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专题11 功和功率及动能定理的理解与应用
目录
题型一 恒力做功的分析和计算................................................................................................................................1
题型二 变力做功的分析和计算................................................................................................................................5
类型1 微元法计算变力做功.............................................................................................................................6
类型2 图像法计算变力做功.............................................................................................................................7
类型3 等效转换法求变力做功.......................................................................................................................10
类型4 平均力法求变力做功...........................................................................................................................11
类型5 应用动能定理求变力做功...................................................................................................................13
题型三 功率的分析和计算......................................................................................................................................16
类型1 功率的分析和计算...............................................................................................................................16
类型2 功率和功综合问题的分析和计算.......................................................................................................20
题型四 机车启动问题..............................................................................................................................................22
类型1 恒定功率启动.....................................................................................................................................23
类型2 恒加速度启动问题.............................................................................................................................28
题型五 动能定理的理解..........................................................................................................................................33
题型六 动能定理的基本应用..................................................................................................................................35
题型七 动能定理与图像的“数形结合”..............................................................................................................39
类型1 E－x(W－x)图像问题..........................................................................................................................39
k
类型2 F－x图像与动能定理的结合..............................................................................................................42
类型3 其他图像与动能定理的结合...............................................................................................................46
题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用..........................................................................................50
类型1 运用动能定理解决多过程问题.........................................................................................................50
类型2 动能定理在往复运动问题中的应用.................................................................................................55
题型一 恒力做功的分析和计算
【解题指导】1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F ，再用W ＝F lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的
合 合 合
情况。
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合力做的功。
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
【例1】（2023·全国·模拟预测）质量为1kg的物块仅在水平恒力F作用下由静止沿水平方
向做加速运动，已知物块从静止开始运动了距离L后的4s内前进了16m，且物块从静止开
始运动了距离9L后的4s内前进了32m，则下列说法正确的是（ ）
A．距离L为4m
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学科网（北京）股份有限公司B．物块从静止开始运动距离9L时，力F对其做的功为18J
C．物块从静止开始运动距离4L时，动量大小为
D．物块从静止开始运动距离4L后的6s末的动能为60J
【答案】BC
【详解】A．由于物块仅在水平恒力作用下由静止开始运动，则其做匀加速直线运动，设
其运动的加速度为a，其从静止开始运动距离为L时用时为t，运动距离为9L时用时为T，
则由匀变速直线运动规律可得
解得
L=2m， ，t=2s，T=6s
故A错误；
B．由牛顿第二定律，可得水平恒力
F=ma
即
F=1N
则物块从静止开始运动距离9L时，力F对其做的功为
故B正确；
C．物块从静止开始运动距离4L时的速度为
所以物块从静止开始运动距离4L时的动量大小为
故C正确；
D．物块从静止开始运动距离4L后的6s末的速度为
对应的动能为
故D错误。
故选BC。
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学科网（北京）股份有限公司【例2】（2023·湖北·模拟预测）一质点在恒力F的作用下做直线运动，前一半路程从静止
开始在粗糙水平面上运动，后一半路程进入光滑水平面继续运动，两阶段末速度分别为
v、v，所用时间分别为t、t，恒力F的冲量分别为I、I，恒力F做的功分别为W、
1 2 1 2 1 2 1
W，则（ ）
2
A． B． C． D．W = W
2 1
【答案】CD
【详解】A．设质点的总路程为2x，在粗糙水平面上所受摩擦力为f，质点在第一阶段有
在第二阶段有
可得
解得
A错误；
B．质点在第一阶段有
在第二阶段有
可得
即
解得
B错误；
C．根据 得
C正确；
D．根据 得
D正确。
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学科网（北京）股份有限公司故选CD。
【例3】（2023·北京西城·统考三模）将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面
构成了三个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同。现将一个可
以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板
之间的动摩擦因数 均相同。在这三个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．沿着1和2下滑到底端时，物块的速度不同；沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相
同
B．沿着1下滑到底端时，物块的速度最大
C．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最少的
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程，产生的热量是一样多的
【答案】BD
【详解】AB．设任意一斜面倾角为 ，斜面的长度为L，则物体下滑过程中克服摩擦力做
功为
Lcosθ即为斜面底边的长度，设物体滑到底端时的速度为v，根据动能定理得：
根据图中斜面高度和底边长度可知，滑到底边时速度大小关系为
即沿着1下滑到底端时，物块的速度最大，故A错误，B正确。
CD．摩擦生热等于物块克服摩擦力做功，即
由图可知1和2底边相等且小于3的底边，故摩擦生热关系为
即物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多，物块沿着3下滑到底端的过
程中，产生的热量最多，故C错误，D正确；
故选BD。
题型二 变力做功的分析和计算
【解题指导】求变力做功的五种方法
方法 以例说法
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学科网（北京）股份有限公司微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
类型1 微元法计算变力做功
【例1】（2023·江苏徐州·高三专题练习）水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如
图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变
的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。
已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J） B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l，l，…，l，拉力F在每小段上做的功为W，
1 2 n 1
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学科网（北京）股份有限公司W，…，W，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
2 n
W=Flcos37°
1 1
W=Flcos37°
2 2
W=Flcos37°
n n
故
故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD错误。
故选A。
【例2】聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示．假设聂海胜锻炼15分钟克服
动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻
尼装置(可视为质点)，宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为( )
A．180 N B．350 N C．580 N D．780 N
【答案】 B
【解析】 设平均阻力为F，则有F×(15×90×2πr)＝900 kJ，解得F≈354 N，故选B.
