文档内容
易错点 06 机械能
目 录
01 易错陷阱（4大陷阱）
02 举一反三
【易错点提醒一】不理解功和功率的概念计算时出现错误
【易错点提醒二】混淆机车启动的两个过程
【易错点提醒三】不理解动能定理的含意
【易错点提醒四】不会用动能定理求解多过程问题
【易错点提醒五】不理解机械能守恒定律的条件。
【易错点提醒六】运用机械能定律错误。
【易错点提醒七】混淆摩擦力做功和摩擦产生的热量
03 易错题通关
易错点一：应用功和功率求解问题时出现错误
1.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Fxcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F ，再用W ＝F xcos α求功，尤其适用于已知质量m和
合 合 合
加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W …，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求
1 2 3 合 1 2 3
合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。
(3)变力做的功
①应用动能定理求解。
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变。
③当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功的绝对
值等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
④转换研究对象法。有些变力做功问题可转换为恒力做功，用 W＝Fxcos α求
解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功问题。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】⑤图像法。在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这
段位移内所做的功，且位于 x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面
积”为负功。
2.公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
3.平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
3.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝Fv ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度。
F F
(3)P＝F v，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力
v v
4.机车的两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P(不变) F-F F-F v↑
v↑⇒F= ↓⇒a= 阻a↓= 阻(不变)⇒F不变 P=Fv↑
v m m ⇒
直至a=0 直到P=P =Fv
额 1
加速度减小的加速直线运动 v
匀加速直线运动，维持时间t = 1
0 a
P P F-F
F=F ⇒a=0⇒v = 额 v↑⇒F= 额↓⇒a= 阻↓ 直 至
阻 max F v m
阻
a=0
速度为v 的匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
max
P
F=F ⇒a=0⇒v = 额 恒定
阻 max F
阻
易错点二：不理解动能定理也不会运用动能定理求解多过程问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1. 动能定理的理解
（1）两个关系
数量关系：合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能
的变化就是合力做的功。
因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
（2）标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问
题，当然动能定理也就不存在分量的表达式。
2.运用动能定理解决多过程问题，有两种思路
（1）分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理.
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个
过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个
分过程，结合动能定理，各个击破.
（2）全过程（多个过程）应用动能定理:当物体运动过程包含几个不同的物理
过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，
巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算.
易错点三：运用机械能守恒定律分析问题时出现错误。
判断机械能守恒的三种方法
31.
2.表达式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易错点四：运用功能关系分析问题时出现错误。
几种常见的功能关系及表达式
力做功 能的变化 二者关系
合力做功 动能变化 W =E -E =ΔE
k2 k1 k
重力做功 重力势能变化（1）重力做正功，重力势能减少；（2）重力做负
功，重力势能增加；（3）W =-ΔE =E -E
G p p1 p2
弹簧弹力做功 弹性势能变化（1）弹力做正功，弹性势能减少；（2）弹力做负
功，弹性势能增加；（3）W =-ΔE = E -E
弹 p p1 p2
只有重力或系统内弹机械能不变化机械能守恒,即ΔE=0
力做功
除重力和系统内弹力机械能变化 （1）其他力做多少正功，物体的机械能增加多少；
之外的其他力做功
（2）其他力做多少负功，物体的机械能减少多少；
（3）W =ΔE
其他
一对相互作用的滑动内能增加 （1）作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统
摩擦力的总功 内能增加；（2）摩擦生热Q=f x
相对
电场力做功 电势能变化 （1）电场力做正功，电势能减少；（2）电场力做负
功，电势能增加；（3）W =-ΔE =E -E
电 p p1 p2
安培力做功 电能变化 W =ΔE ，W = -ΔE
克安 电 安 电
.
