文档内容
易错点 07 动量
目 录
01 易错陷阱（3大陷阱）
02 举一反三
【易错点提醒一】运用动量定理解释现象错误
【易错点提醒二】根据动量定理求冲力不会建立正确的物理模型
【易错点提醒三】不理解动量守恒定律的条件
【易错点提醒四】运用动量动量守恒列式错误
【易错点提醒五】没有弄清碰撞的特点而出现错误
【易错点提醒六】不会运用碰撞原则求解问题
03 易错题通关
易错点一：应用动量定理求解问题时出现错误
3.动量定理的理解
（1）动量定理反映了合力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即合力的冲量
是原因，物体的动量变化量是结果.
（2）动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力
的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和.
（3）动量定理的表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含
义.
2 介质流模型冲力的计算
研 究流体类：液体流、气体流等，通常给出流体的密度ρ
对象
微粒类：电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内的粒子数n
分 析①建构“柱状”模型：沿流速v 的方向选取一段小柱体，其横截面积为S
步骤
② 微小柱体的体积ΔV =vSΔt
元 研
究 小柱体质量m=ρΔV =ρvSΔt
小柱体内粒子数N=nvSΔt小柱体动量p=mv=ρv2SΔt
③建立方程，应用动量定理FΔt=Δp 研究
易错点二：不理解动量守恒定律的条件也不会运用动量守恒定律列式求解问题
.3.动量守恒定律适用条件
（1）理想守恒：系统不受外力或所受外力的矢量和为零 .
（2）近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力[4] 远大于系统所受到的外力.
（3）某方向守恒：系统在某个方向上所受外力之和为零时，系统在该方向上动
量守恒.
4.表达式
（1）p=p' ，系统作用前的总动量等于作用后的总动量.
（2）Δp =-Δp ，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向.
1 2
（3）Δp=p'-p=0 ,系统总动量的变化量为零.
易错点三：没有弄清碰撞的特点和规律而出现错误
5．碰撞的概念及特点
碰撞是物体间相互作用时间很短，物体间相互作用力很大，从而使系统内每个物体的
动量在碰撞过程的极短时间内发生剧烈变化的过程，具有以下特点：
(1) 碰撞过程时间特点：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
(2)相互作用力的特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后急剧减小，
平均作用力很大。
(3)动量守恒条件的特点：由于碰撞过程中物体间的相互作用力(内力)很大(远大于外力
如重力及摩擦力等)系统的内力远远大于外力，系统的总动量守恒。
(4) 碰撞过程位移特点：在物体发生碰撞、的瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰
撞前后仍在同一位置。
6.碰撞问题的三个原则
（1）系统动量守恒，即p ＋p ＝p′＋p′。要注意“守恒”是矢量守恒，指系统总动量
1 2 1 2
的大小和方向均守恒。
（2）机械能不增加，即碰撞结束后总动能不增加，表达式为E ＋E ≥E ′＋E ′或
k1 k2 k1 k2
＋≥＋.
（3）速度要合理
①碰前若同向运动，原来在前的物体速度一定增大，且v ≥v
前 后．②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向肯定有一个改变或速度均为零
.
【易错点提醒一】运用动量定理解释现象时出现错误
【例1】．（2020全国Ⅰ）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊
会被弹出并瞬间充满气体.若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安
全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考二模）安全带是汽车行驶过程中生命安全的保障带。
如图，在汽车正面碰撞测试中，汽车以72km/h的速度发生碰撞。车内假人的质量为
50kg，使用安全带时，假人用时0.8s停下；不使用安全带时，假人与前方碰撞，用时0.2s
停下。以下说法正确的是（ ）
A．碰撞过程中，汽车和假人的总动量守恒
B．无论是否使用安全带，假人动量变化量相同
C．使用安全带时，假人受到的平均作用力约为1250N
D．不使用安全带时，假人受到的平均作用力约为2500N
【变式1-2】（2023·江苏南通·统考一模）小明在立定跳远时，从起跳至着地的整个过程
如图所示。保持起跳速度不变，则（ ）A．起跳过程屈腿姿态不同，地面对人做的功总为零
B．起跳过程屈腿姿态不同，地面对人的平均作用力大小相同
C．着地过程屈腿姿态不同，地面对人的冲量相同
D．着地过程屈腿姿态不同，人的动量变化率相同
.【变式1-3】（2023广东中山市模拟）质量为 的运动员从下蹲状态竖直向上起跳，经
时间 身体伸直并刚好离开水平地面，此时运动员的速度大小为 ，不计空气阻力，重力
加速度大小为 。则（ ）
A. 运动员在加速上升过程中处于失重状态
B. 该过程中，地面对运动员的冲量大小为
C. 该过程中，地面对运动员做功为0
D. 该过程中，运动员的动量变化量大小为
【易错点提醒二】根据动量定理求冲力不会建立正确的物理模型
【例2】（2024·广东省普通高考第一次模拟）汕头市属于台风频发地区，图示为风级
（0~12）风速对照表。假设不同风级的风迎面垂直吹向某一广告牌，且吹到广告牌后速度
立刻减小为零，则“12级”风对广告牌的最大作用力约为“4级”风对广告牌最小作用力
的（ ）
风级 风速（m/s） 风级 风速（m/s）
0 0~0.2 7 13.9~17.1
1 0.3~1.5 8 17.2~20.7
2 1.6~3.3 9 20.8~24.4
3 3.3~5.4 10 24.5~28.4
4 5.5~7.9 11 28.5~32.6
5 8.0~10.7 12 32.7~36.9
6 10.8~13.8 ……. …….