f f f
类型2 图像法计算变力做功
【例1】（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击
对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，木匠砸击4次，就把
一枚长为 的钉子全部砸进木梁，那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】作出钉子所受阻力与进入深度的关系图，可知前一半深度与后一半深度过程中，
阻力做功之比为 ，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，将钉全部砸进木梁需要
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学科网（北京）股份有限公司砸4次，则第1锤将铁钉砸进木梁的深度是 。
故选B。
【例2】（2023·福建莆田·高三莆田一中校联考阶段练习）一质量为4kg的物体，在粗糙的
水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，
当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重
力加速度大小取10m/s2，则可以求得（ ）
A．物体做匀速直线运动的速度为4m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为-8J
D．整个过程合外力对物体所做的功为-4J
【答案】D
【详解】B．F-x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以
故B错误；
C．0~2m阶段，根据平衡条件可得
所以整个过程中摩擦力对物体做的功为
故C错误；
D．整个过程中合外力所做的功为
故D正确。
A．根据动能定理可得
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学科网（北京）股份有限公司解得
故A错误。
故选D。
【例3】（2023·内蒙古乌兰察布·高三阶段练习）放在粗糙水平地面上一物体受到水平拉力
的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图象和该拉力的功率与时间的关系图象分别如图
甲、乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．0~6 s内拉力做的功为140 J
B．拉力在0~6 s内做的功与0~2 s内拉力做的功相等
C．物体质量为0.8kg
D．物体在0~2 s内所受的拉力为6 N
【答案】ACD
【详解】A．功率与时间的关系图象中，图线与坐标轴所围图形的面积，在数量上等于功，
所以0~6s内拉力做的功为
故A正确；
B．拉力在0~6s内做的功大于0~2s内拉力做的功，故B错误；
C．由图乙可知2~6s内拉力的功率
由图甲可知2~6s内物体的速度为
所以拉力的大小为
这段时间内物体做匀速运动，则摩擦力的大小为
在0~2s内，由动能定理可得
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学科网（北京）股份有限公司即
解得
故C正确；
D．物体在0~2s内的加速度为
由牛顿第二定律有
解得
故D正确。
故选ACD。
类型3 等效转换法求变力做功
【例1】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑
轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B
点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则 ( )
1 2
A．W>W
1 2
B．W＜W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
【答案】 A
【解析】 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒
力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl
为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题
图及几何知识可知，Δl ＞Δl ，故W>W，A正确。
AB BC 1 2
类型4 平均力法求变力做功
【例1】（2023·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图甲所示，在粗糙的水平
面上，放着可视为质点的A、B两物块，质量分别为 和 。轻弹簧一端与
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学科网（北京）股份有限公司物块A相连，另一端与竖直墙壁相连。未施加拉力F时，A到墙壁的距离小于弹簧原长且
整个系统恰好处于静止状态。从 时刻开始，对B施加一水平向右的力F使物块B做匀
加速运动，力F随时间变化如图乙，已知物块与地面的动摩擦因数均为0.5，g取 。
A．弹簧的劲度系数为
B．物块B在 时的加速度大小为
C． 到 的过程中力F做的功为4J
D． 到 分开的过程中，A克服摩擦力的功为
【答案】BCD
【详解】B．根据题意，设未施加拉力F时，弹簧的形变量为 ，则有
时刻，施加拉力 ，对 、 整体，由牛顿第二定律有
由图乙可知， 时拉力为
解得
故B正确；
D．由图可知， 时，A、B开始分离，由运动学公式 可得，此过程
的位移大小为
则 到 分开的过程中，A克服摩擦力的功为
故D正确；
A．设AB恰好分离时，弹簧的形变量为 ，对物体A，由牛顿第二定律有
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学科网（北京）股份有限公司又有
解得
故A错误；
C．根据题意可知，AB分开之前，拉力F与位移的关系式为
又有AB恰好分离时，AB运动的位移为
可得，A、B恰好分离时
则 到 的过程中力F做的功为
故C正确。
故选BCD。
【例2】（2023·江苏徐州·高三专题练习）静止于水平地面上质量为 的物体，在水平拉
力 （式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作
用下，沿水平方向移动了 。已知重力加速度 ，则在物体移动 的过程中拉
力所做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为
则物体移动 过程中拉力的平均值为
则拉力做的功
故选B。
类型5 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W
＋W ＝mv2－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功W 可根据功的公式求出，这样就可
变 恒 2 1 恒
以得到W ＝mv2－mv2－W ，就可以求变力做的功了．
变 2 1 恒
【例1】（2023·北京西城·统考二模）图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结
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学科网（北京）股份有限公司构简化为图2所示的模型。长 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径 的水
平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；
转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角 。将游客和座
椅看作一个质点，质量 。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度 。（
， ）
（1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
a．向心力的大小 ；
b．线速度的大小v。
（2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。
【答案】（1）a． ，b． ；（2）
【详解】（1）对游客和座椅一起受力分析如下图所示
a．根据受力分子可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为
b．根据几何关系可知游客和座椅zuo2圆周运动的半径为
由
代入数据得
（2）游客和座椅由静止到随转盘匀速转动得过程，根据功能关系有
代入数据解得
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学科网（北京）股份有限公司【例2】（2023春·甘肃白银·高三校考开学考试）如图所示，一质量为 的质点在半径为
的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点 时，它对
容器的正压力为 。重力加速度为 ，则质点自A滑到 的过程中，摩擦力所做的功为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设在B点的速度为 ，由牛顿第二定律，有
则质点在B点的动能为
质点从A滑到B的过程中，由动能定理得
解得
故选C。
【例3】（2023·云南·校联考模拟预测）如图，轻质弹簧上端固定在O点，下端与质量为m
的圆环相连，圆环套在水平粗糙的固定细杆上。现在将圆环从A点静止释放，当圆环运动
到B点时弹簧竖直且处于原长，到达C点时速度减为零；在C点使得圆环获得一个沿杆向
左的速度v，其恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度之内，下列说法正确的是（ ）
A．从A到C的过程中，圆环经过B点速度最大
B．从C回到A的过程中，弹力最终做正功