【易错点提醒一】理解功和功率的概念计算时出现错误
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1】．自动扶梯以恒定的速率送乘客上楼，乘客第一次站在扶梯上不动，第二次相
W W P P
对于扶梯匀速向上走，自动扶梯的牵引力两次做功分别为 1、 2，功率分别为 1、 2，
则（ ）
W =W P ¿¿ W ¿W ,P =P ¿ W ⟨W ,P ⟩P W =W ,P =P
A． 1 2, 1 B． 1 2 1 2 C． 1 2 1 2 D． 1 2 1 2
易错分析：功是力对位移的积累效果。“积累”是逐渐聚集的意思，显然，只具有力
或位移谈不上积累，因而也没有功．有同学认为：两种情况下人都是匀速上升的，电梯对
人的作用力与重力平衡，设上升的竖直高度为 H，则两种情况下扶梯对人的支持力所做的
W =W =mgH P ¿¿
功 1 2 又因为第二次上楼时间短，所以 1 ，实际上，这两个结论都是错
，
mg
误的。假设楼梯不动，人匀速上楼，楼梯对人的支持力大小也是 ，人在竖直方向也发
生了位移，但是楼梯对人并没有做功，因为支持力并没有实现位移的积累，在人两脚每一
次交换时间内，踩在楼梯上的这只脚是静止的。
【答案】B
υ
【解析】如果人站在电扶梯上，电动扶梯将他以 0的速度往上送，人是靠扶梯的支持力向
W =mgH
上运动，由功的定义，电梯做功。 1
mgH
mgHυ
P = = 0 (L是楼梯的长度).
1 t L
电梯的功率为：
υ
若人以相对于扶梯的速度υ在以速度 0匀速上升的电梯上往上走，则人在竖直方向的位移
υ H
0
υ +υ
H是两个运动的共同结果，其中靠电梯的作用力“积累”的位移为 0
υH mgHυ
W = 0 ¿¿
υ +υ 2 υ +υ
靠人的内力作用“积累”的位移为： 0 ，所以，电梯做功为： 0
W W (υ +υ) mgHυ
P = 2 = 2 0 = 0,
2 t L L
电梯的功率： 所以故选项B正确。
【变式1-1】（2023山东卷）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往
稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。
水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时
装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. B. C. D.
nmgωRH
【答案】B
【解析】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面
时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田
的水的总质量为
m = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W =
总
1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 联立有
故选B。
【变式1-2】（（多选）（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小
车，在水平 段以恒定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡 段以恒定功率
、速度 匀速行驶。已知小车总质量为 ， ， 段的倾角为
，重力加速度g取 ，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功
【答案】ABD
【解析】A．小车从M到N，依题意有
代入数据解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故A正确；
B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为
则摩擦力做功为
则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确；
C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为
故C错误；
D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f ，有
2
摩擦力做功为
联立解得
则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。
故选ABD。
【变式1-3】（多选）（2023·山东·威海市教育教学研究中心二模）如图所示，竖直平面
内固定一半径 光滑圆形轨道，圆心为O。一小球在轨道的最低点A，某时刻获得
水平向右的瞬时速度 。已知 ，重力加速度 。在小球从A点运动到
轨迹最高点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度大小为
B．小球在最高点的速度大小为
C．重力做功的功率先增大后减小
D．小球做圆周运动时重力和弹力的合力提供向心力
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
AB．假设小球能够达到圆轨道的最高点，根据动能定理可知
解得
故小球在未到达最高点就已经脱离轨道做近心运动，设脱离轨道时小球与圆心连线与水平
方向的夹角为 ，此时的速度为v，则根据动能定理有
由重力的分力提供向心力，弹力为0，则有
解得
，
脱离轨道后做斜抛运动，故轨迹最高点的速度为
A错误，B正确；
C．在小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，初始时，重力方向与速度方向垂直，功率为