A. 45倍 B. 36倍 C. 27倍 D. 9倍
易错分析：对于空气、水等流体质介问题，同学们们在运用动量定理求平均冲力时，不知
如何选取研究对象，建立物理模型，因而也无法求解，实慰上求解的关键是建立柱体模型。【变式1-1】 2023·河南·校联考模拟预测）小飞同学在洗盘子的时候发现当水流稳定时，
从水龙头流下的水柱从上到下越来越细，如图所示。小飞同学将盘子放在水龙头下一定距
离，仔细观察后，水流对盘子的冲击力基本稳定，经过测量，水流对盘子的冲击力为F。
已知水龙头的横截面积为 ，出水速度为 ，水的密度为 ，重力加速度为g。水接触盘
子后速度立刻变为零，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．盘子距水龙头的高度为 B．盘子距水龙头的高度无法求出
C．与盘子接触的水柱横截面积无法求出 D．与盘子接触的水流速度可以求出
【变式1-2】.（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测）平底煎锅正在炸豆子。假设每个豆
子的质量均为m，弹起的豆子均垂直撞击平板锅盖，撞击速度均为v。每次撞击后速度大
小均变为 v，撞击的时间极短，发现质量为M的锅盖刚好被顶起。重力加速度为g，则单
位时间撞击锅盖的豆子个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023广东卷）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．
多个质量均为 的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1
施加一个水平向右的恒力 ，推动滑块1以 的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时
间为 ，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为 ．关于两滑块的碰撞过程，下
列说法正确的有（ ）
.
A 该过程动量守恒
B. 滑块1受到合外力的冲量大小为
C. 滑块2受到合外力的冲量大小为
D. 滑块2受到滑块1的平均作用力大小为【易错点提醒三】不理解动量守恒定律的条件
【例3】.（2024河北唐山期中）如图所示，物块A 静止在光滑水平面上，将小
球B 从物块顶端由静止释放，从小球开始沿物块的光滑弧面（弧面末端与水平
面相切）下滑到离开的整个过程中，对小球和物块组成的系统，下列说法正确
的是( )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
【变式1-1】（/2021全国乙如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端
与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦.用力
向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动.在地面参
考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( B
)
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
【变式1-2】 [2023四川雅安期末/多选]木块a 和b 用一根轻弹簧连接起来，
放在光滑水平面上，a 紧靠在墙壁上，在b 上施加向左的水平力F 使弹簧压缩，
如图所示，当撤去外力后，下列说法正确的是( )
A. a 离开墙壁前，a 和b 组成的系统动量守恒
B. a 离开墙壁前，a 和b 组成的系统动量不守恒C. a 离开墙壁后，a 和b 组成的系统动量守恒
D. a 离开墙壁后，a 和b 组成的系统动量不守恒
.【变式 1-3】 （2023 河南周口模拟）如图所示，A 、B 两物体质量之比
m :m =3:2 ，原来静止在平板车C 上，A 、B 间有一根被压缩的弹簧，地面
A B
光滑，当弹簧突然释放后，A 、B 分别向左、右滑动，则( )
A. 若A 、B 与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A 、B 组成的系统的动量
守恒
B. 若A 、B 与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A 、B 、C 组成的系统的
动量守恒
C. 若A 、B 所受的摩擦力大小相等，A 、B 组成的系统的动量守恒
D. 若A 、B 所受的摩擦力大小相等，A 、B 、C 组成的系统的动量守恒
【易错点提醒四 】运用动量守恒定律列式出现错误
【例4】. （2020全国Ⅱ]水平冰面上有一固定的竖直挡板.一滑冰运动员面对挡
板静止在冰面上，他把一质量为4.0kg 的静止物块以大小为5.0m/s 的速度沿与
挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度
反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0m/s
的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大
于5.0m/s ，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质
量可能为( )
A. 48kg B. 53kg C. 58kg D. 63kg
.【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）如图所示，质量为M的小车置于光滑的水平
面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度v 水平地滑至车的上表面，若车表
0
面足够长，则( )A．由于车表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒
B．车表面越粗糙，木块减少的动量越多
C．车表面越粗糙，小车增加的动量越多
D．木块的最终速度为
.【变式1-2】（2023·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测）如图所示，长度为l的轻质
细线一端与带孔小球A连接，另一端与木块B连接，小球A穿在光滑的固定水平杆（足够
长）上，小球A与木块B质量均为m。t＝0时刻，给木块B一水平瞬时冲量I，使其获得v
0
＝ 的初速度，则从t＝0时刻至B再次运动到A正下方的过程中（ ）
A．A、B沿绳方向加速度始终相等 B．绳对A球的冲量大小为m
C．绳对A先做正功后做负功 D．木块B再次运动到A正下方时绳子拉力的
大小为3mg
【变式1-3】. [2021广东]算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠
可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘
中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b ,甲、乙相隔s =3.5×10-2m ,乙
1
与边框a 相隔s =2.0×10-2m ,算珠与导杆间的动摩擦因数μ=0.1 .现用手指将甲
2
以0.4m/s 的初速度拨岀，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1m/s ,方向不变，
碰撞时间极短且不计，重力加速度g 取10m/s2 .