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学科网（北京）股份有限公司C．从A到C克服摩擦力做功为
D．从A到C弹簧弹性势能减少了
【答案】CD
【详解】A．圆环从A到C过程中，合力是0时圆环的速度最大，A错误；
B．A到C过程中，根据能量守恒，弹性势能减少，转化为摩擦力做功产生的热量，所以由
C回到A的过程中，弹性势能增大，弹力最终做负功，B错误。
CD．从A到C再由C回到A，根据对称特点可知，摩擦力做功相等，弹性势能变化相同，
根据动能定理，有
求得
CD正确。
故选CD。
题型三 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝Fv ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度。
F F
(3)P＝Fv，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
v v
类型1 功率的分析和计算
【例1】（2023春·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）一只苹果从楼上某一高度自由
下落，苹果在空中依次经过三个完全相同的窗户1、2、3。图中直线为苹果在空中的运动
轨迹。若不计空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．苹果经过第三个窗户所用的时间最长
B．苹果经过第三个窗户重力做的功最多
C．苹果经过第一个窗户重力做功的平均功率最小
D．苹果经过第一个窗户下端时，重力做功的瞬时功率最大
【答案】C
【详解】A．苹果做自由落体运动，速度逐渐增加，越来越快，通过相同距离用时越来越
少，故通过第一个窗户用时最长，故A错误；
B．重力的功 ，故苹果通过3个窗户重力做的功一样多，故B错误；
C．功率 ，通过第一个窗户用时最长，故通过第1个窗户重力的平均功率最
小，故C正确。
D．根据 可知苹果经过第三个窗户下端时，速度最大，根据 重力做功的瞬时
功率最大，故D错误。
故选C。
【例2】（2023春·四川绵阳·高三统考期中）如图所示，倾角为37º、长度为4m的粗糙固
定斜面，一质量为1kg的小物块从斜面顶端由静止开始下滑至斜面底端，小物块与斜面间
的动摩擦因数为0.5，重力加速度g=10m/s2，则（ ）
A．整个过程中重力做功24J
B．整个过程中合外力做功24J
C．整个过程中重力做功的平均功率是24W
D．小物块滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是24W
【答案】AD
【详解】A．根据公式可得，重力做功为
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学科网（北京）股份有限公司故A正确；
B．根据公式可得，合外力做功为
故B错误；
C． 对小物块受力分析，根据牛顿第二定律
解得
根据
解得
整个过程中重力做功的平均功率是
故C错误；
D．小物块滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是
故D正确。
故选AD。
【例3】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）一质量为0.5kg的质点静止
于光滑水平面上，从 时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示。下列判断正确的是
（ ）
A．0~2s内外力的平均功率是18W
B．第2s内外力所做的功是36J
C．第4s末外力的瞬时功率最大
D．第1s末与第3s末外力的瞬时功率之比为9:7
【答案】AD
【详解】前两秒匀加速直线运动的加速度
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学科网（北京）股份有限公司后两秒匀加速直线运动的加速度
第1秒末的速度
第2秒末的速度
第3秒末的速度
第4秒末的速度
前两秒的位移
第2秒内的位移
A．0~2s内外力做的功
0~2s内外力的平均功率
A正确；
B．第2s内外力所做的功
B错误；
C．第2秒末的外力的瞬时功率
第4s末外力的瞬时功率
第4s末外力的瞬时功率不是最大。C错误；
D．第1s末与第3s末外力的瞬时功率分别为
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学科网（北京）股份有限公司第1s末与第3s末外力的瞬时功率之比
D正确。
故选AD。
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
【例1】(2022·4月贵阳模拟)(多选)运动场上，某同学将篮球竖直向上抛出，到最高点又竖
直落回到抛出点，若篮球所受的空气阻力大小恒定，下列判断正确的是( )
A．篮球上升过程中的加速度大于下降过程中的加速度
B．篮球上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
C．篮球下落到抛出点的速度大小大于篮球抛出时向上的初速度大小
D．篮球上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
【答案】 AD
【解析】 上升过程a ＝＝g＋，下降过程a ＝＝g－可知，a>a ，故A正确；由W ＝
1 2 1 2 克G
W ＝mgh可知，篮球上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，故 B错误；
G
取上升和下降的全过程，由能量守恒可知，重力势能不变，初动能等于内能和末动能之和
故落回到抛出点的速度大小小于抛出时的初速度大小，故 C错误；上升过程用逆向思维有
h＝at2，下降过程有h＝at2，因a>a，则t<t，又P ＝＝，P ＝＝，则P >P ，故D
11 22 1 2 1 2 克G G 克G G
正确．
【例2】（2023·福建·模拟预测）如图甲质量 的物体在拉力F作用下由静止开始沿
着水平路面加速运动，5s后撤去拉力，物体运动的v-t图像如图乙所示，不计空气阻力，
，求：
（1）摩擦力f，拉力F，分别是多少N？
（2）撤去拉力后的运动过程中，摩擦力对物体做的功？
（3）加速过程中物体所受拉力的平均功率？
【答案】（1）50N；70N；（2） ；（3）
【详解】（1）撤去拉力后由图像可知轮胎的加速度大小为
根据牛顿第二定律有有
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学科网（北京）股份有限公司由图像可知前5s内的加速度为
根据牛顿第二定律有
代入数据得
（2）5s至7s内，即2s内位移为
摩擦力做的功为
（3）拉力F作用的位移
拉力F做的功
全过程中拉力的平均功率为
【例3】电梯上升过程可以简化为匀加速、匀速、匀减速三个阶段，即加速到允许的最大
速度v后做匀速运动，最后经过匀减速运动将速度减为零。假设该电梯在加速和减速过程
的加速度大小相等，一幢大楼每层楼高度相同，有一个质量为 m的人先坐电梯从1楼到7
楼，办完事后再从7楼到16楼，重力加速度为g，则( )
A．电梯从1楼到7楼的平均速度等于电梯从7楼到16楼的平均速度
B．电梯从1楼到7楼的平均速度小于电梯从7楼到16楼的平均速度
C．加速阶段电梯对人做正功，减速阶段电梯对人做负功
D．上升过程中电梯对人做功的最大功率为mgv
【答案】 B
【解析】 运动过程图像如图所示，
加速与减速阶段时间相等，平均速度
v＝＝＝，电梯从7楼到16楼匀速运动的时间更长，所以平均速度更大，故A错误，B正
确；电梯对人的作用力方向始终向上，与位移同向，故始终做正功，故C错误；上升过程
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学科网（北京）股份有限公司中匀加速阶段结束时，电梯对人做功的功率最大为P＝Fv＝(mg＋ma)v＞mgv，故D错误。
题型四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA 分析 ＝P ＝Fv
额 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
AB 分析
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
BC段
线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v
＝<v ＝.
m
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F x＝ΔE.此式经常
阻 k
用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
类型1 恒定功率启动
【例1】(2022·福建三明市模拟)广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素．
使用氢为能源的最大好处是它跟空气中的氧反应，仅产生水蒸气排出，有效减少了传统汽
油车造成的空气污染问题．一种氢气燃料的汽车，质量为m ＝5.0×103 kg，发动机的额定
功率为60 kW，在平直公路上行驶时所受阻力恒为车重的0.1倍．若汽车保持额定功率从静
止启动(g取10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度大小；
(2)当汽车的速度为6 m/s时的加速度大小．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 (1)12 m/s (2)1 m/s2
【解析】 (1)汽车在整个运动过程中速度达到最大时，牵引力与阻力大小相等
即F＝F＝0.1mg＝5.0×103 N
f
又P＝Fv
所以最大速度v＝ m/s ＝12 m/s
(2)当汽车速度v′＝6 m/s时，汽车的牵引力
F′＝＝1×104 N
设此时汽车的加速度为a，根据牛顿第二定律，
有F′－F＝ma
f
得a＝＝1 m/s2.
