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专题 08 功和动能定理
目录
考向一 功和功率...........................................................................................................................................................1
考向二 动能定理.........................................................................................................................................................3
考查方式一 动能定理的理解............................................................................................................................3
考查方式二 动能定理在直线运动中的应用....................................................................................................4
考查方式三 动能定理在曲线运动中的应用......................................................................................................5
考查方式四 动能定理在图像中的运用............................................................................................................7
考查方式五 动能定理在多阶段、多过程综合问题中的应用........................................................................12
【题型演练】...............................................................................................................................................................16
考向一 功和功率
1．功和功率的计算方法
2．机车启动问题
(1)机车输出功率：P＝Fv，其中F为机车牵引力．
(2)机车匀加速启动过程的最大速度v(此时机车输出的功率最大)和全程的最大速度v (此时F ＝F )求解
1 m 牵 阻
方法
①求v：由F －F ＝ma，P＝F v 可求v＝.
1 牵 阻 牵 1 1
②求v ：由P＝F v ，可求v ＝.
m 阻 m m
(3)解决机车启动问题时的四点注意
①分清是匀加速启动还是恒定功率启动．②匀加速启动过程中，机车功率不断增大，最大功率是额定功率．
③以恒定功率启动的过程中，牵引力不断减小，机车做加速度减小的加速运动，牵引力的最小值等于阻力．
④无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝f v ，分清P是机车的额定功率还是某一恒定功
阻 m
率．
【典例1】质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小 F与时间
t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t 时刻的瞬时功率为
0
B．3t 时刻的瞬时功率为
0
C．在t＝0到3t 这段时间内，水平力的平均功率为
0
D．在t＝0到3t 这段时间内，水平力的平均功率为
0
【答案】BD.
【解析】2t 时刻速度大小v ＝a·2t ＝t ，3t 时刻的速度大小为v ＝v ＋at ＝·2t ＋·t ＝，3t 时刻力F＝
0 2 1 0 0 0 3 2 20 0 0 0
3F ，所以瞬时功率 P＝3F·v ＝，A 错、B 对；0～3t 时间段，水平力对物体做功 W＝Fx ＋3Fx ＝
0 0 3 0 0 1 0 2
F×·(2t)2＋3F·t＝，平均功率P＝＝，C错、D对．
0 0 0 0
【典例2】用长度为l的细绳悬挂一个质量为m的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直．放
手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取做零，则小球运动过程中第一次动能和势能相
等时重力的瞬时功率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设小球在运动过程中第一次动能和势能相等时的速度为v，此时绳与水平方向的夹角为θ，则由机械能守恒定律得mglsinθ= mv2= mgl
解得sinθ= v= 即此时细绳与水平方向夹角为30°，所以重力的瞬时功率为p=mgvcos30°= mg
A. ，与结论不相符，选项A错误；B. ，与结论不相符，选项B错误；
C. ，与结论相符，选项C正确；D. ，与结论不相符，选项D错误；
【典例3】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变
化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图象中，可能
正确的是( )
【答案】A
【解析】由图可知，汽车先以恒定功率P 启动，所以刚开始做加速度减小的加速度运动，后以更大功率P
1 2
运动，所以再次做加速度减小的加速运动，故A正确，B、C、D错误．
考向二 动能定理
考查方式一 动能定理的理解
1．定理中“外力”的两点理解
(1)重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用．
(2)既可以是恒力，也可以是变力．
2．公式中“＝”体现的三个关系【典例4】如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度．木箱获
得的动能一定( )
A．小于拉力所做的功 B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功 D．大于克服摩擦力所做的功