0，过程中重力与速度方向不垂直，末状态最高点时重力方向与速度方向又垂直，功率又变
为0，故重力做功的功率先增大后减小，C正确；
D．小球做圆周运动时速度的大小和方向都在变，故重力和弹力沿半径方向的分量的合力
提供向心力，D错误。
【易错点提醒二】混淆机车启动的两个过程
【例2】．（2022·浙江·高考真题）小明用额定功率为 、最大拉力为 的提升
装置，把静置于地面的质量为 的重物竖直提升到高为 的平台，先加速再匀速，
最后做加速度大小不超过 的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零， 取 ，
则提升重物的最短时间为（ ）
A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易错分析：许多同学认为重物先作功率一定的变加速运动后匀速运动，最后减速运动，实
际上一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，保持功率不变直
到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好
为零。
【答案】C
【解析】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达
到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速
度做匀减速上升至平台速度刚好为零，重物在第一阶段做匀加速上升过程，根据牛顿第二
定律可得
当功率达到额定功率时，设重物的速度为 ，则有
此过程所用时间和上升高度分别为
重物以最大速度匀速时，有
重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为
设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为 ，该过程根据动能定理可得
又
联立解得
故提升重物的最短时间为
C正确，ABD错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选C。
【变式1-1】 （多选）（2023·山西吕梁·三模）一质量为m=40 kg的儿童电动汽车在水平
地面上由静止开始做直线运动。电动汽车的速度与牵引力的功率随时间变化的函数关系图
像分别如图甲、乙所示，3 s末电动汽车牵引力功率达到额定功率，10 s末电动汽车的速度
达到最大值，14 s时关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。整个过程中电动汽车
受到的阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A．电动汽车最大速度为5 m/s
B．电动汽车受到的阻力为100N
C．关闭发动机后，电动汽车经过5 s停止运动
D．整个过程中，电动汽车克服阻力做功为3750J
【答案】AD
【解析】AB．由 图像可知在0～3s内，电动汽车的加速度
由 图像可知在0～3s内
解得
由牛顿第二定律
解得
由
解得
故A正确，B错误；
C．关闭发动机后
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】经过
电动汽车停止运动，故C错误；
D．对全程由动能定理可得
解得
所以整个过程中克服阻力做功为3750J，故D正确。
故选AD。
【误选警示】
误选B的原因： 不会根据匀加速阶段利用牛顿第二定律求解阻力，或者不会利用最后匀
速阶段的额定功率除以最大速度求解阻力。
误选C的原因： 不会正确对汽车做出关闭发动机后的受力分析和运动过程分析
【变式1-2】．（2024·上海市杨浦高级中学期中）一台起重机先以不变的牵引力F将一
质量为m的重物由静止起竖直向上提起，当起重机的输出功率达到额定功率P后，保持该
功率直到重物做匀速运动，重力加速度为g。重物在上升过程中（ ）
A．最大速度小于 B．平均功率大于 C．最大加速度大于 D．加速时间小于
【答案】B
【解析】A．输出功率达到额定功率P时，匀加速过程结束，匀加速阶段的最大速度
又
得
之后重物做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力等于重力时，速度达到最大值，之后做
匀速运动，匀速运动的速度
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以最大速度大于 。A错误；
B．从开始运动到起重机的输出功率达到额定功率P过程中，瞬时功功率
瞬时功功率和时间成正比，从开始运动到输出功率达到额定功率P过程中，平均功率为
达到额定功率后，一直保持额定功率P不变，所以重物在上升过程中的平均功率
B正确；
C．匀加速阶段加速度最大
C错误；
D．若一直以匀加速阶段的加速度，匀加速到匀速阶段的最大速度时间为
又因为功率达到额定功率后，重物做加速度减小的加速运动后运动，不是一直匀加速，所
以加速时间大于 。
故选B。
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）图甲是我国自主设计的全球第一款可载客的无人驾
驶飞机“亿航184”，其质量为260kg，最大载重为100kg，图乙是该无人机某次在最大载重
情况下，从地面开始竖直升空过程中的v-t图像，前2s图像为直线，2s末到5s末图像为曲
线，曲线两端皆与两侧直线相切，5s后无人机匀速上升，发动机的输出功率等于额定输出
功率，g=10 m/s2，则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．前5s上升的高度为19m