【例2】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图甲为汽车在足够长水
平路面上以恒定功率P启动的模型，假设汽车启动过程中所受阻力f恒定，汽车质量为
M；如图乙为一足够长的水平的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，
导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将一质量为m的导体
棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，导体棒和导轨的电阻不计且两者始终接触良
好。图丙、丁分别是汽车、导体棒开始运动后的v－t图像，其中 和 已知。则（ ）
A．汽车在运动过程中的最大速度为
B．导体棒在运动过程中的最大速度为
C．汽车从启动到速度达到最大所运动的距离为
D．导体棒从开始到速度达到最大所运动的距离为
【答案】AC
【详解】A．对汽车启动问题，有
且
解得
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学科网（北京）股份有限公司故A正确；
B．对导体棒问题，有
且
解得
故B错误；
C．由动能定理可知
解得
故C正确；
D．由电磁感应定律
得，在导体棒从开始运动到速度达到最大过程中
由欧姆定律可知
故
由动量定理可知
计算可知
故D错误。
故选AC。
【例3】（2023·重庆·模拟预测）高铁已成为中国的“国家名片”，截至2022年末，全国
高速铁路营业里程4.2万千米，位居世界第一。如图所示，一列高铁列车的质量为m，额
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学科网（北京）股份有限公司定功率为 ，列车以额定功率 在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的
最大速度，设高铁列车行驶过程所受到的阻力为 ，且保持不变．则（ ）
A．列车在时间t内可能做匀加速直线运动
B．如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间一定大于t
C．列车达到的最大速度大小为
D．列车在时间t内牵引力做功为
【答案】B
【详解】A．列车以恒定功率 运动，根据牛顿第二定律可得
列车的速度v逐渐增大，则加速度a逐渐减小，所以列车做加速度减小的加速直线运动，
直到达到最大速度 ，故A错误；
C．当牵引力等于阻力时，列车速度达到最大，则有
解得最大速度为
故C错误；
B．列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率 ，可知列车速度增大，
功率增大，达到额定功率 后又开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且
此过程与以额定功率 启动的最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功
率 启动的加速度小，所以经历的时间较长，列车达到最大速度经历的时间一定大于t，
故B正确；
D．列车从开始到最大速度过程中，根据动能定理
将 代入解得
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学科网（北京）股份有限公司故D错误。
故选B。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一个倾角为 的斜面固定在地面上，
一辆质量为m的汽车由静止以额定功率P驶上斜面，汽车行驶的最大速度为v；如图乙所
1
示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率P向下运动，汽车行驶的最大速度为v 已知汽车
2.
行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度v 大于v
1 2
C．阻力大小为
D．额定功率大小为
【答案】D
【详解】A．汽车以额定功率行驶，做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时，速度
达到最大，因此汽车均做变加速直线运动，A错误；
BCD．设汽车行驶过程中受到的阻力为 ，当汽车达到最大速度时，加速度为零，对题图
甲有，牵引力
额定功率
对题图乙有，牵引力
额定功率
联立可得
，
故
D正确，BC错误。
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学科网（北京）股份有限公司故选D。
类型2 恒加速度启动问题
【例1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）2022年6月10日，中国首款仅靠太阳能驱动的
纯电动车“天津号”公开亮相。若该电动车的质量为m，某次试验时由静止沿直线加速行
驶，经过时间t恰好达到最大速度，前进的距离为x。若电动车受到的阻力大小恒为f，电
动机输出功率恒为P，则该过程（ ）
A．电动车做匀加速直线运动 B．电动车的加速度逐渐减小
C．电动车的最大速度为 D．电动车所受牵引力的冲量为
【答案】BCD
【详解】AB．根据
，
由于电动机输出功率恒为 ，可知随着电动车速度增加，牵引力减小，加速度减小，则电
动车做加速度逐渐减小的加速运动，故A错误，B正确；
C．根据动能定理可得
解得电动车的最大速度为
故C正确；
D．当牵引力等于阻力时，速度最大，则有
根据动量定理可得
联立可得电动车所受牵引力的冲量为
故D正确。
故选BCD。
【例2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）据中国汽车工业协会最新数据，2022年10月，
我国新能源汽车产销分别为76.2万辆和71.4万辆，依然保持高速增长态势。汽车湘军的成
绩表现不凡，目前湖南每生产2辆汽车，就有1辆是新能源车。某工厂在一段平直道路上
进行新能源汽车性能测试，汽车发动机的额定功率为200kW，从 时刻启动由静止开始
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学科网（北京）股份有限公司做匀加速直线运动， 时刻达到额定功率，速度达到 ，之后汽车保持额定功率不变继
续做直线运动， 时刻汽车达到最大速度 ，已知汽车（含驾驶员）的质量为
2000kg，汽车所受阻力恒定为4000N，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速直线运动的加速度
B．汽车匀加速直线运动的时间
C．汽车保持功率不变做直线运动的位移大小为1000m
D．0~3.5t 时间内汽车的位移大小为1250m
0
【答案】AD
【详解】A．汽车由静止开始做匀加速直线运动，汽车的牵引力为F，额定功率为 ，阻
力为 ，则有
汽车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得
联立可得
， ，
故A正确；
B．汽车匀加速直线运动的时间为
故B错误；
CD．汽车做匀加速运动阶段位移为
汽车保持额定功率不变做直线运动阶段，由动能定理可得
解得
因此 时间内汽车的位移大小为
故C错误，D正确。
故选AD。
【例3】（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅
比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车
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学科网（北京）股份有限公司某次测试行驶时的加速度和车速倒数 的关系图像。若汽车质量为 ，它由静止开
始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为
【答案】A
【详解】B．由图知，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为2m/s2，故B错
误；
A．汽车匀加速运动的末速度
解得
v=10m/s
匀加速运动的时间
故A正确；
C．由图可知汽车的最大速度为30m/s，此时汽车做匀速直线运动，有
F=f
则
P=f×30
当 时，a＝2m/s2，根据牛顿第二定律得
即
联立解得
，P=6×104W
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学科网（北京）股份有限公司故C错误；
D．根据牛顿第二定律，汽车匀加速运动时有
F-f=ma
代入数据得
F＝f+ma＝2×103N+2×103×2N＝6×103N
车速为5m/s时，功率为
P＝Fv＝6×103×5W＝3×104W
故D错误。
故选A。
【例4】．（2023·北京朝阳·统考二模）电动平衡车作为一种电力驱动的运输载具，被广泛
应用在娱乐、代步、安保巡逻等领域。某人站在平衡车上以初速度 在水平地面上沿直线
做加速运动，经历时间t达到最大速度 ，此过程电动机的输出功率恒为额定功率P。已
知人与车整体的质量为m，所受阻力的大小恒为f。则（ ）
A．
B．车速为 时的加速度大小为
