的电压与a、b无关
10．（多选）如图所示，边长为a的正三角形𝐴𝐶𝐷区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A
点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电
荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（ ）A．从𝐴𝐶边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长
B．从𝐴𝐶边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长
𝑒𝐵𝑎
C．从𝐴𝐶边射出的电子的最大速度为
𝑚
D．从𝐴𝐶边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同
11．如图所示，直导线长l，电流为I，单位体积内的自由电荷数为n，截面积为S，每个电荷的电荷量均
为q，定向运动速度为v，磁场的磁感应强度为B。
（1）这段通电导线所受的安培力是多大？
（2）此段导线的自由电荷个数是多少？
（3）每个自由电荷受到的洛伦兹力又是多大？12．（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入
宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求：
(1)电子运动的轨迹半径r；
𝑒
(2)电子的比荷 ；
𝑚
(3)电子穿越磁场的时间t。
13．（24-25高二下·广东湛江·期中）如图所示，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦的第一象限内存在着垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度的大小为𝐵，一带电粒子从𝑥轴上的𝑃点以速度𝑣射入第一象限内，速度𝑣方向与𝑥
轴正方向成45∘角，并恰好垂直于𝑦轴射出第一象限。已知𝑂𝑃=𝑎，不计粒子重力。求：
(1)判断粒子的电性；
(2)粒子的比荷；
(3)粒子从𝑃点运动到𝑄点的时间𝑡。14．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应
强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负
电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半
径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。
(1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比
(2)粒子达成一次周期性运动的时间
(3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离
15．如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向
𝑅
里。MN为圆形区域水平直径，OK为圆形区域竖直半径，点P到直径MN的距离ℎ= 。一束质量为m、
2
电荷量为−q的带电粒子沿平行于MN的方向以不同速率从P点进入匀强磁场，不计粒子重力。
(1)若粒子恰好能经过O点，求入射速度大小；
(2)若粒子恰好能从N点射出，求入射速度大小；
(3)求带电粒子在第（1）问和第（2）问在磁场中的运动时间之比。