B．1s末发动机的输出功率为7200W
C．2s末到5s末，发动机的输出功率不变
D．2s末到5s末，无人机上升的高度不会超过17m
【答案】D
【解析】A．因为速度时间图像的面积表示位移，由图像可知，前2s上升了4m，2 s末到5
s末上升的高度大于15m，所以前5s上升的高度大于19m，故A错误；
B．由图像知1s时无人机做加速度为
由牛顿第二定律得，无人机的牵引力满足
所以此时无人机的输出功率为
联立解得
P=8640W
故B错误；
C．经分析可以计算得出2s末发动机的输出功率为
5s末发动机的输出功率为
所以这段时间发动机的输出功率是变化的，故C错误；
D．假设2s末到5s末，飞机按最大输出功率即额定功率21600 W工作，由动能定理得
计算可得上升的高度最大为
故2 s末到5s末，飞机上升的高度不会超过17 m，故D正确。
故选D。
【易错点提醒三】不理解动能定理的含意
【例3】（2023全国乙卷）如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另
一质量为m的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v开始运动。已知物块与木板
0
间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. 木板的动能一定等于fl B. 木板的动能一定小于fl
C. 物块的动能一定大于 D. 物块的动能一定小于
易错分析：动能定理的研究对象的单个质点或有相同速度的系统，对于某质点其在一
段时间所做的功等于这段时间的动能变化，不能张寇李戴，也不能等于另一段时间的动能
变化。
【答案】BD
【解析】当物块从木板右端离开时，对 m有 ，对 M有
其中
l = x－x AB．由于l > x，则根据以上分析可知木板的动能一定小于fl，A错误、B正
m M， M
确；CD．根据以上分析，联立有 则物块的动能一定小于
，C错误、D正确。故选BD。
【变式1-1】（2023新课标卷） 一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止
开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如
图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正
确的是（ ）
A. 在x = 1m时，拉力 的功率为6W
B. 在x = 4m时，物体的动能为2J
C. 从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D. 从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【解析】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W = Fx可看出W—x图像的斜率代表
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】拉力F。AB．在物体运动的过程中根据动能定理有 则x = 1m时物体的
速度为v= 2m/sx = 1m时，拉力为
1
则此时拉力的功率P = Fv= 12W，x = 4m时物体的动能为E= 2J，A错误、
1 k
B正确；C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为W= μmgx = 8J，C正确；
f
D．根据W—x图像可知在0—2m的过程中F= 6N，2—4m的过程中F= 3N，由于物体受到的
1 2
摩擦力恒为f = 4N，则物体在x = 2m处速度最大，且根据选项AB分析可知此时的速度
则从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为
D错误。故选B
【变式1-2】（多选）（2023·黑龙江·佳木斯一中二模）质量为m的小车在水平恒力F推
动下，从山坡底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB的水平距离为
s。下列说法正确的是（ ）
A．物体机械能的增加Fs
B．合力对小车做的功是
C．推力对小车做的功是Fs-mgh
D．摩擦阻力对小车做的功是
【答案】BD
【解析】A．推力对小车做的功为Fs，物体机械能的增加应等于推力做功减去克服摩擦力
做功，故A错误；
B．根据动能定理可知，合外力对小车做的功为
故B正确；
C．推力对小车做的功为Fs，故C错误；
D．根据动能定理可知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则阻力对小车做的功是
故D正确。
故选BD。
【变式1-3】 （2022·江苏·高考真题）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜
面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动
员的动能 与水平位移x的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程
中根据动能定理有
即
下滑过程中开始阶段倾角θ不变，E-x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后
k
增大，即图像斜率先减小后增大。
故选 。
【易A错点提醒四 】不会运用动能定理求解多过程问题
【例4】.（2022·浙江1月卷·T20）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角