C．人与车在时间t内的位移大小等于
D．在时间t内阻力做的功为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，当牵引力等于阻力时，平衡车的速度达到最大值，由公式
P=Fv可得，最大速度为
故A错误；
B．车速为 时的牵引力为
由牛顿第二定律可得
解得
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学科网（北京）股份有限公司故B错误；
D．平衡车从 到最大速度 ，由动能定理得
解得在时间t内阻力做的功为
故D正确；
C．在时间t内阻力做的功
解得人与车在时间t内的位移大小为
故C错误。
故选D。
【例5】（2023·辽宁·校联考二模）北京冬奥会期间奥运场馆和运动员村之间首次大规模使
用氢能源汽车作为主要交通工具。在一次测试中，某款质量 的氢能源汽车沿平直
公路从静止开始做直线运动，其 图像如图所示。汽车在 时间内做匀加速直线运动，
时刻的瞬时速度为 ， 内汽车保持额定功率不变， 内汽车做匀
速直线运动，最大速度 ，汽车从 末开始关闭动力减速滑行， 时刻停止运动。
已知汽车的额定功率为 ，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。
（1）求 和 为多少？
（2）求汽车在 内通过的距离x。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）设汽车受到的阻力大小为 ；汽车做匀速直线运动阶段有
解得
汽车做匀加速直线运动阶段有
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学科网（北京）股份有限公司， ，
联立解得
， ，
汽车关闭动力减速滑行时的加速度大小为
根据速度时间关系可得
联立解得
（2）汽车在 内，根据动能定理可得
解得
题型五 动能定理的理解
1．两个关系
(1)数量关系：合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是
合力做的功。
(2)因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
2．标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题。当然动
能定理也就不存在分量的表达式。
【例1】随着高铁时代的到来，人们出行也越来越方便，高铁列车在启动阶段的运动可看
作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能( )
A．与它所经历的时间成正比
B．与它的位移成正比
C．与它的速度成正比
D．与它的加速度成正比
【答案】 B
【解析】 列车在启动阶段做 v ＝0的匀加速直线运动，列车的动能 E ＝mv2＝m(at)2＝
0 k
m·(2ax)，可见B正确，A、C、D错误。
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学科网（北京）股份有限公司【例2】(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯
在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v 增大到v 时，上升高度为H，
1 2
重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为W＝mv2－mv2，其中W为支持力做的功
2 1
B．对物体，动能定理的表达式为W ＝0，其中W 为合力做的功
合 合
C．对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝mv2－mv2，其中W为支持力做的功
2 1
D．对电梯，其所受的合力做功为Mv 2－Mv 2
2 1
【答案】 CD
【解析】 电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力F ，这两个力的总功(即
N
合力做的功)才等于物体动能的增量，即W ＝W－mgH＝mv2－mv2，其中W为支持力做
合 2 1
的功，A、B错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力做
的功一定等于其动能的增量，即Mv 2－Mv 2，D正确．
2 1
【例4】（2023·陕西宝鸡·宝鸡中学校考二模）下列说法正确的有（ ）
A．若运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定保持不变
B．若运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定发生变化
C．若运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零
D．若运动物体的动能发生变化，则该物体所受合外力一定不为零
【答案】AD
【详解】A.运动物体所受合外力为零，合外力对物体不做功，由动能定理可知，物体动能
不变，故A正确；
B.运动物体所受合外力不为零，物体运动状态一定变化，则该物体一定做变速运动，如果
合外力方向与物体速度方向垂直，合外力对物体不做功，物体动能不变，故B错误；
C.如果运动物体所受合外力与物体的速度方向垂直，合外力对物体不做功，物体动能不变，
如匀速圆周运动，故C错误；
D.若运动物体的动能发生变化，根据动能定理可知，合外力一定做功，即合力一定不为零，
故D正确；
故选AD。
题型六 动能定理的基本应用
1．应用流程
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学科网（北京）股份有限公司2．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的
物体为参考系。
(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程
的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能
定理。
(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后
根据结果加以检验。
【例1】(2022·湖南省长沙一中高三月考)如图所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰
壶在冰面上滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置，按比赛规则
冰壶投出后，可以用毛刷在其滑行前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以
调节冰壶的运动，将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动．已知未摩擦冰面时
冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02.重力加速度g取10 m/s2.
(1)运动员以3.6 m/s的水平速度将冰壶投出，未摩擦冰面的情况下，求冰壶能在冰面上滑行
的最大距离s；
(2)设未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为 μ，摩擦冰面后二者之间的动摩擦因数
变为kμ，其中0<k<1，若运动员仍以某一水平速度将冰壶投出，设运动过程中，冰壶运动
中累计滑过被毛刷摩擦过的冰面长度为L，求与未摩擦冰面相比，冰壶运动可以多滑行的
距离Δs.
【答案】 (1)32.4 m (2)(1－k)L
【解析】 (1)以冰壶为研究对象，从投出冰壶到冰壶停下来的过程中－μmgs＝0－mv2，得
s＝32.4 m.
(2)未摩擦冰面时有－μmgs′＝0－mv′2，
摩擦冰面时有－μmg(s′＋Δs－L)－kμmgL＝0－mv′2，
联立得Δs＝(1－k)L.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）质量为m的物体，在水平面上以初速度v 开始滑动，
0
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学科网（北京）股份有限公司经距离d时，速度减为 。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为
B．克服摩擦力做的功为
C．物体再前进 便停止
D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为
【答案】CD
【详解】AB．根据动能定理
即克服摩擦力做功为 ，根据
解得
AB错误；
C．根据动能定理
解得
C正确；
D．根据动能定理
解得
D正确。
故选CD。
【例3】（2023·浙江·模拟预测）如图所示，将8个质量均为m的小物块（可视为质点）用
轻质的细杆相连静止放在水平面上，相邻小物块间的距离为L。已知AB段光滑，小物块与