（1） 通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a ；【易错点提醒五 】没有弄清碰撞的特点和规律
【例5】如图所示，在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为 ，小车（和单摆）
以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为 m的静止木块发生碰撞，碰
撞的时间极短。在此碰撞过程中，下列说法中可能发生的是
A ． 小 车 、 木 块 、 摆 球 的 速 度 都 发 生 变 化 ， 分 别 变 为 、 、 ， 满 足
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度变为 和 ，满足
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为 ，满足
D．小车和摆球的速度都变为 ，木块的速度变为 ，满足
【变式1-1】质量为M和m 的滑块用轻弹簧连接，以恒定的速度v沿光滑水平面运动，
0
与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图所示，碰撞时间极短，在此过程
中，下列情况可能发生的是
A．M、m 、m速度均发生变化，分别为v 、v 、v ，而且满足（M＋m ）v＝Mv ＋m v
0 1 2 3 0 1 0 2
＋mv
3
B．m 的速度不变，M和m的速度变为v 和v ，而且满足Mv＝Mv ＋mv
0 1 2 1 2
C．m 的速度不变，M和m的速度都变为v′，且满足Mv＝（M＋m）v′
0
D．M、m 、m速度均发生变化，M、m 速度都变为v ，m的速度变为v ，且满足（M
0 0 1 2
＋m）v ＝（M＋m）v ＋mv
0 1 2
【易错点提醒六 】不会根据碰撞原则求解问题
【例6】在一次斯诺克世界杯比赛中，由丁俊晖和梁文博组成的中国A队在决赛中1比
3落后的不利形势下成功逆转，最终以4比3击败英格兰队，帮助中国斯诺克台球队获得了
世界杯三连冠．如图所示为丁俊晖正在准备击球，设在丁俊晖这一杆中，白色球(主球)和
花色球碰撞前、后都在同一直线上运动，碰前白色球的动量p ＝5 kg·m/s，花色球静止，
A
白色球A与花色球B发生碰撞后，花色球B的动量变为p′ ＝4 kg·m/s，则两球质量m 与m
B A B
间的关系可能是( )A．m ＝m B．m ＝m C．m ＝m D．m ＝6m
B A B A B A B A
【变式1-1】在光滑水平地面上，一质量为m的小球A以速度v 向右运动，与原来静止
0
的另一质量为3m的小球B发生正碰，则碰后小球A的速度大小可能为( )
A. v B. v /3 C. v /2 D. 3 v /4
0 0 0 0
【变式1-2】如图所示，在光滑水平地面上，质量为1kg 的小球A 以4m/s 的
速度向右运动，与静止的质量为3kg 的小球B 发生正碰，碰后B 的速度大小可
能为( )
A. 3m/s B. 2.0m/s C. 1.4m/s D. 0.9m/s
【变式1-3】（2020全国Ⅲ）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运
动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中
实线所示.已知甲的质量为1kg ,则碰撞过程两物块损失的机械能为( )
A. 3J B. 4J C. 5J D. 6J
1．（多选）（2023·四川眉山·校考模拟预测）在篮球场某同学伸出双手迎接传来的篮球，
接球时，两手随球迅速收缩至胸前。该同学这样做的目的是（ ）
A．延长球对手的作用力时间 B．减小球的动量变化量
C．减小球对手的冲量 D．减小球对手的作用力
2。(2022广东湛江模拟)快递运输时，我们经常看到，有些易损坏物品外面都会利用充气
袋进行包裹，这种做法的好处是（ ）A. 可以大幅度减小某颠簸过程中物品所受合力的冲量
B. 可以大幅度减小某颠簸过程中物品动量的变化
C. 可以使某颠簸过程中物品动量变化的时间延长
D. 可以使某颠簸过程中物品动量对时间的变化率减小
3.（2023·河南安阳模拟）丝网版画有其独特的绘画语言，其艺术水准可与国画、油画等其
它艺术作品相婉美。丝网版画在显影时需要用高压水枪冲洗，直至优美画面显出，若高压
水枪喷口的出水速度为 ，水的密度 ，水与版画接触后沿版画平面
散开，则版画单位面积上受到的冲击力为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·全国乙卷·T20）质量为 的物块在水平力F的作用下由静止开始在水平地面
上做直线运动，F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力
加速度大小取 。则（ ）
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C. 时物块的动量为
D. 时间内F对物块所做的功为
5. （2023重庆西南大学附中期末）如图所示，A 、B 两小球形状大小一样，
且质量均为m .某时刻两小球在同一水平面上沿同一直线相向运动，小球A 速度大小为v 、方向水平向右，小球B 速度大小为2v ，方向水平向左，两小球
0 0
发生弹性碰撞后，则( )
A. 小球A 向右运动 B. 小球B 的动量大小增大
C. 碰后小球A 的动能增加了2mv2 D. 小球B 的动量变化量大小为3mv
0 0
6.（2022·山东卷·T2）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。
如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太
空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
7.（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考三模）如图所示，质量为M的直—20武装直升
机旋翼有4片桨叶，桨叶旋转形成的圆面面积为S。已知空气密度为ρ，重力加速度大小为
g。当直升机悬停空中时，发动机输出的机械功率为P，桨叶旋转推动空气，空气获得的速
度为v，则单位时间内桨叶旋转推动空气的质量可表示为（ ）
0
A． B． C． D．
8.（2022·湖南卷·T4）1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量
与质子大致相等的中性粒子（即中子）组成。如图，中子以速度 分别碰撞静止的氢核和
氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为 和 。设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是（ ）
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. 大于 D. 大于
9.（2023辽宁卷）如图，质量m= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙
1
面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m= 4kg的小物块以水
2