=37°的光滑直轨道AB、圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂
直轨道固定在G点（与B点等高），B、O、D、O 和F点处于同一直线上。已知可视为
1 2
质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度 ，滑
块与轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N
（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。
易错分析：分过程动能定理的应用，要不多个过程分为多个过程，确定每个过程中合力的
功即总功，判断每个力做功的正负和大小，确定初末状态动能。特别是发生相对运动时，
求功时要注意位移是相对地面的位移。
【答案】（1）7N；（2） ；（3）见解析
【解析】
（1）到C点过程据动能定理可得
C点时
（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时
据动能定理可得
解得
要能过F点
（3）设摩擦力做功为第一次到达中点时的n倍
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】据动能定理可得
解得
当 时
当 时
当 时
BD错误；
故选C。
【变式1-1】.(2023云南省昆明市第一中学一模)如图所示，一根放置于水平地面的
轻质弹簧一端固定在竖直的墙壁上，处于原长时另一端位于C点，一质量为1kg的物体以
4m/s的初速度沿水平地面的A点处向右运动，物体可视为质点，压缩弹簧反弹后刚好停
在了AC的中点B，已知物块与水平地面的动摩擦因数为0.2， A、C之间的距离为2 m，
则整个过程中弹簧的最大弹性势能为（ ）
A. 3J B. 4J C. 5J D. 6J
【答案】.A
【解析】由A点到B点运用动能定理得
由A点到压缩弹簧的最低点运用动能定理得
联立可解得 ，故A正确，BCD错误
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式1-2】.（2023·浙江·模拟预测）如图所示，同一竖直平面内有三段半径均为R的光
滑圆弧轨道，质量为m的物体从OA圆弧某处静止释放，经过A出后小球沿第二段BC圆弧
轨道运动，经过粗糙水平面CD后，小球从D进入第三段圆弧后最终从E点飞出。已知C、
D是圆弧轨道最低点，A、B是圆弧轨道最高点，物体与粗糙水平面间的动摩擦因数
，求：
（1）物体从斜面下滑的角度 满足什么条件，物体才不会从B点脱离轨道。
（2）如果物体从O点静止下滑，下滑到轨道D处，物体对轨道的压力 。
（3）在上一问中，物体从E点飞出后，当物体到达最高点时，最高点与D点的水平距离
s。
【答案】（1） ；（2）5mg；（3）2.328R
【解析】（1）在轨道B点的最低速度满足
根据动能定理
解得
所以应该满足条件
（2）根据动能定理，从O点到D点，可得
根据向心力公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
（3）从D点到E点，由动能定理可知
而在E点，水平速度和竖直速度分别为
当到达最高点时，满足
解得水平位移为
故距离D点的水平距离为
【变式1-3】. （2023江苏卷高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，
且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始
下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离
为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为 ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求滑雪者运动到P点 的时间t；
（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2） ；（3）
【 解 析 】 （ 1 ） 滑 雪 者 从 A 到 P 根 据 动 能 定 理 有
根据动量定理有
联立解得
（2）由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为
0，所以当从A点下滑时，到达B点有
（3）当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，
竖直方向上有
，水平方向上有
联立可得
【易错点提醒五 】不理解机械能守恒条件
【例5】.(2024·广东惠州一中月考)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的
水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正
上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
易错分析：许多同学认为小球在半圆形槽内运动的全过程中机械能守恒而错选 A，实际上
小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽的弾力要对小球做功，所以只
有选小球与槽组成的系统为研究对象机械能才守恒.
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力
使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，
选项A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有