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学科网（北京）股份有限公司BC段间的动摩擦因数均为μ。刚开始时1号小物块在B处，现用水平拉力 作用
在1号小物块上，使8个小物块一起向右运动，则1号物块运动过程中能达到的最大速度
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析可知第5个物块进入BC后物块开始做减速运动，因此第5个物块刚到达B点
时1号物块的速度达到最大值，此过程中根据动能定理有
得
故选C。
【例4】．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）相同材料制成的A、B两物块，以相同初
速度同时滑上水平桌面，两物块质量分别为 、 且 ，则（ ）
A．物块A惯性大，滑行距离大
B．物块B阻力小，滑行距离大
C．两物块滑行的时间相等
D．两物块克服阻力做功相等
【答案】C
【详解】AB．令初速度为v，与桌面间的摩擦因数为 ，根据动能定理，对A有
0
对B有
联立可得
质量是惯性的唯一量度，质量大的物体惯性大，所以物块A惯性大，故AB错误；
C．根据动量定理，对A有
对B有
联立可得
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学科网（北京）股份有限公司故C正确；
D．根据定能定理，对A有
对B有
因为 ，所以
故D错误。
故选C。
题型七 动能定理与图像的“数形结合”
1．解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、
截距、图线的交点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利
用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义
类型1 E －x(W－x)图像问题
k
【例1】（2023春·河北·高三校联考阶段练习）如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质
点）以某一初速度冲上足够长的固定斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动
的动能 随位移x变化的关系如图乙所示。取重力加速度大小 。下列说法正确
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学科网（北京）股份有限公司的是（ ）
A．斜面倾角的正弦值为0.5
B．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25
D．滑块返回斜面底端时，滑块所受重力的功率为12W
【答案】C
【详解】AB．由乙图可知滑块上滑的最大位移为5m，从斜面底端上滑至回到斜面底端过
程中客服阻力做功为20J，所以上滑和下滑过程客服阻力做功都为 。则上滑过程中有
，
解得
故AB错误；
C．上滑过程中阻力做功
，
解得
故C正确；
D．滑块返回斜面底端时，滑块的动能为
解得
滑块所受重力的功率为
故D错误。
故选C。
【例2】（2023·山东·模拟预测）如图1所示，水平面上一质量为2kg的木箱在水平向右的
力 的作用下向右移动4m的距离后，在另一水平力 作用下，又匀速运动4m的距
离到达斜面底端，撤去外力，木箱冲上倾角为37°的斜面，斜面和水平面间通过光滑小圆
弧轨道（未画出）连接。在木箱从静止开始运动到斜面上最高点的过程中，其动能随运动
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学科网（北京）股份有限公司路程变化的图像如图2所示。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取
， 。下列说法正确的是（ ）
A． 的大小为4N
B．木箱在斜面上能到达的最大高度为1.8m
C．木箱返回水平面后向左运动的最大距离为1.8m
D．整个运动过程中，木箱克服摩擦力做的功为36J
【答案】AC
【详解】A．由题图2可知，木箱初动能为0，则木箱在 的作用下做初速度为零的匀加速
直线运动，应用动能定理有
由题图2知 ，可得 ，之后木箱在 的作用下做匀速运动，所以
故A正确；
B．木箱冲上斜面后做匀减速运动，根据动能定理有
由题图2知 ，可得 ，木箱在斜面上能到达的最大高度
故B错误；
C．因为
所以当木箱运动至斜面上的最高点后，沿斜面向下做匀加速运动，到达水平面后，在摩擦
力作用下再减速直到停止。木箱从冲上斜面到最终停下来，对这一过程应用动能定理可得
可得
故C正确；
D．对整个运动过程，由动能定理有
所以
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学科网（北京）股份有限公司故D错误。
故选AC。
类型2 F－x图像与动能定理的结合
【例1】．（2023·广东·高三专题练习）如图甲所示，在倾角 的光滑固定斜面上有
一劲度系数 的轻质弹簧，弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，弹簧上端栓接
一质量 的物体，初始时物体处于静止状态。取 。
(1)求此时弹簧的形变量 ；
(2)现对物体施加沿斜面向上的拉力 ，拉力 的大小与物体的位移 的关系如图所示，设
斜面足够长；
①写出物体的速度 与位移 的关系式；
②若物体位移为0.1 时撤去拉力 ，求此后物体沿斜面上滑的最大距离 。（结果保留
两位有效数字）
【答案】(1)0.1m；(2)① ；②0.04m
【详解】(1)初始状态物体处于平衡状态，则
解得：此时弹簧的形变量
(2)①由 图象可得
设物体运动位移为x时，物体的加速度为a，则
解得：物体的加速度
所以，物体做匀加速直线运动，根据运动学公式有
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学科网（北京）股份有限公司代入数据有
②物体位移为0.1 时撤去拉力 ，此后物体上滑过程中弹力f随形变量 的图象如下图所
示
物体上滑过程中克服弹力所做的功对应图中的面积，即
撤去拉力至物体恰好速度为0，据动能定理有
联立解得
【例2】如图甲所示，质量为m＝5.0 kg的物体静止在水平地面上，在水平推力F作用下开
始运动，水平推力F随位移x变化的图像如图乙所示(x＝4.0 m后无推力存在)．已知物体与
地面之间的动摩擦因数μ＝0.50，取重力加速度g＝10 m/s2.下列选项正确的是( )
A．物体的加速度先减小后增大
B．在距出发点3 m位置时物体的速度达到最大
C．物体的最大速度为2 m/s
D．物体在水平地面上运动的最大位移是16.0 m
【答案】 B
【解析】 物体在水平方向受推力与摩擦力作用，由牛顿第二定律得 F－μmg＝ma，加速
度a＝－μg.由题图乙可知，物体所受推力随位移的增加而减小，开始物体所受推力大于摩
擦力，物体做加速运动，随推力F的减小，加速度a减小；当推力等于摩擦力时，合力为
零，加速度为零；当推力小于摩擦力时物体所受合力方向与物体的速度方向相反，物体做
减速运动，加速度a逐渐增大；撤去推力时物体所受合力等于滑动摩擦力，物体加速度不
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学科网（北京）股份有限公司变，做匀减速直线运动，直到速度为零，故由以上分析可知，物体的加速度先减小后增大
再不变，A 错误；由题图乙可知，推力 F 随位移 x 变化的数学关系式为 F＝100－
25x(0≤x≤4.0 m)，物体的速度最大时，加速度为零，此时有F＝μmg，解得x＝＝3 m，即在
距出发点3 m位置时物体的速度达到最大，B正确；F－x图线与坐标轴围成图形的面积等
于推力对物体做的功，设物体的最大速度为v ，由题图乙可知，物体速度最大时，推力对
m
物体做的功W＝×(100＋25)×3 J＝187.5 J，从物体开始运动到速度最大的过程中，对物体，
由动能定理得W－μmgx＝mv 2－0，代入数据解得v ＝3 m/s，C错误；由F－x图像可知，
m m
推力对物体做的功等于图线与坐标轴围成的面积，即 W＝Fx＝×100×4.0 J＝200 J，对物体
运动的整个过程，根据动能定理可得W－μmgx ＝0，代入数据解得x ＝8 m，D错误．
max max
【例3】（2023·江西赣州·统考一模）如图1所示，一轻弹簧竖直固定于水平桌面上，另一
相同的弹簧下端与光滑固定斜面底端的挡板相连，物体P、Q分别从两弹簧上端由静止释
放，加速度a与弹簧压缩量x的关系分别如图2中实线、虚线所示。则（ ）
A．光滑斜面的倾角为37°
B．P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为
C．P、Q的质量之比为
D．P、Q向下运动过程中的最大速度之比为
【答案】CD
【详解】A．设物体P、Q分别质量为 、 。由图2可知弹簧压缩量为零时，物体P、Q
加速度分别为 ， 。对物体P，有
得
①
设斜面的倾角为 ，对物体Q，有
②
由①②得
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学科网（北京）股份有限公司得
A错误；
B．加速度为零时，物体P、Q的速度最大。由图2可知，P、Q向下运动达到最大速度时