平向右的速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，
物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性
限度内，弹簧的弹性势能E与形变量x的关系为 。取重力加速度g = 10m/s2，
p
结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度v的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x；
1
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x及此
2
时木板速度v的大小；
2
（3）已知木板向右运动的速度从v减小到0所用时间为t。求木板从速度为v时到
2 0 2
之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t表示）。
10. （2023浙江6月卷）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水
平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成
的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑
块b与质量为2m的滑块c用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。
现有质量 的滑块a以初速度 从D处进入，经DEF管道后，与FG
上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长 ，以 的速率顺时针转动，
滑块a与传送带间的动摩擦因数 ，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，
弹簧的弹性势能 （x为形变量）。（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小v和所受支持力大小F；
F N
（2）若滑块a碰后返回到B点时速度 ，求滑块a、b碰撞过程中损失的机
械能 ；
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 。
11．（2023浙江1月卷）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上
倾角 的直轨道 、螺旋圆形轨道 ，倾角 的直轨道 、水平直
轨道 组成，除 段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接．螺旋圆形轨道与轨道 、
相切于 处．凹槽 底面 水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在
竖直侧壁 处，摆渡车:上表面与直轨道下 、平台 位于同一水平面．已知螺旋圆
形轨道半径 ，B点高度为 ， 长度 ， 长度 ，摆
渡车长度 、质量 ．将一质量也为m的滑块从倾斜轨道 上高度
处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍．（摆渡车碰到竖直
侧壁 立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过C点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间t．
12.（2023湖南卷）如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个
半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ，长轴水平，短轴竖直．质量
为 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的
位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 ，椭圆长轴位于 轴上．整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 ．
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运
动的距离；
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及 表示）．
13.（2023全国乙卷）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，
圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为 。一质量为 的小球从管的上端口由
静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小
球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰
撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
14. （2023山东卷）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道
末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A
与B以相同速度 向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无
初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，
此时B右端与P板的距离为s。已知 ， ， ， ，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数 ，C与B间动摩擦因数 ，B足够
长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速
度大小 。
（1）求C下滑 的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若 ，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若 ，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个
物体总动量的变化量 的大小。
15.（2022·全国乙卷·T25）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光
滑水平面上：物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞
结束，A、B的 图像如图（b）所示。已知从 到 时间内，物块A运动的距离
为 。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次
碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为 ，
与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。