【答案】 A
【解析】 由动能定理W －W＝E－0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确．
F f k
考查方式二 动能定理在直线运动中的应用
1. 若在直线运动中知道初、末状态，而不需要考虑中间过程时，一般用动能定理处理位移与速度的关系
2. 一般用分段法来处理问题，找准直线运动中转折处其动能有无损失
【典例5】如图所示，小物块从倾角为θ的倾斜轨道上A点由静止释放滑下，最终停在水平轨道上的B点，
小物块与水平轨道、倾斜轨道之间的动摩擦因数均相同，A、B两点的连线与水平方向的夹角为α，不计物
块在轨道转折时的机械能损失，则动摩擦因数为( )
A．tan θ B．tan α C．tan(θ＋α) D．tan(θ－α)【答案】B
【解析】.如图所示，设B、O间距离为s ，A点离水平面的高度为h，A、O间的水平距离为s ，物块的质
1 2
量为m，在物块下滑的全过程中，应用动能定理可得mgh－μmgcos θ·－μmg·s＝0，解得μ＝＝tan α，故选
1
项B正确．
[变式]如图为某同学建立的一个测量动摩擦因数的模型．物块自左侧斜面上A点由静止滑下，滑过下面一
段平面后，最高冲至右侧斜面上的B点．实验中测量出了三个角度，左、右斜面的倾角α和β及AB连线
与水平面的夹角为θ.物块与各接触面间动摩擦因数相同且为μ，忽略物块在拐角处的能量损失，以下结论
正确的是( )
A．μ＝tan α B．μ＝tan β C．μ＝tan θ D．μ＝tan
【答案】C
【解析】对全过程运用动能定理，结合摩擦力做功的大小，求出动摩擦因数大小．设 A、B间的水平长度
为x，竖直高度差为h，对A到B的过程运用动能定理得mgh－μmgcos α·AC－μmg·CE－μmgcos β·EB＝0，
因为AC·cos α＋CE＋EB·cos β＝x，则有mgh－μmgx＝0，解得μ＝＝tan θ，故C正确．
考查方式三 动能定理在曲线运动中的应用
【典例6】如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为
m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．质点滑到轨道最低点N时，对轨道
的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．
则( )A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点 B．W>mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离 D．Wv C．v＝v D．由于不知道θ、θ 的具体数值，v、v 关系无法判定
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解析】物体运动过程中摩擦力做负功，重力做正功，由动能定理可得mgh－μmgcos θ·－μmgx ＝mv2，
BD
即mgh－μmg·－μmgx ＝mv2，因为＝x ，所以mgh－μmgx ＝mv2，故到达B点的速度与倾斜轨道的倾角
BD CD BC
无关，所以v＝v，故选项C正确．
1 2
4. 如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力F作用下开
始运动，推力F随位移x变化的关系图象如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10
m/s2，
则下列说法正确的是 ( )
A．物体先做加速运动，推力为零时开始做减速运动 B．物体在水平地面上运动的最大位移是10 m
C．物体运动的最大速度为2 m/s D．物体在运动中的加速度先变小后不变
【答案】 B
【解析】 当推力小于摩擦力时物体就开始做减速运动，选项A错误；图乙中图线与坐标轴所围成的三角形面积表示推力对物体做的功，由此可得推力做的功为W＝×4×100 J＝200 J，根据动能定理有W－μmgx
max
＝0，得x ＝10 m，选项B正确；当推力与摩擦力平衡时，加速度为零，速度最大，由题图乙得F＝100
max
－25x(N)，当F＝μmg＝20 N时，x＝3.2 m，由动能定理得(100＋20)·x－μmgx＝mv，解得物体运动的最大
速度v ＝8 m/s，选项C错误；当推力由100 N减小到20 N的过程中，物体的加速度逐渐减小，当推力由
max
20 N减小到0的过程中，物体的加速度又反向增大，此后物体的加速度不变，直至物体静止，故D项错误．
5. 如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相
切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运
动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR
【答案】 C
【解析】 小球从a运动到c，根据动能定理，得
F·3R－mgR＝mv，又F＝mg，故v＝2，
1
小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向
做初速度为零的匀加速直线运动，且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g，故小球从c点到最
高点所用的时间t＝＝2，水平位移x＝gt2＝2R，根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为
力F做的功，即ΔE＝F·(2R＋R＋x)＝5mgR.
6. 如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑行一段距离后停
止．现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离( )A．不变 B．变小 C．变大 D．变大变小均可能
【答案】B.
【解析】设木盒质量为M，木盒中固定一质量为m的砝码时，由动能定理可知，μ(m＋M)gx ＝(M＋m)v2，
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解得x ＝；加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)时，由动能定理可知，μ(m＋M)gx ＝Mv2，解得x ＝，显然
1 2 2
x