两弹簧的压缩量分别为 ， 。P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为
。B错误；
C．P、Q向下运动达到最大速度时，对两物体，有
又
得
C正确；
D．P、Q向下运动过程中的最大速度分别为 和 ，对P、Q由动能定理得
③
④
由③④得，P、Q向下运动过程中的最大速度之比
D正确。
故选CD。
类型3 其他图像与动能定理的结合
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某实验小组对两辆新能源汽
车在同一水平直轨道上进行了对比实验，其速度大小v随时间t的变化关系如图所示，已知
两汽车所受摩擦力大小为其重力的k倍且恒定，B车实验中变速阶段加速度的大小相同，A
车的质量为B车质量的1.5倍，汽车运动距离相等，不计空气阻力。则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．摩擦力做功之比等于
B．汽车运动时间之比等于
C．汽车牵引力所做的功之比等于
D．汽车输出的最大功率之比小于
【答案】BCD
【详解】B．因为 B车实验中变速阶段加速度的大小相同，且汽车运动距离相等，可知两
图像与坐标轴围成的面积相等，则B车运动的时间为3t，则汽车运动时间之比等于 ，
0
选项B正确；
A．设A、B两车的质量分别为1.5m和m，则摩擦力做功之比等于
选项A错误；
C．根据动能定理
可知汽车牵引力所做的功之比等于摩擦力做功之比，为 ，选项C正确；
D．两车加速阶段的加速度之比
对A车
对B车
则汽车输出的最大功率之比
选项D正确。
故选BCD。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，
其中斜面的长度为l，一质量为m可视为质点的物块从静止开始由斜面体的顶端A滑到底
0
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学科网（北京）股份有限公司端B，物块与斜面体之间的动摩擦因数μ随下滑距离x的变化规律如图乙所示。重力加速度
为g。则下列说法正确的是（ ）
A．物块克服滑动摩擦力做的功为
B．物块克服滑动摩擦力做的功为
C．物块在B点的速度大小为
D．若物块在沿斜面体向上的外力作用下，由B点缓慢移动到A点，外力做功
【答案】BD
【详解】AB．由图乙作出该过程中摩擦力随x的变化规律，如图所示
则图线与坐标轴围成的面积表示物块克服滑动摩擦力所做的功，即
故A错误，B正确；
C．对物块由A点到B点的过程中，由动能定理得
解得物块在B点的速度大小为
故C错误；
D．物体由B点缓慢移动到A点，动能没有变化，由动能定理
解得
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学科网（北京）股份有限公司故选BD。
【例3】．（2023·河北·校联考模拟预测）某同学将一带传感器的木箱从倾角为 的斜坡
顶端由静止释放，木箱滑到斜面底端时速度刚好为0，木箱与斜坡上下两部分的动摩擦因
数分别为 、 ，通过分析处理传感器的数据得到木箱的动能和机械能与木箱下滑位移的
关系图像分别如图中a、b所示，已知木箱动能最大时，机械能与动能大小之比为 ，已
知木箱可视为质点，重力加速度为g，以斜坡底端为重力势能零点。下列说法中正确的是
（ ）
A．
B．
C．动能最大时，木箱的机械能为
D．木箱在上、下两段斜坡上滑行过程中产生的热量之比为
【答案】BC
【详解】AC．木箱在斜面上段滑行的过程有
由题意有
由图可知
解得
， ，
故A错误，C正确；
B．木箱在斜面下段滑行的过程有
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学科网（北京）股份有限公司由图可知
解得
故B正确；
D．木箱在上、下两段斜坡上滑行过程中产生的热量之比
故D错误。
故选BC。
题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用
1．运用动能定理解决多过程问题，有两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功
情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理
各个击破．
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个
运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，
大大简化运算．
2．全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．
类型1 运用动能定理解决多过程问题
【例1】（2023·西藏拉萨·统考一模）一包裹以某一初速度沿着倾角为37°的雪道（可视为
斜面）从底端开始上滑，包裹上滑到速度为零后又滑回底端，且速度大小为开始上滑的初
速度大小的 。已知 ， ，包裹可视为质点，则包裹和雪道之间的
动摩擦因数为（ ）
A．0.05 B．0.16 C． D．0.25
【答案】C
【详解】设包裹沿斜面上滑的最远距离为s，对包裹上滑过程，由动能定理有
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学科网（北京）股份有限公司同理，下滑时有
联立解得
故选C。
【例2】.（2023·福建莆田·统考模拟预测）如图所示，一遥控电动赛车（可视为质点）从A
点由静止以恒定功率P沿水平地面向右加速运动，当到达固定在竖直面内的光滑半圆轨道
最低点B时关闭发动机，赛车恰好能通过最高点C（ 为半圆轨道的竖直直径）。已知赛
车的质量为m，半圆轨道的半径为R，A、B两点间的距离为 ，赛车在地面上运动时受
到的阻力大小恒为 （g为重力加速度大小）。不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．赛车通过C点后在空中运动的时间为 B．赛车通过C点后恰好落回A点
C．赛车通过B点时的速度大小为 D．赛车从A点运动到B点的时间为
【答案】BD
【详解】A．赛车通过C点后在空中做平抛运动，竖直方向有
解得
故A错误；
B．赛车恰好能通过最高点C，则有
根据平抛运动水平方向规律有
解得
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学科网（北京）股份有限公司赛车通过C点后恰好落回A点,故B正确；
C．赛车从B到C的过程中，根据动能定理有
解得
故C错误；
D．赛车从A点运动到B点，根据动能定理有
解得
故D正确；
故选BD。
【例3】（2023·山东·高三专题练习）如图所示，一滑块（可视为质点）在水平力F的作用
下由静止沿粗糙水平直轨道AB开始运动，该力的功率恒定，达到最大速度后，撤掉该力，
滑块继续前进一段距离后进入竖直光滑半圆轨道BCD，并恰好通过该轨道最高点D，然后
进入光滑半圆管道DEF，最终停在粗糙水平直轨道FG上。已知水平力的恒定功率为
10W，滑块的质量为0.2kg，滑块与轨道AB的动摩擦因数为0.5，半圆轨道BCD的半径
R=0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．滑块在D点的速度大小为
B．半圆管道DEF的半径r可能为0.15m
C．在轨道AB上，滑块的最大速度为10m/s
D．在轨道AB上，滑块减速过程的距离为2.5m
【答案】C
【详解】A．滑块恰好通过该轨道最高点D，则有
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学科网（北京）股份有限公司解得
故A错误；
B．设从D点刚好到达F点，根据动能定理有
解得
根据题意滑块最终停在粗糙水平直轨道FG上，所以半圆管道DEF的半径r应小于 ，
故B错误；
C．在轨道AB上，滑块的拉力等于摩擦力时，速度最大，有
故C正确；
D．在轨道AB上，滑块减速过程的距离为 ，从撤去外力到D点，根据动能定理有
解得
故D错误；
故选C。
【例4】（2023·广东广州·统考三模）一篮球质量为m＝0.60kg，一运动员使其从距地面高
度为h=1.8m处由静止自由落下，反弹高度为h=1.2m，若使篮球从距地面h=1.5m的高度
1 2 3
由静止下落，并在开始下落的同时运动员向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5m，该篮
球每次与地面碰撞前后的动能的比值K不变，重力加速度大小g取10m/s2，不计空气阻力，
求：
（1）比值K的大小；
（2）运动员拍球过程中对篮球所做的功。
【答案】（1）1.5；（2）4.5J
【详解】（1）设篮球自由下落与地面碰撞前瞬间的动能为E ，篮球与地面碰撞后瞬间篮
k1
球的动能为E ，由动能定理可知篮球下落过程
k2
篮球上升过程
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学科网（北京）股份有限公司则
（2）第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由
动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理