重力做功，小球的机械能守恒，选项B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过
程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，选项C正确。
【变式1-1】竖直放置的轻弹簧下端连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，
如图所示。然后迅速放手后直至小球运动到最低点，不计空气阻力，则下列说法中正确
提（ ）
A. 小球被手压缩至运动到最低点过程中小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B. 人放手后小球运动到最低点过程中机械能守恒
C.人放手后小球运动到最低点过程小球与弹簧组成的系统机械能守恒
D. 小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
【答案】CD
【解析】小球被手压缩外力做了功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，所以选项 A 错
误；放手后，小球受弹力作用，仙械能不守恒，但小球与弹簧以及地球组成的系统，只有
弹力和重力做功，系统满足机械能守恒，选项B错误、C正确；小球向下运动过程中，小
球与弹簧以及地球组成的系统机械能守恒，小球的重力势能不断减小，故小球动能与弹簧
弹性势能之和不断增大，D正确。
【变式1-2】 （多选）（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）小明同学想借助一支可
伸缩的圆珠笔来看看“圆珠笔的上跳”，笔内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，
笔尖就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，
笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为
12cm，若重力加速度 ，在圆珠笔由静止起跳至上升到最大高度的过程中，以下
分析正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小明对圆珠笔不做功
B．圆珠笔的机械能不守恒
C．圆珠笔在弹起过程中对桌面做正功
D．圆珠笔起跳的初速度约为1.55m/s
【答案】AD
【解析】AB．小明放手后，圆珠笔由静止开始向上运动，在起跳至上升到最大高度的过程
中，小明对笔没有作用力，所以小明对笔不做功；桌面对笔的弹力的作用点在笔的小帽上，
在笔离开桌面之前，小帽没有位移，桌面对笔的弹力也不做功。所以在圆珠笔由静止起跳
至上升到最大高度的过程中，只有系统内弹力和重力做功，圆珠笔的机械能守恒，故A正
确，B错误；
C．在弹起过程中，圆珠笔对桌面有力的作用，但桌面在力的方向上没有位移，则圆珠笔
在弹起过程中对桌面不做功，故C错误；
D．由机械能守恒定律得
代入数据可得
故D正确。
故选AD。
【误选警示】
误选B的原因：对机械能守恒的条件判断不准，题目明确告诉重力加速度 ，说
明圆珠笔跳起后只受重力，机械能守恒。
误选C的原因：错误认为桌面对圆珠笔的弹力对圆珠笔做正功，圆珠笔对桌面就做负功。
桌面没有发生位移，所以圆珠笔对桌面的力不做功
【变式1-3】例3.（2024·福建省同安第一中学月考）如图所示，A和B两个小球固定在一
根长为L轻杆的两端，A球的质量为 ，B球的质量为 ，此杆可绕穿过中点O的水平轴
无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过 的过程中（
）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．A球的机械能守恒 B．杆对A球做正功
C．B球到最低点的速度为 D．A球和B球的总机械能守恒
【答案】B
【解析】以A球为研究对象，因杆对它要做功，所以机械能不守恒，若A、B和杆组成的系
统为研究对象，则机械能守恒，所以选项A 错误、D正确；使轻杆从水平位置由静止释放，
A球向上运动，A球的动能增加，重力势能也增加，所以A球的机械能增加，根据功能关系
可知，杆对A球做正功，选项B正确；对于A球和B球组成的系统，只有两球的动能和两
球的重力势能在相互发生转化，故系统机械能守恒，由机械能守恒定律可得
解得B球到最低点的速度为 ，选项C错误。
【易错点提醒六 】运用机械能守恒解题错误
【例6】（2023·北京海淀模拟）我国早在3000年前就发明了辘轳，其简化模型如图所示，
辘轳的卷筒可绕水平轻轴转动，卷筒的半径为R，质量为M、厚度不计。某人转动卷筒通
过细绳从井里吊起装满水的薄壁柱状水桶，水桶的高为d，空桶质量为 ，桶中水的质量
为m。井中水面与井口的高度差为H，重力加速度为g，不计辐条的质量和转动轴处的摩擦。
下列分析判断正确的是（ ）
A. 若人以恒定以像速度 匀速转动卷筒，则水桶上升的速度为
B. 若人以恒定功率P转动卷筒，装满水的水桶到达井口前已做匀速运动，水桶上升过程的
最大速度为
C. 空桶从桶口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动，水桶落到水面时的速度大小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D. 忽略提水过程中水面高度的变化，水桶从图示位置缓慢上升高度H，人做的功
易错分析：不会对桶由静止下落过程中，以水桶和卷筒组成的系统为研究对象运用机械能
守恒列式。
【答案】AC
【解析】人以恒定以像速度 匀速转动卷筒，则水桶上升的速度为
A正确；设水桶做匀速运动时受到细绳的拉力为 ，则有
