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微点突破 7 带电粒子在立体空间中的运动
目标要求 1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。2.掌握
解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
考点一 带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨
论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电
粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于
磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋
进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆
周运动。
例1 (2024·河南信阳市一模)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的
运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象
简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于 x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平
面内以初速度v 沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线
0
平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是( )
A．匀强磁场的方向为沿x轴负方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变
C．若仅增大电子入射的初速度v，则直径D增大，而螺距Δx将减小
0
D．若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭
合的整圆
例2 (2024·江苏苏州市实验中学联考)某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置的
半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N的圆心分别为O 、O ，位于O 处的粒子源能向
1 2 1
两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，
忽略边缘效应。(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿OO 方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子
1 2
速度大小满足什么条件时能全部击中N板；
(2)仅在两板间加沿OO 方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方
1 2
向与OO 连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板；
1 2
(3)若两板间同时存在方向都沿OO 方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒
1 2
子源发射出速度大小均为v、方向垂直于OO 连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，
1 2
求电场强度的大小。
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考点二 带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带
电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，
再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。有时需要将粒子的运动分
解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解。例3 (2023·湖南长沙市二模)某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系
Oxyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀
强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为 m、电荷量为q的粒子从y
轴上P(0，－d,0)点以初速度v 沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向
0
的夹角θ＝60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求：
(1)粒子的电性；
(2)磁感应强度大小B；
(3)粒子打到屏上位置的z轴坐标z。
1
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1．(2022·重庆卷·5)2021年我国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了
解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理
想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小
为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小
为v，垂直于磁场方向的分量大小为v，不计离子重力，则( )
1 2
A．电场力的瞬时功率为qE
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qvB
1C．v 与v 的比值不断变大
2 1
D．该离子的加速度大小不变
2．(多选)(2024·四川南充市月考)如图所示，截面半径为l的圆柱形空腔位于三维坐标系
Oxyz中，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。0≤z≤l的Ⅰ区域内有沿y轴正方向的匀强磁场；l<z≤
＋l的Ⅱ区域内有沿y轴正方向的匀强电场；Ⅲ区域内同时存在沿z轴正方向的匀强电场和
匀强磁场，电场强度大小与Ⅱ区域相等。现有一带电粒子从点P(l,0,0)以大小为v 的速度垂
0
直磁场方向进入Ⅰ区域，经点Q(0,0，l)沿着z轴进入Ⅱ区域，然后经过点M(0，，l＋l)进入
Ⅲ区城，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点N(0，，z)离开区域Ⅲ。已知
粒子的质量为m，电荷量为＋q，不计粒子重力，则( )
A．Ⅰ区域磁感应强度的大小B＝
B．Ⅱ区域电场强度的大小E＝
C．进入Ⅲ区域后粒子在xOy平面内分运动是圆周运动，其周期T＝
D．进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，螺距(相邻两螺旋线上对应点的距离)不相等
3.(2023·江西省重点中学协作体第二次联考)如图所示，真空中的正方体棱长为L＝1.6 m，底
面中心处有一点状放射源S，仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射α粒子，所有α粒
子的速率均为v＝5.0×106 m/s，已知α粒子的比荷为＝5.0×107 C/kg，现给正方体内施加
竖直向上的匀强磁场，使所有α粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内。abfe面放有一个屏，
该屏可以沿z轴左右平移。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)现在正方体内再施加竖直向上的匀强电场，要使所有粒子刚好都能从上表面中心 P离开，
求所加匀强电场的电场强度E的大小(结果用π表示)；
(3)若匀强电场电场强度的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe屏向左沿－z方向移动0.4
m，求粒子打在abfe屏上x轴坐标的最大值和最小值时对应点的y轴坐标。
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