可得
解得
【例5】（2023·山东济南·统考三模）如图所示，固定的光滑半圆柱面ABCD与粗糙矩形水
平桌面OABP相切于AB边，半圆柱面的圆弧半径R=0.4m，OA的长为L=2m。小物块从O
点开始以某一大小不变的初速度v 沿水平面运动，初速度方向与OA方向之间的夹角为θ。
0
若θ=0°，小物块恰好经过半圆弧轨道的最高点。已知小物块与水平桌面间的滑动摩擦因数
μ=0.1，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）初速度v 的大小；
0
（2）若小物块沿半圆弧运动的最大高度为h=0.4m，求夹角θ的余弦值。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小物块恰好经过半圆弧轨道的最高点，则
从O点到最高点，由动能定理可得
联合解得
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学科网（北京）股份有限公司（2）小物块沿半圆弧运动的最大高度为
h=0.4m=R
此时小物块仅有沿AB方向的水平速度 ，竖直方向速度为零，设小物块在圆弧轨道最低
端时的速度为 ，则
从圆弧轨道最低端到最大高度过程由动能定理可得
从O点到圆弧轨道最低端过程由动能定理可得
联合解得
类型2 动能定理在往复运动问题中的应用
1．往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，
描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．
2．解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，
运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的
初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化．
【例1】（2023·山东·模拟预测）如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角 的斜面在底
部平滑连接且均固定在水平地面上，质量为m的小滑块从斜面上离斜面底边高为H处由静
止释放，滑到斜面底端然后滑上左侧曲面轨道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜
面上滑的最大高度为 ，多次往复运动。不计空气阻力，重力加速度为g，
。下列说法正确的是（ ）
A．滑块第一次下滑过程，克服摩擦力做的功为
B．滑块第1次下滑的时间与第1次上滑的时间之比为
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为
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学科网（北京）股份有限公司D．滑块从静止释放到第n次上滑到斜面最高点的过程中，系统产生的热量为
【答案】BCD
【详解】AC．设滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，根据功能关系有
而
联立解得
，
A项错误，C项正确；
B．滑块第一次下滑过程，根据牛顿运动定律有
由运动学公式有
滑块第一次上滑过程，根据牛顿运动定律有
由运动学公式有
联立解得
B项正确；
D．滑块第二次下滑过程，根据动能定理有
滑块第二次上滑过程，根据动能定理有
结合
解得
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学科网（北京）股份有限公司滑块第n次沿斜面上升的最大高度为
滑块在斜面上滑行的路程为
由于摩擦系统产生的热量为
D项正确。
故选BCD。
【例2】（2023·重庆·统考一模）将一篮球从距地面高度为H处由静止释放，篮球与地面碰
撞过程损失的能量总为碰撞前动能的 ，篮球始终在竖直方向运动，不计空气阻力，则篮
球停止运动前运动的总路程为（ ）
A．8H B．7H C．4H D．2H
【答案】B
【详解】篮球下落的过程，篮球的重力势能转化为篮球的动能，所以篮球下落到与地面第
一次碰撞前动能为
篮球与地面碰撞过程损失的能量总为碰撞前动能的 ，可知篮球与地面碰后篮球的动能变
为原来的 ，即
篮球反弹后所具有的动能转化为重力势能，则
所以篮球与地面第一次碰撞后篮球上升的最大高度为
同理可以得出篮球与地面第二次碰撞后篮球上升的最大高度为
继而求出第三次
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学科网（北京）股份有限公司第n次
进行数学归纳，发现每次与地面碰撞后篮球上升的高度与之前下落高度为等比数列，篮球
停止运动前运动的总路程为
由等比数列知识得
篮球停止，n取无穷大，总路程为
故选B。
【例3】（2023·福建福州·高三校联考期中）滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项
目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，
BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且
长8m，一运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向
滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已
知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且
， ，g=10m/s2。求：
（1）运动员从A运动到达B点时的速度大小 和在空中飞行的时间 ；
（2）轨道CD段的动摩擦因数 、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速
度大小；如不能，则最后停在何处？
【答案】（1） ， ；（2） ， ，方向竖直向下；
（3）不能，最后停在距离D点左侧6.4m处
【详解】（1）由题意可知
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学科网（北京）股份有限公司解得
在B点竖直方向的速度
空中飞行的时间
（2）由B点到E点，由动能定理可得
代入数据可得
由B点到C点，由动能定理可得
在C点由牛顿第二定律知
由几何知识
联立解得
根据牛顿第三定律
方向竖直向下。
（3）运动员能到达左侧的最大高度为h'，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有
解得
所以第一次返回时，运动员不能回到B点，设运动员从B点运动到停止，在CD段的总路
程为s，由动能定理可得
代入数据解得
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学科网（北京）股份有限公司因为
所以运动员最后停在距离D点左侧6.4m处
【例4】（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道
组成，左侧为半径 的光滑圆弧轨道 ，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方
向的夹角a，下端点 与粗糙水平轨道 相切， 为倾角 的粗糙倾斜轨道，一轻
质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为 的小滑块P（视为质点）从空中的
A点以 的初速度水平向左抛出，经过 后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨
道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道 滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上
运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知 ，滑块与轨道 、
间的动摩擦因数为 ，各轨道均平滑连接，不计其余阻力， 。求：
（1） 连线与水平方向的夹角 的大小；
（2）小滑块P到达与O点等高的 点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，
判断滑块最后位于何处。
【答案】（1） ；（2） ，方向向左；（3） ；（4）能，
【详解】（1）滑块恰好从B点进入轨道有平抛运动可知
解得
（2）由 由动能定理可知
解得
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学科网（北京）股份有限公司经过 点时受轨道的支持力大小 ，有
解得
由牛顿第三定律可得滑块在 点时对轨道的压力大小 ，方向向左
（3）设 从B到F有
代入数据可解得
（4）设滑块返回时能上升的高度为h
运动到B点：
解得
有牛顿第三定律可知对B点的压力为
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