又 ，解得
B错误；桶由静止下落过程中，水桶和卷筒组成的系统机械能守恒，则有
解得 ，C正确；设水桶在水中受到 浮力为 ，桶口运动到井口的过
的
程中，由动能定理
解得 ，D错误。
【变式1-1】如图所示，质量均为m=1kg的小物体A和B用轻绳连接，轻绳跨过倾角为
30°的固定斜面顶端的定滑轮，滑轮左侧的轻绳方向与斜面方向平行，开始时用手托住A，
B恰好位于斜面底端，A离地h=0.8 m。现静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，下列说
法正确的是（已知A落地后不反弹，不计一切摩擦和空气阻力，g取10 m/s2）（ ）
A．物体A、B组成的系统机械能守恒
B．物体A落地前一瞬间的速度大小为4m/s
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．物体B的动量变化量的大小为2kgm/s
D．物体B沿斜面上滑的最大距离为1.2m
【答案】D
【解析】静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，A落地前物体A、B组成的系统机械能守
恒，A落地后不反弹，则A的机械能发生变化，所以物体A、B组成的系统机械能不守恒，A
错误；
B．设物体A落地前一瞬间的速度为 ，根据机械能守恒
解得 ，B错误；静止释放A，在B沿斜面上滑的过程中，最终B升到最高点速度为零，
则物体B的动量变化量的大小为零，C错误；物体A落地，B物体的机械能守恒，设在斜面
上滑的最大距离为L，则 ，解得
所以物体B沿斜面上滑的最大距离为 ，D正确。
【变式1-2】如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体B的质
量为2m，放置在倾角为30°的光滑斜面上，物体A的质量为m，用手托着物体A使弹簧处
于原长，细绳伸直且B与轻滑轮间的弹簧和细绳均与斜面平行，A与地面间的距离为h，物
体B静止在斜面上挡板P处。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物
体B对挡板恰好无压力。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．此时弹簧的弹性势能等于
C．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
D．此后物体B可能离开挡板沿斜面向上运动
【答案】B
【解析】由题意可知，A物体下落h，则弹簧形变量为h，对B物体受力分析可知，B受重
力、弹簧弹力、斜面的支持力而处于静止状态，根据平衡条件得
解得 ，A错误；对A、B和弹簧组成的整体，由机械能守恒定律可得
解得 ，B正确；此时弹簧弹力为mg，则A受到的拉力为mg，故A物体受力
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平衡，加速度为0，C错误；因A落地后弹簧的形变量不再增大，弹力不会再增大，故B不
可能离开挡板沿斜面向上运动，D错误。
【易错点提醒七 】混淆摩擦力做功与摩擦力产生的热量
【例7】如图所示，倾角θ＝37°的传送带顺时针转动，传送带的长度(两轴心距离)s＝15
m，质量m＝1 kg的小物块以初速度v ＝2 m/s从A端滑上传送带，从B端滑上置于光滑水
0
平面上质量为M＝3 kg、上表面为光滑圆弧的槽车(物块由传送带滑上槽车时无机械能损失，
光滑圆弧的半径足够大)。已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.8，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。
(1)为使物块到达传送带顶端时能以最大速度滑上槽车，传送带的传送速度至少为多少？
(2)求物块以最大速度滑上槽车后，能上升的最大高度。
(3)若传送带传送速度为v，且满足v>v ，写出因物块与传送带摩擦产生的热量Q与v的关
0
系式。
易错分析：“(1)“摩擦力做功”与“因摩擦产生的热量”是容易混淆的两个概念，不论摩
擦力做正功还是做负功，计算方法均为摩擦力与物体对地位移的乘积；而因摩擦产生的热
量为摩擦力与两物体之间的相对滑动距离的乘积。
(2) 在本题中，如果计算传送带与小物块之间的摩擦力对小物块所做的功，则需要用摩擦力
与小物块对地位移的乘积进行计算，而如果计算在此过程中产生的热量，则需要用摩擦力
与小物块和传送带之间的相对位移的乘积来进行计算
【答案】 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)Q＝
【解析】(1)为使物块到达传送带顶端时能以最大速度滑上槽车，物块应在传送带上一直被
加速，到达顶端时物块速度小于或等于传送带速度，设物块的最大速度为 v ，根据牛顿第
m
二定律得μmgcos 37°－mgsin 37°＝ma，
代入数据解得a＝0.4 m/s2，
由动能定理得W＝mas＝mv 2－mv2，
f m 0
则传送带的最小速度v′＝v ＝，
m
解得v ＝4 m/s。
m
(2)物块上升到最大高度时与槽车共速，速度记为v ，上升高度记为h，由动量守恒定律可
1
得
mv ＝(m＋M)v，
m 1
由能量守恒定律可得mgh＝mv 2－(m＋M)v2，
m 1
联立解得h＝0.6 m。
(3)若v≥4 m/s，则物块在传送带上一直被加速，加速度为a＝0.4 m/s2，设加速时间为t，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则由s＝vt＋at2可得t＝5 s，
0
此时因物块与传送带摩擦产生的热量
Q＝fΔx＝μmgcos 37°(vt－s)＝(32v－96)J；
若v
